L'Oriente prehelénicu

Imaxe del güesu d'Ishango espuestu nel Real Institutu Belga de Ciencies Naturales.

Les mozquetes presentes nel güesu d'Ishango, que data de hai más de 20.000 años (anterior por tanto a l'apaición de la escritura) y que foi topáu pol arqueólogu Jean de Heinzelin de Braucourt,^[5] paecen aisllar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Dellos arqueólogos interpreten esti fechu como la prueba de la conocencia de los númberos primos. Con tou, esisten bien pocos afayos que dexen discernir les conocencies que tenía realmente l'home d'aquella dómina.^[6]

Numberoses tablillas de magre secu atribuyíes a les civilizaciones que se fueron asocediendo en Mesopotamia a lo llargo del II mileniu e.C. amuesen el resolución de problemes aritméticos y atestigüen les conocencies de la dómina. Los cálculos riquíen conocer los inversos de los naturales, que tamién se toparon en tablillas.^[7] Nel sistema sexaxesimal qu'emplegaben los babilonios pa escribir los númberos, los inversos de los divisores de potencies de 60 (númberos regulares) calcúlense fácilmente; por casu, estremar ente 24 equival a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexaxesimal dos llugares. La conocencia matemática de los babilonios precisaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

Nes matemátiques exipcies, el cálculu de fracciones riquía conocencies sobre les operaciones, la división de naturales y la factorización. Los exipcios namái operaben coles llamaes fracciones exipcies, suma de fracciones unitaries, esto ye, aquelles que'l so numberador ye 1, como ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},\dots }$, polo que les fracciones de numberador distintu de 1 escribíense como suma d'inversos de naturales, a ser posible ensin repetición ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}\right.}$ en llugar de ${\displaystyle \left.{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\right)}$.^[8] Ye por ello que, en cierta manera, teníen que conocer o albidrar los númberos primos.^[9]

Antigua Grecia

Un fragmentu de los Elementos d'Euclides atopáu en Oxirrinco.

La primer prueba indiscutible de la conocencia de los númberos primos remontar a alredor del añu 300 e. C. y atópase nos Elementos d'Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los númberos primos, demuestra qu'hai infinitos d'ellos, define'l máximu común divisor y el mínimu común múltiplu y apurre un métodu pa determinalos qu'anguaño se conoz como l'algoritmu d'Euclides. Los Elementos contienen coles mesmes el teorema fundamental de l'aritmética y la manera de construyir un númberu perfectu a partir d'un númberu primu de Mersenne.

La peñerada de Eratóstenes, atribuyida a Eratóstenes de Cirene, ye un métodu senciellu que dexa atopar númberos primos. Anguaño, sicasí, los mayores númberos primos que s'atopen cola ayuda d'ordenadores empleguen otros algoritmos más rápidos y complexos.

Dende la dómina de la renacencia

Pierre de Fermat.

Dempués de les matemátiques griegues, hubo poques meyores nel estudiu de los númberos primos hasta'l sieglu XVII. En 1640 Pierre de Fermat estableció (anque ensin demostración) el pequeñu teorema de Fermat, darréu demostráu por Leibniz y Euler. Ye posible que muncho primero se conociera un casu especial de dichu teorema en China.

Fermat conxeturó que tolos númberos de la forma 2²ⁿ+1 yeren primos (por cuenta de lo cual conocer como númberos de Fermat) y verificó esta propiedá hasta n = 4 (esto ye, 2¹⁶ + 1). Sicasí, el númberu de Fermat 2³² + 1 ye compuestu (unu de los sos factores primos ye 641), como demostró Euler. Ello ye que hasta los nuesos díes nun se conoz nengún númberu de Fermat que sía primu amás de los que yá conocía'l mesmu Fermat.

El monxu francés Marin Mersenne investigó los númberos primos de la forma 2^p − 1, con p primu. Nel so honor, conocer como númberos de Mersenne.

Nel trabayu de Euler en teoría de númberos atopen munchos resultancies que concernen a los númberos primos. Demostró la diverxencia de la serie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dots }$, y en 1747 demostró que tolos númberos perfectos pares son de la forma 2^p-1(2^p - 1), onde'l segundu factor ye un númberu primu de Mersenne. Créese que nun esisten númberos perfectos impares, pero inda ye una cuestión abierta.

A empiezos del sieglu XIX, Legendre y Gauss conxeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinitu, el númberu de primos menores o iguales que n ye asintótico a ${\displaystyle {\tfrac {n}{\ln(n)}}}$, onde ln(n) ye'l llogaritmu natural de n. Les idees que Bernhard Riemann afiguró nun trabayu de 1859 sobre la función zeta describieron el camín que conduciría a la demostración del teorema de los númberos primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada unu por separáu, dieron forma a esti esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Anguaño nun se comprueba la primalidá d'un númberu por divisiones socesives, siquier non si'l númberu ye relativamente grande.

Mientres el sieglu XIX desenvolviéronse algoritmos pa saber si un númberu ye primu o non factorizando dafechu'l númberu siguiente (p+1) o l'anterior (p-1). Dientro del primer casu atópase'l test de Lucas-Lehmer, desenvueltu a partir de 1856. Dientro del segundu casu atópase'l test de Pépin pa los númberos de Fermat (1877). El casu xeneral de test de primalidá cuando'l númberu darréu anterior atópase dafechu factorizado denominar test de Lucas.

