Sieglu XIX

A partir de la segunda metá del sieglu XIX, la lóxica sería revolucionada fondamente. En 1847, George Boole publicó un curtiu tratáu tituláu L'analís matemáticu de la lóxica, y en 1854 otru más importante tituláu Les lleis del pensamientu. La idea de Boole foi construyir a la lóxica como un cálculu nel que los valores de verdá representar por aciu el F (falsedá) y la V (verdá), y a los que se-yos apliquen operaciones matemátiques como la suma y la multiplicación.

Nel postreru terciu del sieglu XIX la lóxica va atopar el so tresformamientu más fondu de la mano de les investigaciones matemáticu y lóxicu, xunto col desenvolvimientu de la investigación de les estructures fondes del llinguaxe, la llingüística, convirtiéndose definitivamente nuna ciencia formal. Ye una ciencia formal, yá que estudia les idees y constitúi una ferramienta conceptual pa toles otres ciencies y árees de la conocencia. y forma parte d'un conxuntu sistemáticu de conocencies racionales y coherentes, que s'ocupen del estudiu de los procesos lóxicos y matemáticos,

Coles mesmes, Augustus De Morgan publica en 1847 la so obra Lóxica formal, onde introduz les lleis de De Morgan ya intenta xeneralizar la noción de siloxismu. Otru importante contribuyente inglés foi John Venn, quien en 1881 publicó'l so llibru Lóxica Simbólica, onde introdució los famosos diagrames de Venn.

Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder tamién fixeron importantes contribuciones.

Sicasí, la verdadera revolución de la lóxica vieno de la mano de Gottlob Frege, quien frecuentemente ye consideráu como'l lóxicu más importante de la hestoria, xunto con Aristóteles. Nel so trabayu de 1879, la Conceptografía, Frege ufierta per primer vegada un sistema completu de lóxica de predicaos y cálculu proposicional. Tamién desenvuelve la idea d'un llinguaxe formal y define la noción de prueba. Estes idees constituyeron una base teórica fundamental pal desenvolvimientu de los ordenadores y les ciencies de la computación, ente otres coses. Magar esto, los contemporáneos de Frege pasaron per alto les sos contribuciones, probablemente por causa de la complicada notación que desenvolvió l'autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Les lleis de l'aritmética, onde intenta deducir tola matemática a partir de la lóxica, no que se conoz como'l proyeutu loxicista. El so sistema y la so aplicación a la teoría de conxuntos, sicasí, contenía una contradicción (la paradoxa de Russell).

Lóxica matemática foi'l nome dau por Giuseppe Peano pa esta disciplina. N'esencia, ye la lóxica d'Aristóteles, pero dende'l puntu de vista d'una nueva notación, más astracta, tomada del álxebra.

Sieglu XX

El sieglu XX sería unu d'enormes desarrollos en lóxica. A partir del sieglu XX, la lóxica pasó a estudiase pol so interés intrínsecu, y non yá poles sos virtúes como propedéutica, polo que s'estudió a niveles muncho más astractos.

En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publiquen Principia mathematica, un trabayu monumental nel que llogren gran parte de la matemática a partir de la lóxica, evitando cayer nes paradoxes nes que cayó Frege. Suponíase que les teoríes matemátiques yeren tautoloxíes lóxiques, y el programa tenía d'amosar esto per mediu d'un amenorgamientu de la matemática a la lóxica. Los autores reconocen el méritu de Frege nel prefaciu. En contraste col trabayu de Frege, Principia mathematica tuvo un ésitu atayante, y llegó a considerase unu de los trabayos de non ficción más importantes ya influyentes de tol sieglu XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada na de Giuseppe Peano, parte de la cual inda ye bien utilizada anguaño.

En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, xusto dempués de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic onde propón un nuevu condicional más fayadizu pa recoyer el significáu de la espresión "si... entós" del llinguaxe natural. Lewis llamar implicación estricta. El nuevu condicional rique, pa ser verdaderu, una rellación más fuerte ente l'antecedente y el consecuente que'l condicional clásicu.

