Definición

Sía un componente llétricu o electrónicu o un circuitu alimentáu por una corriente sinusoidal ${\displaystyle \scriptstyle {I_{\circ }\cos(\omega t)}\,\!}$. Si la tensión ente los sos estremos ye ${\displaystyle \scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )}\,\!}$, la impedancia del circuitu o del componente defínese como un númberu complexu ${\displaystyle \scriptstyle {Z}\,\!}$; qu'espresáu en forma polar tien un módulu igual al cociente ${\displaystyle \scriptstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}\,\!}$ y un argumentu que ye ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi }\,\!}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}|Z|&={V_{\circ } \over I_{\circ }}\\\arg(Z)&=\varphi \end{aligned}}\,\,\!}$

esto ye

${\displaystyle Z=\textstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}y^{j\varphi }=\textstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}\left(\cos \varphi +j\sin \varphi \right)\,\!}$.

Como s'indicó enantes, la impedancia tamién se define pol cociente ente los fasores de tensión y corriente, representando la oposición total (Resistencia, Reactancia inductiva, Reactancia capacitiva) sobre la corriente.

Como la tensión y les corrientes son sinusoidales, pueden utilizase los valores pico (amplitúes), los valores eficaces, los valores pico a picu o los valores medios. Pero hai que curiar de tratalos uniformemente y nun entemecer los tipos. La resultancia de los cálculos va ser del mesmu tipu que l'utilizáu pa los xeneradores de tensión o de corriente.

Representación binómica

La impedancia puede representase en forma binómica como la suma d'una parte real y una parte imaxinaria:

${\displaystyle Z=R+jX\,}$

${\displaystyle \scriptstyle {R}}$ ye la parte resistiva o real de la impedancia y ${\displaystyle \scriptstyle {X}}$ ye la parte reactiva o imaxinaria de la impedancia. Básicamente hai dos clases o tipos de reactancias:

• Reactancia inductiva o ${\displaystyle X_{L}}$: Debida a la esistencia d'inductores.
• Reactancia capacitiva o ${\displaystyle X_{C}}$: Debida a la esistencia de capacitores.

Admitancia

La admitancia ye la inversa de la impedancia:

${\displaystyle Y=\textstyle {1 \over Z}=y_{c}+jy_{s}}$

La conductancia ${\displaystyle \scriptstyle {y_{c}}}$ ye la parte real de la admitancia y la susceptancia ${\displaystyle \scriptstyle {y_{s}}}$ la parte imaxinaria de la admitancia.

La unidá de la admitancia, la conductancia y la susceptancia ye'l siemens (símbolu S). Un siemens ye'l recíprocu d'un ohmiu.

Representación gráfica

Exemplu de fasores.

Pueden representase les tensiones de los xeneradores de tensión y les tensiones ente los estremos de los componentes como vectores xiratorios nun planu complexu. La magnitú (llargor) de los vectores ye'l módulu de la tensión y l'ángulu que faen con n'exa real ye igual al ángulu de desfase con respectu al xenerador de referencia. Esti tipu de diagrama tamién se llama diagrama de Fresnel.

Con un pocu de costume y un mínimu de conocencies de xeometría, eses representaciones son muncho más esplícites que los valores o les fórmules. De xacíu, esos dibuxos nun son, na nuesa dómina, un métodu gráficu de cálculu de circuitos. Son una manera de "ver" como les tensiones sumir. Esos dibuxos pueden facilitar la escritura de les fórmules finales, utilizando les propiedaes xeométriques. Van Atopar exemplos de la representación gráfica nos exemplos de baxo.

