Función matemática
conceutu matemáticu
rellación binaria, función parcial (es) y función xeneralizada

Na imaxe amuésase una rellación ente un conxuntu de polígonos y un conxuntu de númberos. A cada polígonu correspuénde-y el so númberu de llaos.

Una función vista como una caxa negra», que tresforma los valores o oxetos de «entrada» nos valores o oxetos de «salida»

En matemátiques, dizse qu'una magnitú o cantidá ye función d'otru si'l valor de la primera depende del valor de la segunda. Por casu, l'área A d'un círculu ye función del so radiu r (el valor del área ye proporcional al cuadráu del radiu, A = π·r2). De la mesma, la duración T d'un viaxe en tren ente dos ciudaes separaes por una distancia d de 150 km depende de la velocidá v a la que se mueva'l tren (la duración ye inversamente proporcional a la velocidá, d / v). A la primer magnitú (l'área, la duración) #denominar variable dependiente, y la cantidá de la que depende (el radiu, la velocidá) ye la variable independiente.

N'analís matemáticu, el conceutu xeneral de función, aplicación o mapeo refierse a una regla qu'asigna a cada elementu d'un primer conxuntu un únicu elementu d'un segundu conxuntu (correspondencia matemática). Por casu, cada númberu enteru tien un únicu cuadráu, que resulta ser un númberu natural (incluyendo'l cero):

Esta asignación constitúi una función ente'l conxuntu de los númberos enteros Z y el conxuntu de los númberos naturales N. Anque les funciones que manipolien númberos son les más conocíes, nun son l'únicu exemplu: puede imaxinase una función qu'a cada pallabra del asturianu asígne-y la so lletra inicial:

Esta ye una función ente'l conxuntu de les pallabres del Aasturianu y el conxuntu de les lletres del alfabetu asturianu.

La manera habitual de denotar una función f ye:

f: A → B

 a → f(a),

onde A ye'l dominiu de la función f, el so primer conxuntu o conxuntu de partida; y B ye'l codominio de f, el so segundu conxuntu o conxuntu de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmu pa llograr la imaxe d'un ciertu oxetu arbitrariu a del dominiu A, esto ye, el (únicu) oxetu de B que-y correspuende. N'ocasiones esta espresión ye abonda pa especificar la función por completu, infiriendo'l dominiu y codominio pol contestu. Nel exemplu anterior, les funciones cuadráu» y «inicial», llámese-yos f y g, se denotarían entós como:

f: Z → N

 k → k2, o cenciellamente f(k) = k2;

g: V → A

 p → Inicial de p;

si convien V = {Pallabres del asturianu} y A Alfabetu asturianu}.

Una función puede representase de diverses formes: por aciu el citáu algoritmu o ecuaciones pa llograr la imaxe de cada elementu, por aciu una tabla de valores qu'empareye cada valor de la variable independiente cola so imaxe —como les amosaes enriba—, o como una gráfica que dea una imaxe de la función.

Historia

Gottfried Leibniz acuñó'l términu «función» nel sieglu XVII.

El conceutu de función como un oxetu matemáticu independiente, susceptible de ser estudiáu por sigo solo, nun apaeció hasta los entamos del cálculu nel sieglu XVII.^[1] René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia ente dos cantidaes variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetru». La notación f(x) foi utilizada per primer vegada por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler na so obra Commentarii de San petersburgo en 1736.^[2][3][4]

Primeramente, una función #identificar a efeutos práuticos con una espresión analítica que dexaba calcular los sos valores. Sicasí, esta definición tenía delles llimitaciones: espresiones distintes pueden refundiar los mesmos valores, y non toles dependencies» ente dos cantidaes pueden espresase d'esta manera. En 1837 Dirichlet propunxo la definición moderna de función numbérica como una correspondencia cualesquier ente dos conxuntos de númberos, qu'acomuña a cada númberu nel primer conxuntu un únicu númberu del segundu.

La intuición sobre'l conceutu de función tamién evolucionó. Primeramente la dependencia ente dos cantidaes imaxinábase como un procesu físicu, de cuenta que la so espresión alxebraica prindaba la llei física que correspondía a este. L'enclín a una mayor astracción viose reforzada a midida que atopáronse exemplos de funciones ensin espresión analítica o representación xeométrica sencielles, o ensin rellación con nengún fenómenu natural; y polos exemplos «patolóxicos» como funciones continues ensin derivada en nengún puntu.

Mientres el sieglu XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo d'un estudiu fondu de los númberos reales, desenvolvieron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numberación emplegáu.[cita ^{[ensin referencies]} Col desenvolvimientu de la teoría de conxuntos, nos sieglos XIX y XX surdió la definición actual de función, como una correspondencia ente dos conxuntos d'oxetos cualesquier, non necesariamente numbéricos.^[5] Tamién se #acomuñar con otros conceutos venceyaos como'l de rellación binaria.

