Analís matemáticu

Función esponencial

e ye l'únicu númberu a, tal que la derivada de la función esponencial f(x) = a^x (curva azul) nel puntu x = 0 ye igual a 1. En comparanza, les funciones 2^x (curva a puntos) y 4^x (curva a trazos) son amosaes; nun son tanxentes a la llinia de rimada 1 (colloráu).

Pa cualesquier ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, la socesión ${\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}}$ converxe. Podemos denotar dichu llende con ${\displaystyle e^{x}}$:

${\displaystyle e^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

Llámase función esponencial a la función real que la so variable independiente percuerre'l conxuntu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los númberos reales, y defínese como

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto e^{x}\end{aligned}}}$

La traza más relevante de la función esponencial ye que la so función derivada (qu'esiste en tou puntu) coincide cola mesma función, esto ye,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Amás, ye la única función non hermano nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedá. Esto fai de la esponencial la función más importante del analís matemáticu, y en particular pa les ecuaciones diferenciales.

El desenvolvimientu en serie de la función ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ realizar por aciu la fórmula de Maclaurin. Yá que

${\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)=e^{x},}$

${\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}$

la fórmula de Maclaurin escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}$

Suponiendo x=1, llógrase'l valor averáu del númberu

${\displaystyle e\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}$

Onde s'entiende como un valor averáu.^[9]

Problema de Steiner

El máximu global de ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ asocede en ${\displaystyle x=e}$.

Esti problema plantega atopar el máximu absolutu de la función

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}$

Esti máximu dase precisamente en ${\displaystyle e}$.^[10]

Coles mesmes, ${\displaystyle 1/e}$ ye'l mínimu absolutu de la función

${\displaystyle f(x)=x^{x}\,}$

definida pa ${\displaystyle x>0}$. Más polo xeneral, la función

${\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}$

algama'l so máximu global en ${\displaystyle 1/e}$ pa ${\displaystyle n<0}$; y el mínimu global atopar en ${\displaystyle e^{-1/n}}$ pa ${\displaystyle n>0}$.

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converxe si y solu si ${\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}}$, por un teorema de Leonhard Euler.^[11][12]

Númberos complexos

Representación xeométrica de la fórmula d'Euler.

El númberu ${\displaystyle e}$ presenta na fórmula d'Euler un papel importante rellacionáu colos númberos complexos:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}$

El casu especial con ${\displaystyle x=\pi }$ ee conocíu como identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

de lo que se deduz que:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Amás, utilizando les lleis de la exponenciación, llógrase:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

que ye la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la espunxo ante los sos alumnos, y manifestó la so reconocencia ante la maraviyosa conexón de los cinco númberos más famosos de tola matemática.^[13]

Probabilidá ya estadística

El númberu e tamién apaez n'aplicaciones a la teoría de probabilidaes. Un exemplu ye'l problema de los desigües, decubierto en parte por Jacob Bernoulli xunto con Pierre Raymond de Montmort, tamién conocíu como el problema de los sombreros:^[14] los n convidaos a una fiesta dexen a la entrada los sos sombreros col mayordomu, quien los asitia depués en n compartimientos, cada unu col nome d'unu de los invitaos. Pero'l mayordomu nun conoz la identidá de los invitaos, y entós asitia los sombreros nos compartimientos al azar. El problema de De Montmort ye atopar la probabilidá de que nengún de los sombreros sía asitiáu nel compartimientu correutu. La respuesta ye:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

A midida que el númberu n d'invitaos tiende a infinitu, P(n) averar a 1/e. Mas entá, el númberu de maneres en que pueden asitiase los sombreros nos compartimientos de forma que nengún correspuenda al so dueñu ye n!/e arrondáu al enteru más cercanu, pa cada positivu n.^[15] La resultancia anterior puede reformulase de la siguiente manera: sía ${\displaystyle P(n)}$ la probabilidá de qu'una función aleatoria del conxuntu 1, 2, ..., n en sí mesmu tenga siquier un puntu fixu. Entós

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}$

Otra apaición de ${\displaystyle e}$ na probabilidá ye nel siguiente problema: tiense una secuencia infinita de variables aleatories X₁, X₂..., con distribución uniforme en [0,1]. Sía V el menor enteru n tal que la suma de les primeres n observaciones ye mayor que 1:

${\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}$

Depués, ${\displaystyle e(N)=e}$.^[16] Esta resultancia dexa envalorar el valor de la constante per mediu de simulaciones aleatories.^[17]

Sicasí, el papel más relevante que xuega'l númberu ${\displaystyle e}$ nesta caña de la matemática vien dau al traviés de la función de densidá de probabilidá pa la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[18]

${\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

El rol d'esta distribución ye central na teoría y la práutica.

Teoría de Númberos

Les siguientes dos rellaciones son corolarios direutos del teorema de los númberos primos^[19]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

onde ${\displaystyle p_{n}}$ ee n-esimo primu e ${\displaystyle p_{n}\#}$ ee'l primorial del n-esimo primu.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

onde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

Xeometría

Espiral equiangular d'ángulu α.