Xeneradores de tensión o de corriente desfasaes

Si nun circuitu atopen dellos xeneradores de tensión o de corriente, escuéyese unu d'ellos como xenerador de referencia de fase. Si la verdadera tensión del xenerador de referencia ye ${\displaystyle \scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t)}}$, pal cálculu coles impedancias vamos escribir la so tensión como ${\displaystyle \scriptstyle {V_{\circ }}}$. Si la tensión d'otru xenerador tien una meyora de fase de ${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$ con respectu al xenerador de referencia y la so corriente ye ${\displaystyle \scriptstyle {I_{1}\cos(\omega t+\alpha )}}$, pal cálculu coles impedancias vamos escribir la so corriente como ${\displaystyle \scriptstyle {I_{1}y^{j\alpha }}}$. L'argumentu de les tensiones y corrientes calculaes va ser el desfase d'eses tensiones o corrientes con respectu al xenerador tomáu como referencia.

Lleis de Kirchhoff

Les lleis de Kirchhoff aplicar de la mesma manera: "la suma de les corrientes que lleguen a un nodo ye cero" y "la suma de toles tensiones alredor d'una malla ye cero". Esta vegada, tantu les corrientes como les tensiones, son, polo xeneral, complexes.

Xeneralización de la llei d'Ohm

La tensión ente les estremidaes d'una impedancia ye igual al productu de la corriente pola impedancia:

${\displaystyle V_{z}=ZI_{z}\,}$

Tanto la impedancia, como la corriente y la tensión son, polo xeneral, complexes.

Impedancias en serie o en paralelu

Les impedancias trátense como les resistencies cola llei d'Ohm. La impedancia de delles impedancias coneutaes en serie ye igual a la so suma:

Serie ${\displaystyle Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}$

La impedancia de delles impedancias coneutaes en paralelu ye igual al recíprocu de la suma de los sos recíprocos:

Paralelu ${\displaystyle \textstyle {Z}=\textstyle {1 \over \scriptstyle {{1 \over Z_{1}}+{1 \over Z_{2}}+\cdots +{1 \over Z_{n}}}}}$

Interpretación de los resultaos

La resultancia de corriente ye, xeneralmente, un númberu complexu. Esi númberu complexu interpretar de manera siguiente:

• El módulu indica'l valor de la tensión o de la corriente calculada. Si los valores utilizaos pa los xeneradores yeren los valores pico, la resultancia tamién va ser un valor pico. Si los valores yeren valores eficaces, la resultancia tamién va ser un valor eficaz.
• L'argumentu d'esi númberu complexu da'l desfase con respectu al xenerador utilizáu como referencia de fase. Si l'argumentu ye positivu la tensión o la corriente calculaes van tar en meyora de fase.

Xeneralización

Cuando tolos xeneradores nun tienen la mesma frecuencia o si les señales nun son sinusoidales, el formalismu de les impedancias nun puede aplicase direutamente. Tiense que descomponer el cálculu en delles etapes en caúna de les cuales puede utilizase el formalismu de impedancias.

Nel casu de tenese elementos lliniales, puede utilizase el teorema de superposición: faise un cálculu separáu pa caúna de les frecuencies (remplazando en cada unu de los cálculos tolos xeneradores de tensión de frecuencia distinta por un cortucircuitu y tolos xeneradores de corriente de frecuencia distinta por un circuitu abiertu). Caúna de les tensiones y corrientes totales del circuitu va ser la suma de caúna de les tensiones o corrientes llograes à caúna de les frecuencies. De xacíu, pa faer estes postreres sumes hai qu'escribir caúna de les tensiones na forma real, cola dependencia del tiempu y el desfase: ${\displaystyle \scriptstyle {V_{i}\cos(\omega _{i}t+\varphi _{i})}}$ pa les tensiones y les fórmules similares pa les corrientes.

Si les señales nun son sinusoidales, pero son periódiques y continues, pueden descomponese les señales en serie de Fourier y utilizar el teorema de superposición pa dixebrar el cálculu nun cálculu pa caúna de les frecuencies. La resultancia final va ser la suma de los resultaos pa caúna de les frecuencies de la descomposición en serie.

Impedancia n'elementos básicos

La impedancia d'una resistencia ideal, solo contién una componente real:

${\displaystyle \ Z_{R}=R}$

Nesti casu, la tensión y la corriente son proporcionales y tán en fase.