Darréu atopáronse algoritmos de primalidá con solo llograr una factorización parcial de p+1 o p-1. Exemplos d'estos algoritmos son el test de Proth (desenvueltu alredor de 1878) y el test de Pocklington (1914). Nestos algoritmos ríquese que'l productu de los factores primos conocíos de p-1 sía mayor que'l raigañu cuadráu de p. Más apocayá, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desenvolvieron el test BLS de primalidá que solo rique que dichu productu sía mayor que'l raigañu cúbicu de p. El meyor métodu conocíu d'esta clase ye'l test de Konyagin y Pomerance del añu 1997, que rique que dichu productu sía mayor que p^3/10.^[10][11]

A partir de la década de 1970 dellos investigadores afayaron algoritmos pa determinar si cualquier númberu ye primu o non con complexidá subexponencial, lo que dexa realizar tests en númberos de miles de díxitos, anque son muncho más lentos que los métodos anteriores. Exemplos d'estos algoritmos son el test APRT-CL (desenvueltu en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con meyores introducíes por Cohen y Lenstra en 1984), onde s'usen los factores de p^m-1, onde l'esponente m depende del tamañu del númberu que la so primalidá deseyar verificar, el test de primalidá por curves elíptiques (desenvueltu en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y ameyoráu por A. O. L. Atkin), qu'apurre un certificáu consistente nuna serie de númberos que dexa dempués confirmar rápido si'l númberu ye primu o non. El desenvolvimientu más recién ye'l test de primalidá AKS (2002), que magar la so complexidá ye polinómica, pa los númberos que puede remanar la teunoloxía actual ye'l más lentu de los trés.

Mientres enforma tiempu, pensábase que l'aplicación de los númberos primos yera bien llindada fora de la matemática pura.^[12][13] Esto camudó nos años 1970 col desenvolvimientu de la criptografía de clave pública, na que los númberos primos formaben la base de los primeros algoritmos, tales como l'algoritmu RSA.

Dende 1951, el mayor númberu primu conocíu siempres foi afayáu cola ayuda d'ordenadores. La busca de númberos primos cada vez mayores amenó interés inclusive fora de la comunidá matemática. Nos últimos años ganaron popularidá proyeutos de computación distribuyida tales como'l GIMPS, mientres los matemáticos siguen investigando les propiedaes de los númberos primos.

Teorema fundamental de l'aritmética

Esta ilustración amuesa que'l 11 ye un númberu primu, pero'l 12 nun lo ye.

El teorema fundamental de l'aritmética establez que tou númberu natural tien una representación única como productu de factores primos, salvo l'orde. Un mesmu factor primu puede apaecer delles vegaes. El 1 represéntase entós como un productu vacíu.

Puede considerase que los númberos primos son los lladriyos» colos que se constrúi cualquier númberu natural. Por casu, puede escribise el númberu 23.244 como productu de 2²·3·13·149, y cualesquier otra factorización del 23.244 como productu de númberos primos va ser idéntica sacante pol orde de los factores.

La importancia d'esti teorema ye una de les razones pa escluyir el 1 del conxuntu de los númberos primos. Si almitiera'l 1 como númberu primu, l'enunciáu del teorema riquiría aclaraciones adicionales.

A partir d'esta unicidá na factorización en factores primos desenvuélvense otros conceutos bien utilizaos en matemátiques, tales como'l mínimu común múltiplu, el máximu común divisor y la coprimalidá de dos o más númberos. Asina, * El mínimu común múltiplu de dos o más númberos ye'l menor de los múltiplos comunes de toos ellos. Pa calculalo, descompónense los númberos en factores primos y tómense los factores comunes y non comunes col so máximu esponente. Por casu, el mínimu común múltiplu de 10=2·5 y 12=2²·3 ye 60=2²·3·5.

• El máximu común divisor de dos o más númberos ye'l mayor de los divisores comunes de toos ellos. Ye igual al productu de los factores comunes col so mínimu esponente. Nel exemplu anterior, el máximu común divisor de 10 y 12 ye 2.
• Finalmente, dos o más númberos son coprimos, o primos ente sigo, si nun tienen nengún factor primu común; esto ye, si'l so máximu común divisor ye 1. Un númberu primu ye, asina, coprimo con cualquier númberu natural que nun sía múltiplu d'él mesmu.

Otres propiedaes

• Na so escritura nel sistema de numberación decimal, tolos númberos primos, salvo'l 2 y el 5, tien como'l guarismu de les unidaes unu d'estos: 1, 3, 7 o 9. Polo xeneral, en cualquier sistema de numberación, tolos númberos primos salvu un númberu finito acaben nuna cifra que ye coprima cola base.
• De lo anterior deduzse que tolos númberos primos salvu'l 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n + 3. Igualmente, tolos númberos primos salvu'l 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
• Lema d'Euclides: Si p ye un númberu primu y divisor del productu de númberos enteros ab, entós p ye divisor de a o de b.
• Pequeñu teorema de Fermat: Si p ye primu y a ye dalgún númberu natural distintu de 1, entós a^p - a ye divisible por p.
• Si p ye primu distintu de 2 y 5, ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$ siempres ye un númberu periódicu na so representación decimal, de periodu p − 1 o un divisor de p − 1. Esto puédese deducir direutamente a partir del pequeñu teorema de Fermat. ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$ espresáu en base q (en llugar d'en base 10) tien propiedaes similares, siempres que p nun sía un factor primu de q.
• Teorema de Wilson: Un númberu natural n > 1 ye primu si y solu si el factorial (n - 1)! + 1 ye divisible por n. Coles mesmes, un númberu natural n > 4 ye compuestu si y solu si (n - 1)! ye divisible por n.
• La carauterística de too cuerpu ye, o bien cero, o bien un númberu primu.
• Primer teorema de Sylow: Si G ye un grupu finito, p primu y pⁿ ye la mayor potencia de p qu'estrema'l orde de G. Entós, esiste un subgrupu de G d'orde pⁿ.
• Teorema de Cauchy: Si G ye un grupu finito y p ye un númberu primu qu'estrema al orde de G, entós G contién un elementu d'orde p.
• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, llograda por concatenación de los númberos primos nel sistema decimal, ye un númberu irracional.
• El valor de la función zeta de Riemann en cada puntu del planu complexu dase como una continuación meromorfa d'una función definida por un productu sobre'l conxuntu de tolos primos pa Re(s) > 1:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Na rexón onde ye converxente, esti productu indexado polos númberos primos puede calculase, llográndose diversos valores, dalgunos d'ellos importantes en teoría de númberos. Los dos primeros son:

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\infty }$ (Correspondiente a la serie harmónica, rellacionáu cola infinitud de númberos primos).