Al igual que ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e}$ puede interpretase como un cociente ente cantidaes amestaes a cierta curva del planu. Consideremos una curva cola propiedá de que cualesquier semirrecta que naz nel orixe corta a esta formando un ángulu de ${\displaystyle \pi /4}$ radianes (esisten preseos que dexen trazar curves con esta carauterística).^[20][21] Si tomamos dos puntos cualesquier de la curva ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ con una separación angular de 1 radián, y ${\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},}$ entonce tiense

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}=e.}$

Esta construcción puede paecer forzada pol fechu de riquir midir un radián, sicasí, esto puede consiguise bien fácilmente si dexamos la operación d'esmucir una circunferencia sobre una recta (operación más qu'avezada dientro del conxuntu de curves mecániques). La curva cola propiedá enantes señalada ye un casu especial d'espiral logarítmica o equiangular, y puede probase fácilmente qu'a partir de la so condición de "equiangularidad", la so ecuación en coordenaes polares ${\displaystyle (r,\theta )}$ vien dada por

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}$

Más xeneralmente, si la curva ye cortada formando un ángulu ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}$, entós la so espresión en coordenaes polares ye :${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.}$.

Otra manifestación relevante de y na xeometría dar cola catenaria. La catenaria ye la curva que la so forma ye adoptada por una cuerda de densidá uniforme suxeta polos sos dos estremos y sometida namái a encomalo de la gravedá. Queda determinada pola posición de los sos estremos y el so llargor.

Irracionalidá y trescendencia

El númberu real ${\displaystyle e}$ ee irracional,^[22] lo que significa que nun puede espresase como fracción de dos númberos enteros, como demostró Euler en 1737. Na so demostración, Euler valir de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, nun puede corresponder a un númberu racional. Sicasí, la demostración más conocida foi dada por Fourier, y básase nel desenvolvimientu en serie del númberu. J. H. Lambert probó en 1768 que ${\displaystyle e^{p/q}}$ ee irracional si ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ee un racional positivu.

Tamién ye un trascendente, esto ye, que nun ye'l raigañu de nengún polinomiu de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Foi'l primer númberu trascendente que foi probáu como tal, ensin ser construyíu específicamente pa tal propósitu (comparar col númberu de Liouville). La demostración d'esto foi dada por Charles Hermite en 1873.^[23] Créese que e amás ye un númberu normal. Hilbert simplificó la prueba de Hermite, Hurwitz dio una variación a la de Hilbert. Esta última prueba presentar Herstein, en castellán^[24].

Fórmules que contienen al númberu e

De siguío, esíbense delles fórmules qu'arreyen de diverses formes a ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$^[25].

${\displaystyle {\sqrt {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {e}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {e^{1}}{e^{1/2}}}\cdot {\frac {e^{1/3}}{e^{1/4}}}\cdot {\frac {e^{1/5}}{e^{1/6}}}\cdot {\frac {e^{1/7}}{e^{1/8}}}\cdots ,}$

la cual llógrase de la identidá ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$

${\displaystyle e+{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle e-{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Fórmula de Gosper:

${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12e^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

Como llende

La principal d'estes representaciones, particularmente nos cursos básicos de cálculu, ye la mesma definición de ${\displaystyle e}$, esto ye, la llende:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

En 1975, el suizu Felix A. Keller llogró la llende simétrica:^[26][27]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}$

De la fórmula de Stirling llógrase

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$ e

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$.

Amosóse tamién que

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

onde ${\displaystyle p_{n}}$ ee enésimu primu y ${\displaystyle p_{n}\#}$ ee'l primorial del enésimu primu.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

onde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

Como serie o suma infinita

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ onde ${\displaystyle B_{n}}$ ee'l ${\displaystyle n}$-esimo númberu de Bell.

Dellos exemplos d'esta última carauterización:

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}$

Como productu infinitu

El númberu ${\displaystyle e}$ puede espresase tamién por aciu productos infinitos "del tipu Wallis" de diverses formes,^[28] incluyendo'l productu de Pippenger^[29][30]

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

el productu de Catalan

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}$

y el productu de Guillera^[31][32]

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

onde'l n-ésimo factor ye la n-ésima raigañu del productu :${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

como tamién el productu infinitu

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

Como fracción continua

El desenvolvimientu decimal de e nun amuesa regularidá dalguna. Sicasí, coles fracciones continues, que pueden ser normalizaes (colos numberadores toos iguales a 1) o non, llogramos, en fracción continua normalizada:

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

lo que s'escribe ${\displaystyle e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}$, propiedá descubierta por Leonhard Euler^[33] (A003417 en OEIS). En fracción continua non normalizada tiense

${\displaystyle e=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}$

En dambos casos, e presenta regularidaes non casuales.

Díxitos conocíos

El númberu de díxitos conocíos de e aumentó descomanadamente mientres les últimes décades. Esto ye debíu tanto al aumentu del desempeñu de los ordenadores como tamién a la meyora de los algoritmos utilizaos.^[34][35] En 1949, J. von Neumann y el so grupu utilizaron el ENIAC pa llograr 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench toparon hasta 100.265 en 1961 cola fórmula d'Euler con un IBM 7090. Emplegar 2,5 hores. Yá pa 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell llegaren a 10.000.000 de decimales.