En 1920 David Hilbert propunxo de forma esplícita un proyeutu d'investigación (en metamatemática, como se llamó entós) qu'acabó siendo conocíu como programa de Hilbert. Quería que la matemática fora formulada sobre unes bases sólides y dafechu lóxiques. El proyeutu foi refutado polos polos teoremas de incompletitud de Gödel. Tanto la declaración del programa de Hilbert como'l so refutación por Gödel dependíen del so trabayu estableciendo'l segundu ámbitu de la lóxica matemática, l'aplicación de les matemátiques a la lóxica na forma de la teoría de la demostración. A pesar de la naturaleza negativa de los teoremas de la incompletitud, el teorema de la complexidá de Gödel, un resultáu na teoría de modelos y otra aplicación de les matemátiques a la lóxica, pue ser entendíu como una demostración del logismo cercanu: toa teoría matemática rigorosamente definida pue ser prindada esautamente por una teoría de primer orde. El cálculu de la prueba de Frege ye abonda pa describir tola matemática, anque nun sía equivalente a ella.

L'orixe de los modelos astractos de computación encuadrar nos años '30 ( primero qu'esistieren los ordenadores modernos), nel trabayu de los lóxicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabayos iniciales tuvieron una fonda influencia, tantu nel desenvolvimientu teóricu como n'abondosos aspeutos de la práutica de la computación; previendo inclusive la esistencia d'ordenadores de propósitu xeneral, la posibilidá d'interpretar programes, la dualidá ente software y hardware, y la representación de llinguaxes por estructures formales basaos en regles de producción.

La deducción natural foi introducida por Gerhard Gentzen nel so trabayu Investigaciones sobre la inferencia lóxica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicáu en 1934-1935.

Nos años 40 Alfred Tarski empezó a desenvolver xunto a los sos discípulos el álxebra relacional, na que pueden espresase tantu la teoría axomática de conxuntos como l'aritmética de Peano. Tamién desenvolvió xunto a los sos discípulos les álxebres cilíndriques, que son a la lóxica de primer orde lo que l'álxebra booleana a la lóxica proposicional. En 1941 publicó n'inglés unu de los manuales de lóxica más acreditaos, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.

Noam Chomsky en 1956 propón una clasificación xerárquica de distintos tipos de gramátiques formales que xeneren llinguaxes formales llamada xerarquía de Chomsky.

Magar a la lluz de los sistemes contemporáneos la lóxica aristotélica puede paecer equivocada ya incompleta, Jan Łukasiewicz amosó que, a pesar de les sos grandes dificultaes, la lóxica aristotélica yera consistente, magar había qu'interpretase como lóxica de clases, lo cual nun ye pequeñu cambéu. Por ello la siloxística práuticamente nun tien usu anguaño.

Amás de la lóxica proposicional y la lóxica de predicaos, el sieglu XX vio'l desenvolvimientu de munchos otros sistemes lóxicos; ente los que destaquen les munches lóxiques modales.

Sistemes lóxicos

La lóxica matemática interesar por tres tipos d'aspeutos de los sistemes lóxicos:

• La sintaxis de los llinguaxes formales, esto ye, les regles de formación de símbolos interpretables construyíos a partir d'un determináu alfabetu, y les regles de inferencia. En concretu'l conxuntu de teoremes deducibles d'un conxuntu d'axomes.
• La semántica de los llinguaxes formales, esto ye, los significaos atribuyibles a un conxuntu de signos, según el valor de verdá atribuyible a delles de les proposiciones. Polo xeneral les espresiones d'un sistema formal interpretaes nun modelu son ciertes o falses, polo qu'un conxuntu de proposiciones qu'almite un modelu ye siempres consistente.
• Los aspeutos metalógicos de los llinguaxes formales, como por casu la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la esistencia de modelos de ciertu tipu, ente otros.

Los distintos tipos de sistemes lóxicos pueden ser clasificaos en:

• Lóxica proposicional (Lóxica d'orde cero): Nella esiste símbolos pa variables proposicionales (que pueden ser interpretaos informalmente como enunciaos que pueden ser ciertos o falsos) amás de símbolos pa diverses conectivas. Estes conectivas dexen formar espresiones complexes a partir de variables proposicionales simples. Un sistema lóxicu puede incluyir diversos tipos de conectivas, ente ellos, la lóxica clásica suel faer usu de los siguientes:

¬ lléese “non”

∧ lléese “y”

∨ lléese “o”

→ lléese “…implica…” o “si,…entós…,”

↔ lléese “…equivalente con…” o "…si, namái sí…"

Dientro de la lóxica proposicional pueden estremase dellos tipos, por casu acutando les posibilidaes d'interpretación semántica llógrase la lóxica intuicionista y ampliando la complexidá de les interpretaciones semántiques llógrense les lóxiques modales.