${\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$ (Correspondiente al problema de Basilea).

Polo xeneral ${\displaystyle {\frac {1}{\pi ^{n}}}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-n}}}}$ ye un númberu racional cuando n ye un númberu enteru positivu par.

• L'aniellu ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ye un cuerpu si y solu si p ye primu. Equivalentemente: p ye primu si y solu si φ(p) = p − 1.
• Si p > 1, el polinomiu x ^p-1+x ^p-2+ ··· + 1 ye irreducible sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ si y solu si p ye primu.
• Un númberu natural n ye primu si y solu si'l n-ésimo polinomiu de Chebyshov de la primer especie T_n(x), estremáu ente x, ye ${\displaystyle 2=i(1-i)^{2}}$ irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Amás, T_n(x) ≡ xⁿ si y solu si n ye primu.
• Non tou númberu primu ye un númberu gaussiano primu; tal el casu de 2, que como enteru gaussiano almite la descomposición ${\displaystyle 2=i(1-i)^{2}}$ don de la norma de ${\displaystyle 1-i}$ ye 2, polo tanto nun ye unidá en Z[i].
• Los númberos primos de la forma ${\displaystyle 4n+1}$ son igual a la suma de dos cuadraos perfectos; polo que nun son númberos gaussianos primos. En cuantes que los númberos primos de la forma ${\displaystyle 4n+3}$ sí son númberos gaussianos primos.
• Tou númberu racional primu ye un númberu gaussiano enteru, ensin ser necesariamente númberu gaussiano primu.^[20]

Númberos primos y funciones aritmétiques

Les funciones aritmétiques, esto ye, funciones reales o complexes, definíes sobre un conxuntu de númberos naturales, desempeñen un papel crucial na teoría de númberos. Les más importantes son les funciones multiplicatives, que son aquelles funciones f nes cualos, pa cada par de númberos coprimos (a,b) tiense :${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)\,\!}$.

Dellos exemplos de funciones multiplicatives son la función φ de Euler, qu'a cada n acomuña'l númberu d'enteros positivos menores y coprimos con n, y les funciones τ y σ, qu'a cada n acomuñen respeutivamente el númberu de divisores de n y la suma de toos ellos. El valor d'estes funciones nes potencies de númberos primos ye :${\displaystyle \operatorname {\varphi } (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}}$,

${\displaystyle \operatorname {\tau } (p^{m})=m+1}$, :${\displaystyle \operatorname {\sigma } (p^{m})=1+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{m}}$..

Gracies a la propiedá que les define, les funciones aritmétiques pueden calculase fácilmente a partir del valor que tomen nes potencies de númberos primos. Ello ye que dau un númberu natural n de factorización

${\displaystyle n=p_{1}^{q_{1}}\cdots p_{a}^{q_{a}}}$

tiense que :${\displaystyle f(n)=f(p_{1}^{q_{1}})\cdots f(p_{a}^{q_{a}})}$

colo que se recondució'l problema de calcular f(n) al de calcular f sobre les potencies de los númberos primos qu'estremen n, valores que son xeneralmente más fáciles de llograr por aciu una fórmula xeneral. Por casu, pa conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·3²·5² basta con calcular

${\displaystyle \operatorname {\varphi } (450)=\operatorname {\varphi } (2)\cdot \operatorname {\varphi } (3^{2})\cdot \operatorname {\varphi } (5^{2})=(2-1)\cdot (9-3)\cdot (25-5)=120}$.

Infinitud de los númberos primos

Esisten infinitos númberos primos. Euclides realizó la primera demostración alredor del añu 300 e. C. nel llibru IX de la so obra Elementos^[21] Una adautación común d'esta demostración orixinal sigue asina: Tómase un conxuntu arbitrariu pero finito de númberos primos p₁, p₂, p₃, ···, p_n, y considérase el productu de toos ellos más unu, ${\displaystyle q=p_{1}\times p_{2}\times p_{3}\ldots \times p_{n}+1}$. Esti númberu ye obviamente mayor que 1 y distintu de tolos primos p_i de la llista. El númberu q puede ser primu o compuestu. Si ye primu vamos tener un númberu primu que nun ta nel conxuntu orixinal. Si, otra manera, ye compuestu, entós va esistir dalgún factor p qu'estreme a q. Suponiendo que p ye dalgunu de los p_i, deduzse entós que p estrema a la diferencia ${\displaystyle q-p_{1}\times p_{2}\times p_{3}\ldots \times p_{n}=1}$, pero nengún númberu primu estrema a 1, esto ye, llegóse a un absurdu por suponer que p ta nel conxuntu orixinal. La consecuencia ye que'l conxuntu que s'escoyó nun ye refechu, yá que esisten númberos primos que nun pertenecen a él, y esto ye independiente del conxuntu finito que se tome.

Poro, el conxuntu de los númberos primos ye infinitu.

Si tómase como conxuntu'l de los n primeros númberos primos, entós ${\displaystyle q=p_{1}\times p_{2}\times p_{3}\ldots \times p_{n}+1=p_{n}\sharp +1}$, onde p_n# ye lo que se llama primorial de p_n. Un númberu primu de la forma p_n# +1 denominar númberu primu d'Euclides n'honor al matemáticu griegu. Tamién puede ellaborase una demostración similar a la d'Euclides tomando'l productu d'un númberu dau de númberos primos menos unu, el llugar del productu d'esos númberos primos más unu. Nesi sentíu, denominar númberu primu primorial a un númberu primu de la forma p_n# ± 1.

Non tolos númberos de la forma p_n# +1 son primos. Nesti casu, como se sigue de la demostración anterior, tolos factores primos tendrán de ser mayores que n. Por casu: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

Otros matemáticos demostraron la infinitud de los númberos primos con diversos métodos procedentes d'árees de les matemátiques tales como al álxebra conmutativa y la topoloxía.^[22] Dalgunes d'estes demostraciones basar nel usu de socesiones infinites cola propiedá de que cada unu de los sos términos ye coprimo con tolos demás, polo que se crea una biyección ente los términos de la socesión y un subconxuntu (infinitu) del conxuntu de los primos.

