Operación binaria

Operación binaria
	comando (es) , función binaria (es) y partial binary operation (en)

Esquema d'una operación binaria.

Defínese como operación binaria (o llei de composición) aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.^[1]^[2]

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ$

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

Notación

Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

$a\circ b=c\;,\quad \circ (a,b)=c\;,\quad (a,b)\xrightarrow {\circ } c$

siendo la primera la más común.

Exemplu d'operación binaria

La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto $N$ .

${\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}$

y tenemos que:

$2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3)\xrightarrow {+} 5$

Tipos

Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu

Operación binaria interna

Si a cada par de valores (a, b) de $A$ la operación correspuéndelu a un valor c de A:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

Operación binaria esterna

Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

Si la operación ye de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

Propiedaes d'una operación binaria

Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de $A\times A$ sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos: $(A,\odot )$

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot

Puede tener les siguientes propiedaes:

Conmutatividá

Dizse que $\odot$ tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

\forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=b\odot a

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna $\odot$ , nun ye conmutativa na A si:

\exists a,b\in A\;:\quad a\odot b\neq b\odot a

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

Anticonmutatividá

La operación $\odot$ en A ye anticonmutativa si:

\forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=-(b\odot a)

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

Asociatividá

Dizse que $(A,\odot )$ ye asociativa si, solu si:

\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación $\odot$ nun ye asociativa si cumplese:

\exists a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c\neq a\odot (b\odot c)

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

Propiedaes de dos operaciones binaries

Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación $\odot$ un valor c de A y con la operación $\circledcirc$ el valor d de A que representamos: $(A,\odot ,\circledcirc )$ .

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot

Pueden tener les siguientes propiedaes:

Distributividá

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

Distributividá pela esquierda

Dizse que la operación $\odot$ ye distributiva pela esquierda de $\circledcirc$ si cumplese:

\forall a,b,c\in A\;:\quad a\odot (b\circledcirc c)=(a\odot b)\circledcirc (a\odot c)

Distributividá pela derecha

Dizse que la operación $\odot$ ye distributiva pela derecha de $\circ$ si cumplse:

\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\odot c=(a\odot c)\circledcirc (b\odot c)

Elementos distinguidos

Elementu neutru

Un elemento e ye elementu neutru en $(A,\odot )$ si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

\forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad e\odot a=a\odot e=a

Elementu neutru pela derecha

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:

\forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad e\odot a=a

Elementu neutru pela esquierda

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

$\forall a\in A\;,\quad \exists e\in A\;:\quad a\odot e=a$

Unicidá del elementu neutru

El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'.

Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e $\odot$ a=a.
Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e' $\odot$ a=a.

Polo tanto, e $\odot$ a=e' $\odot$ a y ye claru que e=e'.

Elementu simétricu

Dizse que ${\overline {a}}$ ye simétricu de $a$ si:

{\overline {a}}\odot a=a\odot {\overline {a}}=e

onde e ye l'elementu neutru.

Elementu involutivu

Dizse que $d\in A$ ye elementu involutivu si:

d\odot d=d

Elementu absorbente

Dizse que $s\in A$ ye elementu absorbente si:

\forall a\in A\;:\quad s\odot a=a\odot s=s

Operación inversa

Sía A un conxuntu con una operación binaria $(a,\odot )$ :

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot

polo que quepe la ecuación:

\forall a,b\in A\,,\;\exists c\in A\;:\quad a\odot b=c

Si:

a\odot b=c

Si A almite elementos simétricos, defínese:

a\odot b\odot {\overline {b}}=c\odot {\overline {b}}

Arrexuntando:

a\odot (b\odot {\overline {b}})=c\odot {\overline {b}}

onde e ye l'elementu neutru:

a\odot e=c\odot {\overline {b}}

simplificando:

a=c\odot {\overline {b}}

La operación inversa seria ${\overline {\odot }}$

a=c\,{\overline {\odot }}\,b

Otres propiedaes

Simplificación o cancelativa

Sía A cola operación si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

Divisores del cero

Sía'l conxuntu A y l'operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

Ver tamién

Otres operaciones:
- Operación nularia
- Operación unaria
- Operación ternaria

Referencies

↑ Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.
↑ A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

Enllaces esternos

Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.

[2] A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

[1]

[2]