• Lóxica de predicaos: Esta nun inclúi símbolos pa variables proposicionales sinón que les proposiciones más elementales son predicaos atómicos formaos a partir de variables interpretables como oxetos singulares, rellaciones (ente estes frecuentemente úsense = , <, >, etc.), funciones matemátiques. Amás símbolos pa representar variables, rellaciones y funciones esti tipu de lóxiques inclúin cuantificadores. Dientro de la lóxica de predicaos pueden estremase ciertos tipos:
  • Lóxica de primer orde que usualmente ye finitaria (namái s'almiten proposiciones formaes por aciu un númberu finito de pasos) anque tamién esisten lóxiques infinitarias.
  • Lóxica de segundu orde que de la mesma pueden ser de distintos subtipos.

Teoríes axomátiques

Una teoría axomática ta formada por un conxuntu de proposiciones expresables nun determináu llinguaxe formal y toles proposiciones deducibles de diches espresiones por aciu les regles de inferencia posibles en dichu sistema lóxicu.

L'oxetivu de les teoríes axomátiques ye construyir sistemes lóxicos que representen les carauterístiques esenciales de cañes enteres de les matemátiques. Si escueye un conxuntu más ampliu o menos ampliu d'axomes el conxuntu de teoremas deducibles camuden. L'interés de la teoría de modelos ye que nun modelu en que satisfaigan los axomes de determinada teoría tamién se satisfaen los teoremas deducibles de dicha teoría. Esto ye, si un teorema ye deducible nuna cierta teoría, entós esi teorema ye universalmente válidu en tolos modelos que satisfaen los axomes. Esto ye interesante porque en principiu la clase de modelos que satisfai una cierta teoría ye malo de conocer, una y bones les teoríes matemátiques interesantes polo xeneral almiten toa clase infinita de modelos non isomorfos, polo que la so clasificación polo xeneral resulta difícilmente abordable si nun esiste un sistema lóxicu y un conxuntu d'axomes que caracterice los distintos tipos de modelos.

Lóxica proposicional

La lóxica proposicional (o lóxica d'orde cero) ye un llinguaxe formal nel que nun esisten variables nin cuantificación, eso implica que cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada de la lóxica proposicional almite una valoración na proposición ye cierta o falsa dependiendo del valor de verdá asignáu a les proposiciones que la compongan. N'otres pallabres na lóxica proposicional cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lóxicu basáu na lóxica proposicional ye decidible y nun númberu finito de pasos puede determinase la verdá o falsedá semántica d'una proposición. Esto fai que la lóxica proposicional sía completa y bien senciella de carauterizar semánticamente.

Lóxica de predicaos

La lóxica de predicaos (o lóxica de primer orde) ye un llinguaxe formal nel que les sentencies bien formaes son producíes poles regles enunciaes de siguío.

Vocabulariu Un

vocabulariu ye una tupla: ${\displaystyle \tau =\langle R_{1},R_{2},...,R_{r},f_{1},f_{2},...,f_{s},c_{1},c_{2}...c_{t}\rangle }$ que consta de:

• ${\displaystyle r}$ símbolos relacionales ${\displaystyle R_{i}}$, cada unu d'ellos con un númberu enteru ${\displaystyle a_{i}}$ acomuñáu, que se conoz como l'aridad de ${\displaystyle R_{i}}$
• ${\displaystyle s}$ símbolos funcionales ${\displaystyle f_{j}}$, cada unu de aridad ${\displaystyle b_{j}}$
• ${\displaystyle t}$ símbolos constantes ${\displaystyle c_{k}}$

Una fórmula de primer orde ${\displaystyle \varphi }$ nel vocabulariu ${\displaystyle \tau }$, ye una fórmula de primer orde onde los únicos predicaos, funciones y constantes emplegaos son los especificaos por ${\displaystyle \tau }$.

Llinguaxes y estructures de primer orde

Un llinguaxe de primer orde ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$ ye una coleición de distintos símbolos clasificaos como sigue:

El símbolu d'igualdá ${\displaystyle =\,}$; les conectivas ${\displaystyle \lor \,}$, ${\displaystyle \lnot \,}$; el cuantificador universal ${\displaystyle \forall \,}$ y el paréntesis ${\displaystyle (\,}$, ${\displaystyle )\,}$.

• Un conxuntu contable de símbolos de variable ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=0}^{\infty }\,}$.
• Un conxuntu de símbolos de constante ${\displaystyle \{c_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,}$.
• Un conxuntu de símbolos de función ${\displaystyle \{f_{\beta }\}_{\beta \in \mathrm {B} }\,}$.
• Un conxuntu de símbolos de rellación ${\displaystyle \{R_{\gamma }\}_{\gamma \in \Gamma }\,}$.