La impedancia nun inductor ideal o nun condensador ideal tien una componente puramente imaxinaria:

La impedancia nun inductor amontar cola frecuencia;

${\displaystyle \ Z_{L}=j\omega L}$

La impedancia d'un condensador escai cuando la frecuencia crez;

${\displaystyle \ Z_{C}={\frac {-j}{\omega C}}}$

Un xenerador únicu

Una inductancia y una resistencia en serie alimentaes por un xenerador sinusoidal.

Na diagrama de la derecha tenemos un xenerador sinusoidal ${\displaystyle \scriptstyle {V=10\cos(\omega t)}}$ de 10 voltios d'amplitú y de una frecuencia de 10 kHz. En serie hai una inductancia de 10 mH y una resistencia de 1,2 k${\displaystyle \scriptstyle {\Omega }}$.

Calculemos la corriente ${\displaystyle \scriptstyle {I}}$ que circula nel circuitu:

${\displaystyle I=\textstyle {{V \over Z_{L}+Z_{R}}={V \over j\omega L+R}={10 \over j2\pi 10^{4}0,01+1200}}}$

${\displaystyle \textstyle {={10 \over 1200+j628,3}}=0{,}00654-j0{,}003424\,\mathrm {A} }$

Ye necesaria l'aplicación del cálculu con númberos complexos si utiliza esta notación.

El módulu de la corriente ye:

${\displaystyle I=\left|\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right|=7,38\,\mathrm {mA} }$

Como'l valor de la tensión del xenerador que tomamos foi un valor pico (amplitú), el valor de la corriente llográu tamién ye un valor pico. La corriente eficaz ye: ${\displaystyle \scriptstyle {I_{\mathrm {ef} }={7,38 \over {\sqrt {2}}}}=5,22\,\mathrm {mA} }$

La fase de la corriente ye'l argumentu del númberu complexu

${\displaystyle \scriptstyle {10 \over 1200+j628,3}}$:

${\displaystyle \mathrm {arg} \left(\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right)=-0{,}4823\,\,\mathrm {rad} =-27{,}63^{\circ }}$.

La corriente ta en retardo de fase con al respective de la fase del xenerador. Eso ye lóxicu, una y bones el circuitu ye inductivu.

Diagrama de Fresnel (o fasor) d'una inductancia y una resistencia en serie. El círculu gris solo sirve d'ayuda al dibuxu del ángulu rectu ente la tensión de la resistencia y la tensión de la inductancia.

Solo la resistencia estena potencia:

${\displaystyle P_{R}=\textstyle {1 \over 2}R\left|I\right|^{2}=\textstyle {1 \over 2}1200\cdot \left(7{,}38\,10^{-3}\right)^{2}=32{,}7\,\,\mathrm {mW} }$

La fracción ${\displaystyle \scriptstyle {1 \over 2}}$ apaez porque'l valor de la corriente ye'l valor pico.

La tensión ente los estremos de la resistencia ye ${\displaystyle \scriptstyle {V_{R}=I\,R=(0{,}00654-j0{,}003424)\,1200=7{,}84-j4{,}109\,\,V_{\mathrm {picu} }}}$

La tensión eficaz que se lleería con un voltímetru sería'l módulu d'esta tensión estremo por ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$: ${\displaystyle \scriptstyle {6{,}26\,V_{\mathrm {ef} }}}$

La tensión ente les estremidaes de la inductancia ye
${\displaystyle \scriptstyle {V_{L}=j\omega L\,I\,=j628{,}3\,(0{,}00654-j0{,}003424)=2{,}15+j4{,}109\,V_{\mathrm {picu} }}}$

La tensión eficaz lleida col voltímetru sería, igualmente: ${\displaystyle \scriptstyle {3,28\,V_{\mathrm {ef} }}}$

Constatamos que la suma de los dos tensiones "complexes" da (teniendo en cuenta los redondeos) la tensión del xenerador. Sicasí, la suma de los dos tensiones lleíes con un voltímetru ye más grande que la del xenerador (${\displaystyle \scriptstyle {7,07V_{\mathrm {ef} }}}$). Esa resultancia ye típicu de les midíes feches con un voltímetru en circuitos nos cualos les tensiones nun tán en fase. Un voltímetru mídenos módulos en valor eficaz, que nun podemos sumar direutamente yá que tamos tratando con fasores coles sos distintes orientaciones.

