Función d'onda

Función d'onda pa una partícula bidimensional zarrada nuna caxa. Les llinies de nivel sobre'l planu inferior tán rellacionaes cola probabilidá de presencia.

En mecánica cuántica, una función d'onda $\psi (\mathbf {x} ;t)$ ye una forma de representar l'estáu físicu d'un sistema de partícules. Usualmente ye una función complexa, de cuadráu integrable y univaluada de les coordenaes espaciales de caúna de les partícules. Les propiedaes mentaes de la función d'onda dexen interpretala como una función de cuadráu integrable. La ecuación de Schrödinger apurre una ecuación determinista pa esplicar la evolución temporal de la función d'onda y, por tanto, del estáu físicu del sistema nel intervalu entendíu ente dos midíes (cuando se fai una midida, acordies con el postuláu IV, la evolución nun ye determinista).

Históricamente'l nome función d'onda referir a que'l conceutu foi desenvueltu nel marcu de la primer física cuántica, onde s'interpretaba que les partícules podíen ser representaes por aciu una onda física que s'arrobina nel espaciu. Na formulación moderna, la función d'onda interprétase como un oxetu muncho más astractu, que representa un elementu d'un ciertu espaciu de Hilbert de dimensión infinita qu'arrexunta a los posibles estaos del sistema.

Formulación orixinal de Schrödinger-De Broglie

En 1923 De Broglie propunxo la llamada hipótesis de De Broglie pola qu'a cualquier partícula podía asignáse-y un paquete d'ondes materiales o superposición d'ondes de frecuencia y llonxitú d'onda acomuñada col momentu llinial y la enerxía:

$\mathbf {p} ={\frac {h}{\lambda }}=\hbar \mathbf {k} \qquad Y_{k}=h\nu =\hbar \omega$

onde $\mathbf {p} ,\ Y_{k}$ son el momentu llinial y la enerxía cinética de la partícula, y $\mathbf {k} ,\omega$ son el vector númberu d'onda y la frecuencia angular. Cuando se consideren partícules macroscópicas bien alcontraes el paquete d'ondes acútase cuasi por completu a la rexón del espaciu ocupada pola partícula y, nesi casu, la velocidá de movimientu de la partícula nun coincide cola velocidá de fase de la onda sinón cola velocidá de grupu del paquete:

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial Y_{k}}{\partial p}}={\frac {\partial Y_{k}(p)}{\partial p}}={\frac {p}{m}}$

onde $Y_{k}(p)=p^{2}/2m$ . Si en llugar de les espresiones clásiques del momentu llinial y la enerxía usen les espresiones relativistes, lo cual da una descripción más precisa pa partícules rápides, un cálculu daqué más llargu, basáu na velocidá de grupu, lleva a la mesma conclusión.

La fórmula de De Broglie atopó confirmación esperimental en 1927 nun esperimentu que probó que la llei de Bragg, primeramente formulada pa rayos X y radiación d'alta frecuencia, yera tamién válida pa electrones lentos si usábase como llonxitú d'onda'l llargor postuláu por De Broglie. Esos fechos llevaron a los físicos a tratar de formular una ecuación d'ondes cuántica que na llende clásica macroscópica amenorgar a les ecuaciones de movimientu clásiques o lleis de Newton. Dicha ecuación ondulatoria fuera formulada por Erwin Schrödinger en 1925 y ye la celebrada Ecuación de Schrödinger:

-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {x} ,t)+V(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\partial \psi (\mathbf {x} ,t) \over \partial t}

onde $\psi (\mathbf {x} ,t)\,$ interpretóse orixinalmente como un campu físico o campu de materia que por razones históriques llamóse función d'onda y foi'l precedente históricu del modernu conceutu de función d'onda.

El conceutu actual de función d'onda ye causa d'alderique na Física actual, sobremanera no que respecta la realidá oxetiva ya intrínseca de dicha función d'onda. Matemáticamente, la implicación del cuadráu de la función d'onda ye l'amplitú de la probabilidá de presencia de materia. Esta interpretación, introducida por Max Born, valió-y la concesión del Premiu Nobel de Física en 1954.

Formulación moderna de Von Neumann

Los vectores nun espaciu vectorial esprésense xeneralmente con al respective de una base (un conxuntu concretu de vectores que "espanden" l'espaciu, a partir de los cualos puede construyise cualquier vector nesi espaciu por aciu una combinación llinial). Si esta base se indexa con un conxuntu discretu (finito, contable), la representación vectorial ye una "columna" de númberos. Cuando un vector d'estáu mecanocuántico represéntase frente a una base continua, llámase función d'ondes.

