Serie de Fourier

Les primeres cuatro aproximamientos pa una función periódica gradiada

Una serie de Fourier ye una serie infinita que converxe puntualmente a una función periódica y continua a cachos (o per partes). Les series de Fourier constitúin la ferramienta matemático básica del analís de Fourier emplegáu p'analizar funciones periódiques al traviés de la descomposición de dicha función nuna suma infinita de funciones sinusoidales muncho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencies enteres). El nome deber al matemáticu francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desenvolvió la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Foi'l primeru qu'estudió tales series sistemáticamente, y publicó les sos resultancies iniciales en 1807 y 1811. Esta área d'investigación llámase delles vegaes analís harmónicu.

Ye una aplicación usada en munches cañes de la inxeniería, amás de ser una ferramienta por demás útil na teoría matemática astracta. Árees d'aplicación inclúin analís vibratoriu, acústica, óptica, procesamientu d'imáxenes y señales, y compresión de datos. N'inxeniería, pal casu de los sistemes de telecomunicaciones, y al traviés del usu de los componentes espectrales de frecuencia d'una señal dada, puede optimizase el diseñu d'un sistema pa la señal portadora del mesmu. Refiérase al usu d'un analizador d'espectros.

Les series de Fourier tienen la forma:

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos {\frac {2n\pi }{T}}t+b_{n}\sin {\frac {2n\pi }{T}}t\right]$

Onde $a_{n}\,\!$ y $b_{n}\,\!$ denominar coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función $f(t)\,\!$

Definición

Si $f(t)\,$ ye una función de variable real $t\,$ , que ye integrable nel intervalu $[t_{0}-T/2,t_{0}+T/2]\,$ entós puede llograse el desenvolvimientu en serie de Fourier de $f\,$ nesi intervalu. Fora del intervalu la serie ye periódica, con periodu $T\,$ . Si $f(t)\,$ ye periódica en tola recta real, l'aproximamientu por series de Fourier tamién va ser válida en tolos valores de $t\,$ . Depués la serie de Fourier acomuñada a $f(t)\,$ ye:

$f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)\right]$

Onde $a_{0}\,$ , $a_{n}\,$ y $b_{n}\,$ son los coeficientes de Fourier que tomen los valores:

a_{0}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt.

Pola identidá d'Euler, les fórmules de riba pueden espresase tamién na so forma complexa:

$f(t)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,y^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}.$

Los coeficientes agora seríen:

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\,y^{-2\pi i{\frac {n}{T}}t}\,dt.$

Otra forma de definir la serie de Fourier ye:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {{\omega _{n}}{t}}+b_{n}\sin {{\omega _{n}}{t}}\right)$

onde $\omega _{n}=n\omega$

y $\omega =2{\pi }f={\frac {2{\pi }}{T}}$ .

siendo:

a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos {{\omega _{n}}{t}}dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin {{\omega _{n}}{t}}dt.

a esta forma de la serie de Fourier conózse-y como la serie trigonométrica de Fourier.

Teorema de Dirichlet: Converxencia a una función periódica

Supongamos que f(x) ye una función periódica, continua a cachos y acutada, que nun periodu tien un númberu finito de máximos y mínimos locales y un númberu finito de discontinuidaes, de periodu 2p.

Sean

$a_{n}={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{p}}dx,$
y
$b_{n}={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{p}}dx,$

entós la serie converxe a
$f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}(f(x+)+f(x-)),$

Onde $f(x+)=\lim _{t\to x+}(f(t))$ , y $f(x-)=\lim _{t\to x-}(f(t))$

Historia

Les series de Fourier reciben el so nome n'honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que fizo importantes contribuciones al estudiu de les series trigonométriques, que primeramente fueren consideraes por Leonhard Euler, Jean Le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli.^{[lower-alpha 1]} Fourier introdució les series col propósitu de resolver la ecuación de conducción del calor nuna llámina de metal publicando les sos resultancies en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre l'espardimientu del calor nos cuerpos sólidos'), y publicando el so Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Idees previes en descomponer una función periódica na suma de simples funciones d'oscilación daten dende'l sieglu III e.C., cuando astrónomos antiguos propunxeron un modelu empíricu de movimientu planetariu con base en epiciclo.