Una socesión que cumple dicha propiedá ye la socesión d'Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los númberos primos, yá que cada unu de los sos términos defínese como'l factor primu más pequeñu d'unu más el productu de tolos términos anteriores. La socesión de Sylvester definir de forma similar, yá que cada unu de los sos términos ye igual a unu más el productu de tolos anteriores. Anque los términos d'esta última socesión nun son necesariamente toos primos, cada unu d'ellos ye coprimo con tolos demás, polo que puede escoyese cualesquier de los sos factores primos, por casu, el menor d'ellos, y el conxuntu resultante va ser un conxuntu infinitu que los sos términos son toos primos.

Frecuencia de los númberos primos

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \pi (n)}$	${\displaystyle \pi (n)-{\tfrac {n}{\ln n}}}$	${\displaystyle \mathrm {Li} (n)-\pi (n)}$	${\displaystyle {\tfrac {n}{\pi (n)}}}$
10	4	−0,3	2,2	2,500
10²	25	3,3	5,1	4,000
10³	168	23	10	5,952
10⁴	1.229	143	17	8,137
10⁵	9.592	906	38	10,425
10⁶	78.498	6.116	130	12,740
10⁷	664.579	44.158	339	15,047
10⁸	5.761.455	332.774	754	17,357
10⁹	50.847.534	2.592.592	1.701	19,667
1010	455.052.511	20.758.029	3.104	21,975
...	...	...	...	...

Comparanza ente les funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (colloráu); puede vese que l'aproximamientu de π(n) con Li(n) ye meyor que la qu'hai con ${\displaystyle {\tfrac {n}{\ln n}}}$

Una vegada demostráu la infinitud de los númberos primos, cabo preguntar cómo se distribúin los primos ente los númberos naturales, esto ye, qué frecuentes son y ónde s'espera atopar el n-ésimo númberu primu. Esti estudiu empecipiar Gauss y Legendre de forma independiente a finales del sieglu XVIII, pal cual introducieron la función enumerativa de los númberos primos π(n), y conxeturaron que'l so valor fora aproximao :${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln n}}}$.^[25]

L'enfotu de demostrar esta conxetura tomó tol sieglu XIX. Les primeres resultancies fueron llograos ente 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la esistencia de dos constantes A y B tales que :${\displaystyle A\leq {\frac {\pi (n)}{\frac {n}{\ln n}}}\leq B}$ pa n abondo grande. Consiguió demostrar que, si esistía la llende del cociente d'aquelles espresiones, este tenía de ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin ellaboraron una demostración en 1896, independientemente l'unu del otru, usando métodos similares, basaos nel usu de la función zeta de Riemann, que fuera introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo qu'esperar hasta 1949 p'atopar una demostración qu'usara solu métodos elementales (esto ye, ensin usar el analís complexu). Esta demostración foi escurrida por Selberg y Erdős. Anguaño, conozse'l teorema como teorema de los númberos primos.

El mesmu Gauss introdució una estimación más precisa, utilizando la función llogaritmu integral:

${\displaystyle \pi (n)\approx \mathrm {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x}$.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que l'error que se comete averando ${\displaystyle \pi (n)}$ d'esta forma ye :${\displaystyle \pi (n)-\mathrm {Li} (n)=O\left(n\mathrm {y} ^{-a{\sqrt {\ln n}}}\right)=O\left({\frac {n}{(\ln n)^{m}}}\right)}$ pa una constante positiva a y pa cada enteru m. Esta resultancia foi llixeramente ameyoráu a lo llargo de los años. Per otra parte, en 1901 Von Koch amosó que si la hipótesis de Riemann yera cierta, teníase la siguiente estimación, más precisa:^[26]

${\displaystyle \left|\pi (n)-\mathrm {Li} (n)\right|=O\left({\sqrt {n}}\ln n\right).}$

Una forma equivalente al teorema de los númberos primos ye que p_n, el n-ésimo númberu primu, queda bien averáu por nln(n). N'efeutu, p_n ye puramente mayor qu'esti valor.

Diferencia ente dos primos consecutivos

Amestáu a la distribución de los númberos primos atópase l'estudiu de los intervalos ente dos primos consecutivos. Esti intervalu, cola única salvedá del qu'hai ente'l 2 y el 3, ten de ser siempres igual o mayor que 2, yá que ente dos númberos primos consecutivos siquier hai un númberu par y por tanto compuestu. Si dos númberos primos tienen por diferencia 2, dizse que son ximielgos, y cola salvedá del "triplete" formáu polos númberos 3, 5 y 7, los númberos ximielgos preséntense siempres de dos en dos. Esto tamién ye bono de demostrar: ente tres números impares consecutivos mayores que 3 siempres hai unu que ye múltiplu de 3, y por tanto compuestu. Los primeros pares de númberos primos ximielgos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Per otra parte, la diferencia ente primos consecutivos pue ser tan grande como se quiera: dau un númberu natural n, se denota por n! el so factorial, esto ye, el productu de tolos númberos naturales entendíos ente 1 y n. Los númberos

${\displaystyle (n+1)!+2,(n+1)!+3,\cdot \cdot \cdot ,(n+1)!+n+1}$

son toos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entós (n+1)!+i ye divisible ente i, por tanto, ye compuestu. La socesión, qu'entiende n enteros consecutivos, nun contién nengún númberu primu. Por casu, si n=5, estos valores correspuenden a:

${\displaystyle 6!+2=722=2\cdot 361}$

${\displaystyle 6!+3=723=3\cdot 241}$

${\displaystyle 6!+4=724=4\cdot 181}$

${\displaystyle 6!+5=725=5\cdot 145}$

${\displaystyle 6!+6=726=6\cdot 121}$

El siguiente valor, 6!+7=727, ye primu.^[27] De toes formes, el menor númberu primu que falta del siguiente en n ye xeneralmente enforma menor que'l factorial, por casu, el casu más pequeñu de dos primos consecutivos separaos d'ocho unidaes ye (89, 97), ente que 8! ye igual a 40.320.