Introducción

Representación gráfica de la velocidá d'un cuerpu aceleráu a 0,66 m/s2.

Una función ye un oxetu matemáticu que s'utiliza pa espresar la dependencia ente dos #magnitud, y puede presentase al traviés de dellos aspeutos complementarios. Un exemplu habitual de función numbérica ye la rellación ente la posición y el tiempu nel movimientu d'un cuerpu.

Un móvil que se mueve con una aceleración de 0,66 m/s2 percuerre una distancia d que ta en función del tiempu trescurríu t. Dizse que d ye la variable dependiente de t, la variable independiente. Estes magnitúes, calculaes a priori o midíes nun esperimentu, pueden conseñase de delles maneres. (Supónse que'l cuerpu parte nun intre nel que se convien que'l tiempu ye t = 0 s.)

Los valores de les variables pueden recoyese nuna tabla, anotando la distancia percorrida d nun ciertu intre t, pa dellos momentos distintos:

La gráfica na imaxe ye una manera equivalente de presentar la mesma información. #Cada puntu de la curva colorada representa una pareya de #dato #tiempo-alloña, utilizando la correspondencia ente puntos y coordenaes del planu cartesianu. Tamién puede utilizase una regla o algoritmu que dicte como s'hai de calcular d a partir de t. Nesti casu, la distancia que percuerre un cuerpu con esta aceleración ta dada pola espresión:

d = 0,33 × t2,

onde les magnitúes espresen unidaes del SI. D'estos trés maneres refléxase qu'esiste una dependencia ente dambes magnitúes.

Una función tamién puede reflexar la rellación d'una variable dependiente con delles variables independientes. Si'l cuerpu del exemplu #mover con una aceleración constante pero indeterminao a, la distancia percorrida ye una función entós d'a y t; en particular, d = a·t2/2. Les funciones tamién s'utilicen pa espresar la dependencia ente otros oxetos cualesquier, non solo los númberos. Por casu, esiste una función qu'a cada polígonu asígnalu los so númberu de llaos; o una función qu'a acaldía de la selmana asígna-y el siguiente:

Llunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Llunes

Definición

La definición xeneral de función fai referencia a la dependencia ente los elementos de dos conxuntos dados.

Un oxetu o valor xenéricu a nel dominiu A #denominar la variable independiente; y un oxetu xenéricu b del codominio B ye la variable dependiente. Tamién se-yos llama valores d'entrada y de salida, respeutivamente. Esta definición ye precisa, anque en matemátiques utiliza una definición formal más rigorosa, que constrúi les funciones como un oxetu concretu.

Exemplos

• Tolos númberos reales tienen un cubu, polo qu'esiste la función «cubu» qu'a cada númberu nel dominiu R asígna-y los so cubu nel codominio R.
• Quitando al 0, tolos númberos reales tienen un únicu inversu. Esiste entós la función inversu» que'l so dominiu son los númberos reales non nulos R \ {0}, y con codominio R.
• #Cada mamíferu conocíu #clasificar nun xéneru, como Homo, Los sos o Loxodonta. Esiste por tanto una función «clasificación en xéneros» qu'asigna a cada mamíferu de la coleición M = {mamíferos conocíos} el so xéneru. El codominio de «clasificación en xéneros» ye la coleición G = {xéneros de Mammalia}.
• Esiste una función «área» qu'a cada triángulu del planu (na coleición T de toos ellos, el so dominiu), asígna-y los so área, un númberu real, depués el so codominio ye R.
• Nunes eleiciones nes que cada votante pueda emitir un únicu votu, esiste una función «voto» qu'asigna a cada eleutor el partíu qu'escueya. Na imaxe amuésase un conxuntu d'eleutores Y y un conxuntu de partíos P, y una función ente ellos.

Imaxe ya imaxe inversa

Dau un conxuntu de votantes y un conxuntu de posible partíos, nunes eleiciones, el sentíu del votu de cada individuu puede visualizase como una función.

Los elementos del codominio B acomuñaos con dalgún elementu del dominiu A constitúin la imaxe de la función.

La ${\displaystyle }$${\displaystyle }$xe d'un${\displaystyle }$ función

${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$} se denota por Im ( ${\displaystyle }$ ) {${\displaystyle }$ {\te${\displaystyle }$t{Im}}(${\displaystyle }$)} o ${\displaystyle }$

( A ) {${\displaystyle }$ f(A)} , ente que la imaxe d'un subconxuntu X

${\displaystyle }$ A {\textstyle X\subseteq A} se denota, de la mesma, por f ( X ) {\displaystyle f(X)} o f

${\displaystyle }$ X ${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$} .${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ En notación conjuntista les imáxenes de f y X se denotan:

La anti-imaxe de cada partíu ye'l conxuntu de los eleutores que #lu votaron.