Asina, pa especificar un orde, xeneralmente namái fai falta especificar la coleición de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, yá que el primer conxuntu de símbolos ye estándar. Los paréntesis tienen como únicu propósitu d'arrexuntar símbolos y nun formen parte de la estructura de les funciones y rellaciones.

Los símbolos escarecen de significáu por sigo solos. Sicasí, a esti llinguaxe podemos dotalo d'una semántica apropiada.

Una ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$-estructura sobre'l llinguaxe ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, ye una tupla consistente nun conxuntu non vacíu ${\displaystyle A\,}$, l'universu del discursu, al pie de:

1. Pa cada símbolu constante ${\displaystyle c\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, tenemos un elementu ${\displaystyle c^{\mathfrak {A}}\in A\,}$.
2. Pa cada símbolu de function ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle f\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, una function ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle f^{\mathfrak {A}}:A^{n}\longrightarrow A\,}$.
3. Pa cada símbolu de rellación ${\displaystyle n\,}$-aria ${\displaystyle R\,}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {L}}\,}$, una rellación ${\displaystyle n\,}$-aria sobre ${\displaystyle A\,}$, esto ye, un subconxuntu ${\displaystyle R^{\mathfrak {A}}\subseteq A^{n}\,}$.

De cutiu, vamos usar la pallabra modelu pa denotar esta estructura.

Metalógica

Leopold Löwenheim (1915) y Thoralf Skolem (1920) formularon el llamáu teorema de Löwenheim-Skolem, qu'afirma que cualesquier sistema axomáticu basáu na lóxica de primer orde nun puede controlar la cardinalidad de les estructures non finitas que satisfaen los axomes de dichu sistema. Skolem entendió qu'esti teorema podría aplicase pa les formalizaciones de primer orde de la teoría de conxuntos, siendo felicidá formalización numerable, esistiría un modelu numerable para dicha teoría entá cuando la teoría afirma qu'esisten conxuntos non contables. Esta resultancia contraintuitivo ye la conocida paradoxa de Skolem.

Na so tesis doctoral, Kurt Gödel (1929) demostró'l teorema de completitud de Gödel, qu'establez una correspondencia ente la sintaxis y la semántica de la lóxica de primer orde. Gödel usó dichu teorema de completitud pa probar el llamáu teorema de compacidad, demostrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lóxica. Estes resultancies ayudaron a establecer a la lóxica de primer orde como'l tipu de lóxica dominante nes matemátiques actual.

En 1931, Gödel publicó On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, que demostraba la incompletitud (nun sentíu distintu del términu) de cualquier sistema axomáticu abondo espresivu, que'l so sistema d'axomes fuera recursivamente enumerable. Esti tipu de resultancies, conocíos como teorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemes axomáticos de primer orde tienen severes llimitaciones pa encontar les matemátiques, y supunxeron un duru golpe pal llamáu programa de Hilbert pa la fundamentación de les matemátiques. Unu de los resultaos de Gödel estableció que ye imposible que pueda formalizase la consistencia de l'aritmética nuna teoría formal na que pueda formalizase la mesma aritmética. Per otra parte, mientres dalgún tiempu nin Hilbert nin otros de los sos collaboradores fueron conscientes de la importancia del trabayu de Gödel pa la so pretensión d'encontar les matemátiques por aciu el citáu "programa de Hilbert".

Teoría de modelos

La teoría de modelos introducida enantes dexa atribuyir una interpretación semántica a les espresiones puramente formales de los llinguaxes formales. Pero amás, dexen estudiar en sí mesmos los conxuntos d'axomes, el so completitud, la so consistencia, la independencia d'unos d'otros y dexen introducir un importante númberu de cuestiones metalógiques.

Teoría de la computabilidad

La Teoría de la computabilidad ye la parte de la Teoría de la computación qu'estudia los problemes de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmu o equivalentemente con una máquina de Turing.

Teoría de la demostración

La teoría de la demostración ye la caña de la lóxica matemática que trata a les demostraciones como oxetos matemáticos, facilitando'l so analís por aciu téuniques matemátiques. Les demostraciones suelen presentase como estructures de datos inductivamente definíes que se constrúin acordies colos axomes y regles de inferencia de los sistemes lóxicos. Nesti sentíu, la teoría de la demostración ocupar de la sintaxis, en contraste cola teoría de modelos, que trata cola semántica. Xunto cola teoría de modelos, la teoría de conxuntos axomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración ye unu de los "cuatro pilares" de los fundamentos de les matemátiques.