Primer postuláu

Los electrones describen órbites circulares en redol al nucleu del átomu ensin irradiar enerxía.

La causa de que l'electrón nun irradie enerxía na so órbita ye, pel momento, un postuláu, yá que según la electrodinámica clásica una carga con un movimientu aceleráu tien d'emitir enerxía en forma de radiación.

Pa caltener la órbita circular, la fuercia qu'esperimenta l'electrón —la fuercia coulombiana pola presencia del nucleu— tien de ser igual a la fuercia centrípeta. Esto danos la siguiente espresión:

${\displaystyle k{Ze^{2} \over r^{2}}={m_{e}v^{2} \over r}}$

Onde'l primer términu ye la fuercia llétrico o de Coulomb, y el segundu ye la fuercia centrípeta; k ye la constante de la fuercia de Coulomb, Z ye'l númberu atómicu del átomu, y ye la carga del electrón, ${\displaystyle m_{y}}$ ye la masa del electrón, v ye la velocidá del electrón na órbita y r el radiu de la órbita.

Na espresión anterior podemos estenar el radiu, llogrando:

${\displaystyle r=k{Ze^{2} \over m_{e}v^{2}}}$

Y agora, con esta ecuación, y sabiendo que la enerxía total ye la suma de les enerxíes cinético y potencial:

${\displaystyle Y=T+V={1 \over 2}m_{e}v^{2}-k{Ze^{2} \over r}=-{1 \over 2}{kZe^{2} \over r}}$

Onde queda espresada la enerxía d'una órbita circular pal electrón en función del radiu de dicha órbita.

Nota: dacuando puede trate escrita en términos de la permitividad del vacíu ${\displaystyle k=1/4\pi \epsilon _{0}}$ , o n'unidaes electroestáticas de carga: k=1 .

Segundu postuláu

Les úniques órbites dexaes pa un electrón son aquelles pa les cualos el momentu angular, ${\displaystyle L}$, del electrón sía un múltiplu enteru de ${\displaystyle \hbar ={h \over 2\pi }}$. Esta condición matemáticamente escríbese:

${\displaystyle L=m_{e}vr=n\hbar }$

con ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

A partir d'esta condición y de la espresión pal radiu llograda antes, podemos sustituyir ${\displaystyle v}$ y queda la condición de cuantización pa los radios dexaos:

${\displaystyle r_{n}={n^{2}\hbar ^{2} \over km_{e}Ze^{2}}}$

con ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$; subíndice introducíu nesta espresión pa resaltar que'l radiu agora ye una magnitú discreta, a diferencia de lo que dicía'l primer postuláu.

Agora, dándo-y valores a ${\displaystyle n}$, númberu cuánticu principal, llogramos los radios de les órbites dexaes. Al primeru d'ellos (con n=1), llámase-y radiu de Bohr:

${\displaystyle a_{0}={\hbar ^{2} \over km_{y}y^{2}}=0.529}$

espresando la resultancia en ångström.

De la mesma podemos agora sustituyir los radios dexaos ${\displaystyle r_{n}}$ na espresión pa la enerxía de la órbita y llograr asina la enerxía correspondiente a cada nivel dexáu:

${\displaystyle Y_{n}=-{1 \over 2}{k^{2}m_{e}Z^{2}y^{4} \over n^{2}\hbar ^{2}}}$

Igual qu'antes, pal átomu d'hidróxenu (Z=1) y el primer nivel dexáu (n=1), llogramos:

${\displaystyle Y_{0}=-{1 \over 2}{k^{2}m_{y}y^{4} \over \hbar ^{2}}=-13.6{\text{ eV}}}$

que ye la llamada enerxía del estáu fundamental del átomu d'Hidróxenu.

Y podemos espresar el restu d'enerxíes pa cualesquier Z y n como:

${\displaystyle Y_{n}={Z^{2} \over n^{2}}Y_{0}}$

Tercer postuláu

L'electrón solo emite o absuerbe enerxía nos saltos d'una órbita dexada a otra. En dichu cambéu emite o absuerbe un fotón que la so enerxía ye la diferencia d'enerxía ente dambos niveles. Esti fotón, según la llei de Planck tien una enerxía:

${\displaystyle Y_{\gamma }=h\nu =Y_{n_{f}}-Y_{n_{i}}}$

onde ${\displaystyle n_{i}}$ identifica la órbita inicial y ${\displaystyle n_{f}}$ la final, y ${\displaystyle \nu }$ ye la frecuencia.

Entós les frecuencies de los fotones emitíos o absorbíos na transición van ser:

${\displaystyle \nu ={k^{2}m_{y}Z^{2}y^{4} \over 2h\hbar ^{2}}\left({1 \over n_{i}^{2}}-{1 \over n_{f}^{2}}\right)}$

Dacuando, en cuenta de la frecuencia suelse dar la inversa del llonxitú d'onda:

${\displaystyle {\overline {\nu }}={1 \over \lambda }={k^{2}m_{y}Z^{2}y^{4} \over 2hc\hbar ^{2}}\left({1 \over n_{i}^{2}}-{1 \over n_{f}^{2}}\right)}$

Esta última espresión foi perbién recibida porque esplicaba teóricamente la fórmula fenomenológica topada antes por Balmer pa describir les llinies espectrales reparaes dende finales del sieglu XIX na desexcitación del Hidróxenu, que veníen daes por:

${\displaystyle {\overline {\nu }}={1 \over \lambda }=R_{H}\left({1 \over 2^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)}$

con ${\displaystyle n=3,4,5,\dots }$, y onde ${\displaystyle R_{H}}$ ye la constante de Rydberg pal hidróxenu. Y como vemos, la espresión teórica pal casu ${\displaystyle n_{f}=2}$, ye la espresión predicha por Balmer, y el valor midíu esperimentalmente de la constante de Rydberg (${\displaystyle 1.09710^{7}m^{-1}}$), coincide col valor de la fórmula teórica.

Puede demostrase qu'esti conxuntu d'hipótesis correspuende a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomu tán descritos por funciones d'onda estacionaries. Un modelu atómicu ye una representación que describe les partes que tien un átomu y como tán dispuestes pa formar un tou. Basándose na constante de Planck ${\displaystyle Y=h\nu \,}$ consiguió cuantizar les órbites reparando les llinies del espectru.