La socesión de les diferencies ente primos consecutivos^[28] foi profusamente estudiada en matemátiques, y alredor d'esti conceutu estableciéronse munches conxetures que permanecen ensin resolver.

Conclusión

La distribución de tolos númberos primos entendíos ente 1 y 76.800, d'esquierda a derecha y de riba abaxo. Cada pixel representa un númberu. Los píxeles negros representen númberos primos; los blancos representen númberos non primos.

Imaxe con 2310 columnes que caltién múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 nes columnes respeutives. Como cabo esperar, los númberos primos van cayer en columnes concretes si los númberos tán ordenaos d'esquierda a derecha y l'anchu ye un múltiplu d'un númberu primu. Sicasí, los númberos primos tamién queden distribuyíos de manera ordenada en construcciones espirales como la espiral de Ulam, yá que tienden a concentrase en delles diagonales concretes y non n'otres.

El modeláu de la distribución de los númberos primos ye una tema d'investigación recurrente ente los teóricos de númberos. La primalidá d'un númberu concretu ye (hasta agora) impredicible a pesar de qu'esisten lleis, como'l teorema de los númberos primos y el postuláu de Bertrand, que gobiernen la so distribución a gran escala. Leonhard Euler comentó:

Hasta'l día de güei, los matemáticos intentaron en devanéu atopar dalgún orde na socesión de los númberos primos, y tenemos motivos pa creer que ye un misteriu nel que la mente enxamás va enfusar.^[29]

Nuna conferencia de 1975, Don Zagier comentó:

Hai dos fechos sobre la distribución de los númberos primos de los qu'espero convence-yos de forma tan incontestable que van quedar permanentemente grabaos nos sos corazones. El primeru ye que, a pesar de la so definición simple y del papel que desempeñen como lladriyos colos que se constrúin los númberos naturales, los númberos primos crecen como meruxes ente los númberos naturales, y nun paecen obedecer nenguna otra llei que la del azar, y naide puede predicir ónde va brotar el siguiente. El segundu fechu ye entá más estelante, yá que diz xustu lo contrario: que los númberos primos amuesen una regularidá ablucante, qu'hai lleis que gobiernen el so comportamientu, y qu'obedecen estes lleis con precisión casi militar.^[30]

Tests de primalidá

La peñerada de Eratóstenes foi concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemáticu griegu del sieglu III e. C. Ye un algoritmu senciellu que dexa atopar tolos númberos primos menores o iguales qu'un númberu dau.

La peñerada de Eratóstenes ye una manera senciella de topar tolos númberos primos menores o iguales qu'un númberu dau. Basar n'iguar una llista de tolos númberos naturales dende'l 2 hasta esi númberu y tachar repetidamente los múltiplos de los númberos primos yá descubiertos. La peñerada de Atkin, más moderna, tien una mayor complexidá, pero si optimízase apropiadamente tamién ye más rápida. Tamién esiste una recién peñerada de Sundaram que xenera namái númberos compuestos, siendo los primos los númberos faltantes.

Na práutica, lo que se desea ye determinar si un númberu dau ye primu ensin tener qu'iguar una llista de númberos primos. Un métodu pa determinar la primalidá d'un númberu ye la división per tentativa, que consiste n'estremar socesivamente esi númberu ente los númberos primos menores o iguales al so raigañu cuadráu. Si dalguna de les divisiones ye exacta, entós el númberu nun ye primu; en casu contrariu, ye primu. Por casu, dau n menor o igual que 120, pa determinar la so primalidá basta comprobar si ye divisible ente 2, 3, 5 y 7, una y bones el siguiente númberu primu, 11, yá ye mayor que √120. Ye'l test de primalidá más senciellu, y rápido pierde la so utilidá a la de comprobar la primalidá de númberos grandes, una y bones el númberu de factores posibles crez demasiáu rápido a midida que crez el númberu potencialmente primu.

N'efeutu, el númberu de númberos primos menores que n ye aproximao :${\displaystyle {\frac {n}{\ln n-1}}}$. D'esta forma, pa determinar la primalidá de n, el mayor factor primu que se precisa nun ye mayor que √n, dexando'l númberu de candidatos a factor primu en cerca de :${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\ln {\sqrt {n}}-1}}}$. Esta espresión crez cada vez más amodo en función de n, pero, como los n grandes son d'interés, el númberu de candidatos tamién se fai grande: por casu, pa n = 10²⁰ tiénense 450 millones de candidatos.

Coles mesmes, esisten otros munchos tests de primalidá deterministes que se basen en propiedaes que caractericen a los númberos primos, pero la so utilidá computacional depende enforma del test usáu. Por casu, podría emplegase el teorema de Wilson pa calcular la primalidá d'un númberu, pero tien l'inconveniente de riquir el cálculu d'un factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se remanen númberos grandes. Equí ente en xuegu'l tiempu d'execución del algoritmu emplegáu, que s'espresa na notación de Landau. Pa poder determinar la primalidá de númberos cada vez más grandes (de miles de cifres) búsquense aquellos algoritmos que'l so tiempu d'execución creza lo más amodo posible, a ser posible, que pueda espresase como un polinomiu. Magar el test de primalidá AKS cumple con esta condición, pal rangu de númberos que s'usa na práutica esti algoritmu ye desaxeradamente lentu.