Formalización

La formalización rigorosa de la función d'onda rique considerar espacios de Hilbert forníos, onde puedan construyise bases más xenerales. Asina pa cualesquier operador autoadjunto, al teorema de descomposición espectral, dexa construyir l'equivalente d'una base vectorial dependiente d'un índiz continuu (infinitu, incontable). Por casu, si considérase l'operador de posición ${\hat {\mathbf {X} }}$ , que ye autoadjunto sobre un dominiu mestu nel espaciu de Hilbert convencional ${\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ , entós pueden construyise estaos especiales:

$|\mathbf {x} \rangle \notin {\mathcal {H}}\qquad {\hat {\mathbf {X} }}|\mathbf {x} \rangle =\mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle \in {\mathcal {H}}_{y}\qquad {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {H}}_{y}$

Pertenecientes a un espaciu forníu de Hilbert ${\mathcal {H}}_{y}$ , tal que la función d'onda puede ser interpretada como les "componentes" del vector d'estáu del sistema al respective de una base incontable formada por dichos vectores:

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi (\mathbf {x} )|\mathbf {x} \rangle \,d\mathbf {x} ,\qquad \qquad \psi (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi \rangle$

Nótese qu'anque los estaos propios $|\mathbf {x} \rangle$ del operador posición ${\hat {\mathbf {X} }}$ nun son normalizables, yá que polo xeneral nun pertenecen al espaciu de Hilbert convencional del sistema (sinón namái al espaciu forníu), el conxuntu de funciones d'onda sí definen estaos nel espaciu de Hilbert. Eso asocede porque los estaos propios satisfaen:

$|\mathbf {x} \rangle ,|\mathbf {x} '\rangle \in {\mathcal {H}}_{y}\qquad \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} '\rangle =\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$

Puesto que les funciones d'onda asina definíes, que son de cuadráu integrable, sí formen un espaciu de Hilbert isomorfu y homeomorfo al orixinal, el cuadráu del módulu de la función d'onda puede ser interpretáu como la densidá de probabilidá de presencia de les partícules nuna determinada rexón del espaciu.

Un tratamientu análogu al anterior usando vectores propios del operador momentu llinial ${\hat {\mathbf {P} }}$ tamién pertenecientes a un espaciu forníu de Hilbert dexen definir les "funciones d'onda" sobre'l espaciu de momentos. El conxuntu d'estos estaos cuánticos propios del operador momentu son llamaos en física "base d'espaciu-k" (en contraposición a la función d'onda llograda a partir del operador posición que se llama "base d'espaciu-r"). Pola rellación de conmutación ente los operadores posición y momentu, les funciones d'onda n'espaciu-r y n'espaciu-k son pares de tresformaes de Fourier.

${\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {x} )y^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }\,d\mathbf {x}$

El nome espaciu-k provién de que $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$ , ente que'l nome espaciu-r provién del fechu de que les coordenaes espaciales con frecuencia designar por aciu el vector $\mathbf {r}$

Problemes de nomenclatura

Pola rellación concreta ente la función d'onda y la llocalización d'una partícula nun espaciu de posiciones, munchos testos sobre mecánica cuántica tienen un enfoque "ondulatoriu". Asina, anque'l términu función d'onda úsese como sinónimu "coloquial" pa vector d'estáu, nun ye recomendable, yá que non yá esisten sistemes que nun pueden ser representaos por funciones d'onda, sinón qu'amás el términu función d'onda lleva a imaxinar qu'hai dalgún mediu que ta ondulando en sentíu mecánicu.

Ver tamién

Mecánica cuántica, ecuación de Schrödinger, ecuación de Klein-Gordon, ecuación de Majorana y ecuación de Dirac
Segunda cuantización y teoría cuántica de campos

Referencies

Bibliografía

de la Peña, Luis (2015). Introducción a la mecánica cuántica, 3, Méxicu DF: Fondu de Cultura Económica. ISBN 968-16-7856-7.

Enllaces esternos

Relatividá-de-Escala-afaya-l'Universu-como-una-gran-funcion-de-onda_a1500.html La Relatividá d'Escala afaya l'Universu como una gran función d'onda

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