La ecuación del calor ye una ecuación en derivaes parciales. Primeramente al trabayu de Fourier, nun se conocía solución dalguna pa la ecuación de calor en forma xeneral, anque se conocíen soluciones particulares si la fonte de calor portar de manera senciellasobremanera, si la fonte yera una onda de senu o cosenu. Estes soluciones simples dacuando son llamaes valores propios. La idea de Fourier yera modelar una fonte de calor complexo con una superposición (o combinación llinial) de simples ondes sinusoidales y p'escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación llinial llámase-y Serie de Fourier.

Dende un puntu de vista más actual, los resultaos de Fourier son daqué informales por cuenta de la falta de precisión na noción de la función matemática y la integración a entamos del sieglu XIX. Dempués, Peter Gustav Lejeune Dirichlet^[1] y Bernhard Riemann^[2]^[3]^[4] espresaron los resultaos de Fourier con mayor precisión y formalidá.

Anque'l motivu orixinal yera resolver la ecuación de calor, tiempu dempués foi obviu que podía usase la mesma téunica a un gran conxuntu de problemes físicos y matemáticos, especialmente aquellos qu'arreyaben ecuaciones diferenciales lliniales con coeficientes constantes, pa los cualos les sos soluciones úniques yeren sinusoidales. Les series de Fourier tienen munches aplicaciones na inxeniería llétrica, analís de vibraciones, acústica, óptica, procesamientu de señales, retoque fotográficu, mecánica cuántica, econometría,^[5] la teoría d'estructures con cascarón delgáu,^[6] etc.

Exemplos de series de Fourier

Gráficu d'una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros harmónicos.

Veamos un exemplu:

$f(x)=x,\quad \mathrm {pa} -\pi <x<\pi ,$

$f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {pa} -\infty <x<\infty .$

Nesti casu, los coeficientes de Fourier dannos esto:

${\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

Si la serie de Fourier converxe escontra: ƒ(x) de cada puntu x onde ƒ ye diferenciable:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {pa} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}$

Inxeniería

N'inxeniería l'analís de señales nel dominiu de la frecuencia realízase al traviés de les series de Fourier, por cuanto ye bien común, reemplazar la variable x por ωt (el productu de la frecuencia angular pol tiempu), resultando les componentes:

$C_{k}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)y^{-j\omega kt}\,dt$

Polo tanto:

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }C_{k}y^{j\omega kt}$

Formulaciones

Forma compacta

N'ocasiones ye más útil conocer l'amplitú y la fase en términos cosinusoidales en llugar d'amplitúes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma d'espresar la complexa forma de la serie de Fourier ye:

$f(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos({{\omega _{n}}t}-\theta _{n})$

onde : $A_{0}={\frac {a_{0}}{2}}$

A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}

\theta _{n}=\tan ^{-1}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}

Forma esponencial

Pola identidá d'Euler pa la esponencial complexa, operando afechiscamente, si

$C_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,y^{-inx}\,dx$

la serie de Fourier puede espresase como la suma de dos series:

$\sum _{n=1}^{\infty }C_{-n}\,y^{-inx}+\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\,y^{inx}$

En forma más compacta:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,y^{inx}$

estes ecuaciones solo son válides cuando'l periodu $T=2{\pi }$ con $\omega =1$ . Otra forma d'espresar la forma complexa de la serie de Fourier ye:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,y^{j{\omega _{n}}t}$

onde : $c_{0}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\,dt={\frac {a_{0}}{2}}$

c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\,y^{-j{\omega _{n}}t}\,dt={\frac {1}{2}}(a_{n}-{j}{b_{n}})

c_{-n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\,y^{j{\omega _{n}}t}\,dt={\frac {1}{2}}(a_{n}+{j}{b_{n}})

|c_{n}|={\frac {1}{2}}{\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}

Formulación moderna

Realmente'l desenvolvimientu en serie de Fourier facer pa funciones de cuadráu integrable, esto ye, pa funciones que cumplan que:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$

El conxuntu de toles funciones integrables definíes nel intervalu $\scriptstyle [-\pi ,\pi ]$ se denota con $\scriptstyle L^{2}([-\pi ,\pi ])$ . Esti conxuntu, tien definíu un productu internu dadu por:

$\langle f,g\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

que lo dota d'estructura d'espaciu de Hilbert. D'esta miente, toles funciones de $\scriptstyle L^{2}([-\pi ,\pi ])$ pueden desenvolvese en series de Fourier. Asina,el conxuntu $\{y_{n}=y^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}$ ye una base ortonormal del espaciu $\scriptstyle L^{2}([-\pi ,\pi ])$ . El desenvolvimientu de Fourier puede espresase como:

$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,y_{n}\rangle y_{n}.$

Onde $c_{n}=\langle f,y_{n}\rangle$ son los coeficientes del desenvolvimientu de Fourier.