Per otra parte, de cutiu basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidá (anque non segura) de ser cierta. Puede comprobase rápido la primalidá d'un númberu relativamente grande por aciu tests de primalidá probabilísticos. Estos tests suelen tomar un númberu aleatoriu llamáu «testigu» ya introducilu nuna fórmula xunto col númberu potencialmente primu n. Dempués de delles iteraciones, resuélvese que n ye «definitivamente compuestu» o bien «probablemente primu». Estos últimos númberos pueden ser primos o bien pseudoprimos (númberos compuestos que pasen el test de primalidá). Dalgunos d'estos tests nun son perfectos: puede haber númberos compuestos que'l test considere «probablemente primos» independientemente del testigu utilizáu. Esos númberos reciben el nome de pseudoprimos absolutos pa esi test. Por casu, los númberos de Carmichael son númberos compuestos, pero'l test de Fermat evaluar como probablemente primos. Sicasí, los tests probabilísticos más utilizaos, como'l test de Miller-Rabin o'l obsoleto test de Solovay-Strassen, superáu pol anterior, nun tienen esti inconveniente, entá siendo igualmente tests probabilísticos.

Dellos tests probabilísticos podríen pasar a ser determinísticos y dellos tests pueden ameyorar el so tiempu d'execución si verifíquense delles hipótesis matemátiques. Por casu, si verifícase la hipótesis xeneralizada de Riemann, puede emplegase una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidá por curves elíptiques podría ameyorar notablemente'l so tiempu d'execución si verificárense delles hipótesis de teoría analítica de númberos.

Algoritmos de factorización

Un algoritmu de factorización ye un algoritmu que dixebra unu a unu los factores primos d'un númberu. Los algoritmos de factorización pueden funcionar tamién a manera de tests de primalidá, pero polo xeneral tienen un tiempu d'execución menos ventaxosu. Por casu, puede modificar l'algoritmu de división per tentativa de forma que nun se detenga cuando se llogre una división exacta, sinón que siga realizando nueves divisiones, y non sobre'l númberu orixinal, sinón sobre'l cociente llográu. Dempués de la división por tentativa, los métodos más antiguos que se conocen son el métodu de Fermat, que se basa nes diferencies ente cuadraos y que ye especialmente eficaz cuando n ye'l productu de dos númberos primos próximos ente sigo, y el métodu de Euler, que se basa na representación de n como suma de dos cuadraos de dos formes distintes.

Más apocayá, ellaboráronse algoritmos basaos nuna gran variedá de téuniques, como les fracciones continues o les curves elíptiques, anque dalgunos son meyores de métodos anteriores (la peñerada cuadrática, por casu, basar nuna meyora del métodu de Fermat y tien complexidá computacional subexponencial sobre'l númberu de cifres de n). Otros, como'l métodu rho de Pollard, son probabilísticos, y nun garanticen topar los divisores d'un númberu compuestu.

Lo que ye güei, l'algoritmu determinístico más rápidu d'usu xeneral ye'l xeneral number field sieve, que tamién tien complexidá computacional subexponencial sobre'l númberu de cifres de n.^[31] Propúnxose un algoritmu que'l so tiempu d'execución ye polinómico sobre'l númberu de cifres de n (el algoritmu de Shor), pero rique ser executáu nun ordenador cuánticu, yá que'l so simulación nun ordenador normal rique un tiempu esponencial. Nun se conocen algoritmos pa factorizar nun ordenador tradicional en tiempu polinómico y tampoco se demostró qu'esto sía imposible.

Fórmules que solo xeneraren númberos primos

A lo llargo de la historia, buscáronse numberoses fórmules pa xenerar los númberos primos. El nivel más altu d'esixencia pa una fórmula asina sería qu'acomuñara a cada númberu natural n el n-ésimo númberu primu. De forma más indulxente, puede pidise una función f inyectiva qu'acomuñe a cada númberu natural n un númberu primu de tala forma que cada unu de los valores tomaos apaeza solo una vegada.

Amás, esíxese que la función pueda aplicase, efectiva y conducentemente, na práutica.^[32] Por casu, el teorema de Wilson asegura que p ye un númberu primu si y solu si (p-1)!≡-1 (mod p). Otru exemplu: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) xenera tolos númberos primos, solo los númberos primos, y solo el valor 2 tómase más d'una vegada. Sicasí, dambes fórmules basar nel cálculu d'un factorial, lo que les fai computacionalmente invidables.

Na busca d'estes funciones, investigar, notablemente, les funciones polinómiques. Cabo sorrayar que nengún polinomiu, entá en delles variables, devuelve solu valores primos.^[33] Por casu, el polinomiu nuna variable f(n) = n² + n + 41, estudiada por Leonardo Euler, devuelve valores primos pa n = 0,…, 39, sicasí pa n= 40, resulta ${\displaystyle 40^{2}+40+41=41^{2}}$ un númberu compuestu.^[34] Si'l términu constante val cero, entós el polinomiu ye múltiplu de n, polo que'l polinomiu ye compuestu pa valores compuestos de n. En casu contrariu, si c ye'l términu constante, entós f(cn) ye múltiplu de c, polo que si'l polinomiu nun ye constante, necesariamente tendrá d'incluyir valores compuestos.

Sicasí, hai polinomios en delles variables que los sos valores positivos (cuando les variables percuerren númberos naturales) son precisamente númberos primos. Un exemplu, ye esti polinomiu descubiertu por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:^[33]

${\displaystyle (1-(w\cdot z+h+j-q)^{2}-(2\cdot n+p+q+z-y)^{2}-(a^{2}\cdot y^{2}-y^{2}+1-x^{2})^{2}\dots }$

${\displaystyle -(y^{3}\cdot (y+2)\cdot (a+1)^{2}+1-o^{2})^{2}-(16\cdot (k+1)^{3}\cdot (k+2)\cdot (n+1)^{2}+1-f^{2})^{2}\dots }$

${\displaystyle -(((a+o^{2}\cdot (o^{2}-a))^{2}-1)\cdot (n+4\cdot d\cdot y)^{2}+1-(x+c\cdot o)^{2})^{2}-(a\cdot i+k+1-l-i)^{2}\dots }$

${\displaystyle -((g\cdot k+2\cdot g+k+1)\cdot (h+j)+h-z)^{2}-(16\cdot r^{2}\cdot y^{4}\cdot (a^{2}-1)+1-o^{2})^{2}\dots }$