Nes últimes décades, los ordenadores fueron capaces de llograr númberos que tienen una inmensa cantidá de decimales. Asina, por casu, nel añu 2000, utilizando'l programa de cálculu PiFast33 nun ordenador Pentium III 800, llográronse 12 884 901 000 cifres decimales, pa lo que se precisó 167 hores.

Na dómina computacional del cálculu de e les cifres disparáronse, non yá por cuenta de la potencia de cálculu qu'estes máquines son capaces de xenerar, sinón tamién pol prestíu que trai pal constructor de la máquina cuando la so marca apaez na llista de los récores.

Primeres cien cifres decimales

Los cien primeres cifres de e son:

${\displaystyle e\approx 2,7182818284\;5904523536\;0287471352\;6624977572\;4709369995\;9574966967\;6277240766\;3035354759\;4571382178\;5251664274\;}$

Regles mnemotécniques

• Nel so desenvolvimientu decimal, dempués del “2,7” el númberu “1828” apaez dos veces, y dempués vienen los ángulos d'un triángulu rectángulu isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.

• 878/323 = 2.718266254 ... ye'l meyor aproximamientu racional utilizando enteros menores que 1000.^[46] Amás, dambos son palíndromos y 878-323=555.

• Inventáronse frases como regles mnemotécniques pa poder recordar les primeres cifres. Una forma de memorizar los 13 primeros díxitos ye con esta frase, namái hai que cuntar les lletres de cada pallabra: "El trabayu y esfuerciu de recordar y revuelve el mio estómagu, pero voi poder alcordame". Otru exemplu, en francés: "El to aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis" (Tu vas ayudar a recordar la cantidá a munchos doctores amigos)

e na cultura informática

Cartelu publicitariu de Google que plantegaba problema rellacionáu con e.

• Nel so ufierta publica inicial de 2004, Google anunció la so intención de recaldar $2,718,281,828, que son e miles de millones de dólares, arredondiaos a un valor enteru.
• Google foi tamién responsable d'un cartelu publicitariu qu'apaeció nel corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge; Seattle; y Austin. Nél lleíase "{primer primu de 10 díxitos topáu ente 1vos díxitos consecutivos de e}.com". Resolviendo esti problema y visitando l'anunciáu sitio web, aportar a un problema entá más difícil, que de la mesma conducía a los Google Labs, onde'l visitante taba convidáu a dexar el so currículum.^[47] El primer primu de 10 díxitos en e ye 7427466391, qu'empieza nel noventenu novenu (99°) díxitu.^[48]
• L'informáticu Donald Knuth fai que'l númberu de versión del so programa Metafont averar a e. Les versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.^[49]

Poemes al númberu e

• La matemática y poeta Sarah Glaz escribió un ellaboráu y estensu poema nel que describe la hestoria de e y les sos principales propiedaes.^[50]

• Otru poema ye'l realizáu por José Acevedo Jiménez:^[51]

Singular y encantador ye'l númberu (e).

Los sos primeros nueve díxitos decimales nun tienen de confundir te,
718281828, el 18 28 que se repite,
pos al igual que (pi) ye un númberu irracional.
De la fórmula del interés compuestu,
estiende la llende hasta l'infinitu
y vas entender lo que digo.
¡Oh! qué númberu tan fascinante qu'apaez nes finances,
del cálculu de Newton y Leibniz nin falar,
qu'atopó nos llogaritmos de Neper
la so morada al ser la so base natural.
Intrigante ye'l númberu (e),
que al alzalo a la la so derivada permanez igual;
¡qué grandiosu trascendental!
ensin ser la so intención del gran Euler ye la inicial
y nes funciones trigonométriques hiperbóliques podemos atopar,
a esi interminable numberal.
Les estrelles vamos llograr cuntar,
mas les cifres de (e) enxamás,
pos como cociente d'enteros nunca podremos espresar;
y como por mandatu divín,
con (pi) y l'unidá imaxinaria puede rellacionase por aciu una formosa identidá,
que namái a Euler pudo reveláse-y.
Por eso y muncho más en diverses cañes de les matemátiques,

el númberu (y) nunca, enxamás hai de faltar.

Otros intereses

e en chocolate

• El valor principal de la espresión ${\displaystyle i^{i}}$ ee un númberu real y ta dau por^[52] ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...}$

• Esllumáu pola identidá d'Euler, Benjamin Pierce suxurió crear nuevos símbolos pa ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle \pi }$. Pierce publicó la so suxerencia en revistes de matemática y llibros de la so autoría. Por cuenta de les dificultaes tipográfiques y la semeyanza ente los símbolos, la so propuesta nun foi bien recibida y cayó nel olvidu rápido.

• Dellos matemáticos proponen declarar el 2 de xunetu de 2018 como'l día ${\displaystyle e}$.