Dos xeneradores desfasaos

Condensador y resistencia en serie ente dos xeneradores senoidales desfasaos.

Nel circuitu de la derecha, un condensador de ${\displaystyle \scriptstyle {1\,\mu F}}$ y una resistencia de ${\displaystyle \scriptstyle {3\,k\Omega }}$ en serie, tán coneutaos ente dos xeneradores sinusoidales. Tomamos como xeneradores dos fases del suministru trifásicu. El xenerador d'esquierda va ser el nuesu xenerador de referencia ${\displaystyle \scriptstyle {V_{1}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t)}}$. El xenerador de derecha ta en meyora de fase de ${\displaystyle \scriptstyle {2\pi /3}}$. Esto ye, ${\displaystyle \scriptstyle {V_{2}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t+{2\pi \over 3})}}$. Col formalismu de impedancias, el xenerador d'esquierda va ser ${\displaystyle \scriptstyle {V_{1}=230\,V_{\mathrm {ef} }}}$ y el de derecha ${\displaystyle \scriptstyle {V_{2}=230\,y^{j{2\pi \over 3}}\,V_{\mathrm {ef} }}}$. Empecemos calculando la diferencia de tensión ente los dos xeneradores:

${\displaystyle V_{12}=230\,\left(1-y^{j{2\pi \over 3}}\right)=230\,\left(1-\cos \left(\textstyle {2\pi \over 3}\right)-j\sin \left(\textstyle {2\pi \over 3}\right)\right)}$

${\displaystyle =230\,(1{,}5-j0{,}866)=345-j199{,}19\,V_{\mathrm {ef} }=398{,}37y^{-j0{,}5774}}$

El módulu d'esta tensión ye ${\displaystyle \scriptstyle {398{,}37V_{\mathrm {ef} }}}$ y ta retardada de 0,5774 radianes (30°) con al respective de la tensión de referencia.

Diagrama de Fresnel correspondiente al segundu exemplu. El primer círculu sirve de guía a les tensiones de los dos xeneradores. El segundu pal ángulu rectu ente la tensión del condensador y la de la resistencia.

La corriente que circula ye:

${\displaystyle I=\textstyle {{V_{12} \over R+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}={398{,}37\,y^{-j0{,}5236} \over {3000-j3185}}={398{,}37\,y^{-j0{,}5236} \over 4375{,}41\,y^{-j0{,}8153}}=0{,}0910\,y^{j0{,}2917}}}$

Como los valores de tensión utilizaos pa los xeneradores yeren valores eficaces, la corriente calculada tamién vien como valor eficaz: 91 mA en meyora de fase 16,71° con al respective de la tensión de referencia.

La tensión ente los estremos de la resistencia ye ${\displaystyle \scriptstyle {V_{R}=R\,I=3000\cdot 0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=273\,y^{j0{,}2917}V_{\mathrm {ef} }}}$

La tensión ente los estremos del condensador ye:
${\displaystyle \scriptstyle {V_{C}=Z_{C}\,I=-j3185\cdot 0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=3185\,y^{-j{\pi \over 2}}0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=289{,}83\,y^{-j1{,}2791}V_{\mathrm {ef} }}}$.

La tensión ente les estremidaes del condensador ta en retardo de 73,3° con al respective de la tensión de referencia. Como nel exemplu precedente, la suma de los módulos de les tensiones (les que se midiríen con un voltímetru) de la resistencia y del condensador (563 V) ye más grande que la tensión total aplicada (398 V). La tensión nel puntu A del circuitu va ser:

${\displaystyle V_{A}=V_{1}-V_{C}=230-289{,}83\,y^{-j1{,}2791}=230-(83,35-j277{,}6)}$

${\displaystyle =146.65+j277{,}6=314\,y^{j1{,}085}\,V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión del puntu A ye más grande que la de cada xenerador.