${\displaystyle -(p-m+l\cdot (a-n-1)+b\cdot (2\cdot a\cdot n+2\cdot a-n^{2}-2\cdot n-2))^{2}-(z-p\cdot m+p\cdot l\cdot a-p^{2}l+t\cdot (2\cdot a\cdot p-p^{2}-1))^{2}\dots }$

${\displaystyle -(q-x+y\cdot (a-p-1)+s\cdot (2\cdot a\cdot p+2\cdot a-p^{2}-2\cdot p-2))^{2}-(a^{2}\cdot l^{2}-l^{2}+1-m^{2})^{2}-(n+l+v-y)^{2})\cdot (k+2)}$

Al igual qu'asocede coles fórmules con factoriales, esti polinomiu nun ye práuticu de calcular, yá que, anque los valores positivos que toma son toos primos, práuticamente nun devuelve otra cosa que valores negativos cuando se faen variar les variables a a z de 0 a infinitu.

Otru enfoque al problema d'atopar una función que solo xenere númberos primos vien dau a partir del teorema de Mills, qu'indica qu'esiste una constante θ tal que :${\displaystyle \lfloor \theta ^{3^{n}}\rfloor }$

ye siempres un númberu primu, onde ${\displaystyle \lfloor \rfloor }$ ye la función trío.^[35] Inda nun se conoz nenguna fórmula pa calcular la constante de Mills, y los aproximamientos que s'empleguen na actualidá basar na socesión de los asina llamaos númberos primos de Mills (los númberos primos xeneraos por aciu esta fórmula), que nun pueden ser llograos rigorosamente, sinón solo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Primos primoriales y primos factoriales

Los númberos primos primoriales, direutamente rellacionaos cola demostración euclidiana de la infinitud de los númberos primos, son los de la forma p = n# ± 1 pa dalgún númberu natural n, onde n# ye igual al productu 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de tolos primos ≤ n. Coles mesmes, un númberu primu dizse primu factorial si ye de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 ye primu pa n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …^[36]

n! + 1 ye primu pa n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …^[37]

Númberos primos de Fermat

Construcción d'un pentágonu regular. 5 ye un númberu primu de Fermat.

Los númberos de Fermat, amestaos a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son los númberos de la forma ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$, con n natural. Los únicos númberos primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que yá conocía'l mesmu Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, ente que pa valores de n ente 5 y 32 estos númberos son compuestos.^[38]

Pa determinar la so primalidá, esiste un test especializáu que'l so tiempu d'execución ye polinómico: el test de Pépin. Sicasí, los mesmos númberos de Fermat crecen tan rápido que solo se lo pudo aplicar pa valores de n pequeños. En 1999 aplicar pa n = 24. Pa determinar el calter d'otros númberos de Fermat mayores utilízase'l métodu de divisiones socesives y de esa manera a fecha de xunu de 2009 conócense 241 númberos de Fermat compuestos, anque na mayoría de los casos desconoza'l so factorización completa.^[38]

Númberos primos de Mersenne

Los númberos de Mersenne son los de forma M_p = 2^p – 1, onde p ye primu.^[39] Los mayores númberos primos conocíos son xeneralmente d'esta forma, yá que esiste un test de primalidá bien eficaz, el test de Lucas-Lehmer, pa determinar si un númberu de Mersenne ye primu o non.

Anguaño, el mayor númberu primu que se conoz ye M_{77 232 917} = 2^{77 232 917} - 1, que tien 23 249 425 cifres nel sistema decimal. Trátase cronológicamente del 50ᵘ númberu primu de Mersenne conocíu y el so descubrimientu anunció'l 3 de xineru de 2018^[40] gracies al proyeutu de computación distribuyida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS).

Otres clases de númberos primos

Esisten lliteralmente decenes de apellíos que pueden añader al conceutu de númberu primu pa referise a un subconxuntu que cumple dalguna propiedá concreta. Por casu, los númberos primos pitagóricos son los que pueden espresase na forma 4n+1. Dichu d'otra forma, tratar de los númberos primos que'l so restu al estremalos ente 4 ye 1. Otru exemplu ye'l de los númberos primos de Wieferich, que son aquellos númberos primos p tales que p² estrema a 2^p-1 - 1.

Dalgunes d'estes propiedaes referir a una rellación concreta con otru númberu primu:

• Númberos primos ximielgos: p y p+2 ser si son los dos primos.
• Númberu primu de Sophie Germain: dau p primu, ye de Sophie Germain si 2p + 1 tamién ye primu. Una socesión de númberos p₁,p₂,p₃,··· ,p_n toos ellos primos, tales que p_i+1=2p_i+1 pa tou i ∈ {1,2,···,n-1 }, denominar cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada unu de los términos, salvo'l postreru, ye un númberu primu de Sophie Germain. Créese que pa tou n natural esisten infinites cadenes de Cunningham de llargor n,^[41] anque hasta la fecha naide apurrió prueba de que dicha afirmación sía cierta.
• Númberu primu de Wagstaff: p ser si ${\displaystyle \textstyle p={{2^{q}+1} \over 3}}$, onde q ye otru númberu primu.^[42][43]

Tamién se-yos da nomes especiales a delles clases de primos que dependen de la base de numberación emplegada o de la forma d'escribir los díxitos, y non d'una fórmula matemática. Ye'l casu de los númberos somirp (primos al aviesu), que son aquellos númberos primos tales que'l númberu llográu al invertir l'orde de les sos cifres tamién ye primu. Tamién ye'l casu de los númberos primos repunit, que son aquellos númberos primos que son concatenación d'unos. Si, en llugar de considerase'l sistema de numberación decimal considérase'l binariu, llógrase otru conxuntu distintu de númberos primos repunit que, amás, coincide col de los númberos primos de Mersenne. Finalmente, los númberos primos triádicos son aquellos númberos que son primos, capicúes y simétricos respectu d'una recta horizontal.