A lo último, la identidá de Parseval diz que dada una función $f$ de cuadráu integrable y los coeficientes de Fourier $c_{n}$ , verifícase que:

$\Vert f\Vert ^{2}=\ \langle f,f\rangle \ =2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}.$

En llinguaxe téunicu, podríamos dicir qu'hai una isometría ente l'espaciu de funciones de cuadráu integrable y l'espaciu de socesiones lliniales indexadas nos enteros que los sos términos tienen cuadraos sumables.

Formulación xeneral

Les propiedaes útiles de les series de Fourier débense principalmente a la ortogonalidad y a la propiedá de homomorfismo de les funciones y^{i n x}.

Otres socesiones de funciones ortogonales tienen propiedaes similares, anque delles identidaes útiles, concirniendo por casu a les convoluciones, nun van siguir cumpliéndose si pierde la "propiedá de homomorfismo".

Dellos exemplos son les secuencies de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales socesiones llógrense de normal como soluciones d'una ecuación diferencial; una gran clase de tales socesiones útiles son soluciones de los llamaos problemes de Sturm-Liouville.

Aplicaciones

Generación de formes d'onda de corriente o tensión llétrico per mediu de la superposición de sinusoides xeneraos por osciladores eléctrónicos d'amplitú variable que les sos frecuencies yá tán determinaes.
Analís nel comportamientu harmónicu d'una señal.
Reforzamientu de señales.
Estudiu de la respuesta nel tiempu d'una variable circuital llétrica onde la señal d'entrada nun ye sinusoidal o cosinusoidal, por aciu l'usu de tresformaes de Laplace y/o solución en réxime permanente sinusoidal nel dominiu de la frecuencia.
La resolución de delles ecuaciones diferenciales en derivaes parciales almiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que llograr soluciones práutiques, na teoría de la tresmisión del calor, la teoría de plaques, etc.

Ver tamién

Tresformada de Fourier
Analís harmónicu
Fenómenu de Gibbs
Identidá de Parseval

Notes

↑ Estos trés autores fixeron un trabayu importante na ecuación d'onda, especialmente D'Alembert. El trabayu d'Euler nesta área foi principalmenteen collaboración con Bernoulli, anque l'anterior fixo contribuciones individuales a la teoría d'ondes y vibraciones (Fetter y Walecka, 2003, pp. 209, 210)

Referencies

↑ Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter xune fonction arbitraire ente des llindes données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.
↑ «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (alemán). Habilitationschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gotinga, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archiváu dende l'orixinal, el 20 de mayu de 2008. Consultáu'l 19 de mayu 2008.
↑ D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</
↑ Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.
↑ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995). Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.
↑ Flugge, Wilhelm (1957). Statik und Dynamik der Schalen. Berlin: Springer-Verlag.

Bibliografía

M. R. Spiegel, J. Liu, L. Abellanas (2003): Fórmules y tables de matemática aplicada. Segunda edición. Serie Schaum. Mc Graw-Hill.
Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier Corporation, páx. 209, 210. ISBN 9780486432618 7.

Enllaces esternos

Weisstein, Eric W. «Fourier Series» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
The Feynman Lectures Capitulo 50 Harmonics

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[1] Estos trés autores fixeron un trabayu importante na ecuación d'onda, especialmente D'Alembert. El trabayu d'Euler nesta área foi principalmenteen collaboración con Bernoulli, anque l'anterior fixo contribuciones individuales a la teoría d'ondes y vibraciones (Fetter y Walecka, 2003, pp. 209, 210)

[2] Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter xune fonction arbitraire ente des llindes données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.

[3] «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (alemán). Habilitationschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gotinga, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archiváu dende l'orixinal, el 20 de mayu de 2008. Consultáu'l 19 de mayu 2008.

[4] D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</

[5] Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.

[6] Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995). Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.

[7] Flugge, Wilhelm (1957). Statik und Dynamik der Schalen. Berlin: Springer-Verlag.

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