El que se-y dea un nome a una clase de númberos primos con una definición precisa nun significa que se conoza dalgún númberu primu que sía d'esa clase. Por casu, nun se conoz hasta'l momentu nengún númberu primu de Wall-Sun-Sun, pero la so relevancia anicia en qu'en 1992, antes de la demostración de Wiles del últimu teorema de Fermat, afayóse que la falsedá del teorema pa un númberu primu p dadu implicaba que p yera un númberu primu de Wall-Sun-Sun. Esto fizo que, mientres un tiempu, la busca de númberos primos d'esta clase fuera tamién la busca d'un contraejemplo del postreru teorema de Fermat.^[44]

Hipótesis de Riemann

Pa entender la hipótesis de Riemann, una conxetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2024), sigue ensin resolvese, ye necesariu entender la función zeta de Riemann. Sía ${\displaystyle s}$ un númberu complexu con parte real mayor que 1. Entós,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

La segunda igualdá ye una consecuencia del teorema fundamental de l'aritmética, y amuesa que la función zeta ta íntimamente rellacionada colos númberos primos.

Esisten dos tipos de ceros de la función zeta, esto ye, valores s pa los cualos ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2, s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los non triviales, que son aquellos ceros que nun s'atopen na exa real. Lo qu'indica la hipótesis de Riemann ye que la parte real de tolos ceros non triviales ye igual a 1/2.

La veracidá de la hipótesis implica una fonda conexón colos númberos primos, n'esencia, nel casu de verificase, diz que los númberos primos tán distribuyíos de la forma más regular posible. Dende un puntu de vista físicu», diz grosso modo que les irregularidaes na distribución de los númberos primos solo vienen de ruiu aleatorio. Dende un puntu de vista matemáticu, diz que la distribución asintótica de los númberos primos (según el teorema de los númberos primos, la proporción de primos menores que n ye ${\displaystyle {\tfrac {1}{\ln(n)}}}$) tamién ye cierta pa intervalos enforma menores, con un error d'aproximao'l raigañu cuadráu de n (pa intervalos próximos a n). Ta llargamente estendíu na comunidá matemática que la hipótesis sía cierta. En concretu, la presunción más simple ye que los númberos primos nun tendríen de tener irregularidaes significatives na so distribución ensin una bona razón.^[45]

Otres conxetures

Los cuatro problemes de Landau

En 1912, Landau estableció nel Congresu Internacional de Matemáticos Quintu Congresu Internacional de Matemáticos de Cambridge una llista de cuatro de los problemes yá mentaos sobre númberos primos, que se conocen como los problemes de Landau. Nengún d'ellos ta resueltu hasta la fecha. Trátase de la conxetura de Goldbach, la de los númberos primos ximielgos, la de Legendre y la de los primos de la forma n² + 1.^[49]

Elementos primos nun aniellu

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a 500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros gaussianos que son primos.

Pueden definise los elementos primos y los elementos irreducibles en cualesquier dominiu d'integridá.^[50] En cualesquier dominiu de factorización única, como por casu, l'aniellu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de los enteros, el conxuntu d'elementos primos equival al conxuntu de los elementos irreducibles, qu'en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ye {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por casu los enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, esto ye, los númberos complexos de la forma a+bi con a, b ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Este ye un dominiu d'integridá, y los sos elementos primos son los primos gaussianos. Hai de solliñar que'l 2 non ye un primu gaussiano, porque almiti factorización como productu de los primos gaussianos (1+i) y (1-i). Sicasí, l'elementu 3 sí ye primu nos enteros gaussianos, pero nun lu ye n'otru dominiu enteru. Polo xeneral, los primos racionales (esto ye, los elementos primos del aniellu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, pero nun lu son aquellos de la forma 4k+1.

Ideales primos

En teoría d'aniellos, un ideal I ye un subconxuntu d'un aniellu A tal que * si i, j ∈ I, entós la suma i + j pertenez a I

• y si x ∈ A, i ∈ I, entós los productos a × i, i × a pertenecen a I.

Un ideal primu defínese entós como un ideal que cumple tamién que:

• pa cualquier par d'elementos a, b del aniellu A tales que'l so productu a × b pertenez a I, entós, siquier unu de los dos elementos, a o b, ta en I.
• I nun ye l'aniellu A enteru.

Los ideales primos son una ferramienta relevante en álxebra conmutativa, teoría alxebraica de númberos y xeometría alxebraica. Los ideales primos del aniellu d'enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría alxebraica de númberos ye la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometíos a una estensión de cuerpos. Nel exemplu de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia d'un primu (yá que ${\displaystyle 1+i}$ y ${\displaystyle 1-i}$ xeneren el mesmu ideal primu), los ideales primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$ son inertes (caltienen la so primalidá) y los de la forma ${\displaystyle 4k+1}$ pasen a ser productu de dos ideales primos distintos.

Primos en teoría de la valoración

En teoría alxebraica de númberos surde otra xeneralización más. Dau un cuerpu ${\displaystyle \mathbb {K} }$, reciben el nome de valoraciones sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ determinaes funciones de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Caúna d'estes valoraciones xenera una topoloxía sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, y dizse que dos valoraciones son equivalentes si xeneren la mesma topoloxía. Un primu de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ye una clase d'equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de los númberos racionales queden representaos pola función valor absolutu según poles valoraciones p-ádicas sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ pa cada númberu primu p.

Nuedos primos

Dellos nuedos primos.

En teoría de nuedos, un nuedu primu ye un nuedu non trivial que nun se puede descomponer en dos nuedos más pequeños. De forma más precisa, tratar d'un nuedu que nun se puede escribir como suma conexa de dos nuedos non triviales.

En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogu al teorema fundamental de l'aritmética, qu'asegura que cada nuedu puede llograse de forma única como suma conexa de nuedos primos.^[51] Por esti motivu, los nuedos primos desempeñen un papel central na teoría de nuedos: una clasificación de los nuedos foi dende finales del sieglu XIX la tema central de la teoría.