La imaxe d'una función f ye un subconxuntu del codominio de la mesma, pero nun son necesariamente iguales: pueden esistir elementos nel codominio que nun son la imaxe de nengún elementu del dominiu, esto ye, que nun tienen preimagen.

Asina, la preimagen d'un elementu del codominio puede nun contener nengún oxetu o, otra manera, contener unu o más oxetos, cuando a unu o dellos elementos del dominiu asígnase-yos dichu elementu del codominio. En notación conjuntista, escríbense:

• La imaxe de la función cubu f ye tou R, una y bones tou númberu real tien un raigañu cúbicu real. En particular, los raigaños cúbicos de los númberos positivos (negativos) son positives (negatives), polo que se tien, por casu, f−1(R+) = R+.
• El percorríu de la función inversu g nun ye igual a la so codominio, yá que nun hai nengún númberu real x que'l so inversu seya 0, 1/x = 0.
• Pa la función «clasificación en xéneros» γ tiense:

γ(Perru) = Canis, y γ−1(Canis) = {Perru, coyote, chacal,...}.

• Como l'área ye siempres un númberu positivu, el percorríu de la función área A ye R+.
• Na diagrama puede comprobase que la imaxe de la función voto v nun coincide col codominio, una y bones el partíu C nun recibió nengún votu. Sicasí puede trate que, por casu, v−1(Partíu A) tien 2 elementos.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

La imaxe inversa d'un elementu del codominio puede ser vacida, o contener dellos oxetos del dominiu. Esto da llugar a la siguiente clasificación:

Funciones	Inyectiva	Non inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
Non sobreyectiva

Les funciones inyectivas nun repiten les imáxenes: si b = f(a), nengún otru a' tien por imaxe a b, polo que la anti-imaxe d'esti postreru namái contién al elementu a. Les funciones suprayectivas percuerren tol codominio, polo que nenguna anti-imaxe puede tar vacida. La definición de función suprayectiva asume qu'esta tien un codominio especificáu primeramente. De lo contrario, la noción de suprayectividad nun tien sentíu.

Cuando una función tien dambes propiedaes al empar, dizse que ye una biyección ente dambos conxuntos:

Les funciones biyectivas constitúin un axugamientu perfectu» ente los elementos del dominiu y el codominio: cada elementu n'A tien una única «pareya» en B —como toles funciones—, y a cada elementu de B correspuénde-y unu solu n'A —siquier unu por ser suprayectiva, y como muncho unu por ser inyectiva—.

Exemplos.

• La función cubu f: R → R ye biyectiva. Ye inyectiva porque dos númberos reales que tienen el mesmu cubu son idénticos, y ye suprayectiva porque Im(f) = R.
• La función inversu» g: R \ {0} → R ye inyectiva, una y bones l'inversu de cada númberu real non nulu ye únicu (1/x = 1/ya implica necesariamente que x = y). Sicasí nun ye suprayectiva, yá que Im(g) = R \ {0}.
• La función de clasificación de mamíferos γ: M → G nun ye inyectiva, yá que hai mamíferos distintos nel mesmu xéneru (por casu, γ(Yac) = γ(Toru) = Bos). Sicasí sí ye suprayectiva, yá qu'en cada xéneru de mamíferos hai clasificada siquier una especie de mamíferos.
• La función área A: T → R nun ye sobreyectiva, yá que Im(A) = R+. Tampoco ye inyectiva, yá que pueden construyise con #facilidad #triángulo distintos col mesmu área.
• Na imaxe pueden trate dellos exemplos de funciones ente un conxuntu de pinceles P y un conxuntu de cares C.

Álxebra de funciones

Coles funciones puede realizase una operación de composición con propiedaes similares a les de la multiplicación.

Composición de funciones

La composición g ∘ f actúa sobre l'oxetu x tresformándolo según f, y dempués tresformando f(x) por aciu g.

Daes dos funciones, so ciertes condiciones podemos usar los valores de salida d'una d'elles como valores d'entrada pa la otra., creando una nueva función.

Esto ye, la composición g ∘ f fai actuar primero la función f sobre un elementu d'A, y depués g sobre la imaxe que se llogre:

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente qu'esti segundu pasu pueda llevase a cabu.

Exemplos

• La imaxe de la función inversu» g ye R \ {0} —yá que tou númberu real non nulu ye l'inversu d'otru—, y por tanto ta conteníu nel dominiu de la función cubu f, que ye R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entós como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3.
• Daes les funciones reales h₁: R → R y h2: R → R daes por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1, puede tomase la composición en dambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sicasí, son funciones distintes, yá que:

(h1 ∘ h2)(x) = h₁(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y

(h2 ∘ h₁)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

• La función γ que clasifica los mamíferos en xéneros puede componese cola función ω: G → Or que clasifica los xéneros de mamíferos n'órdenes —que formen el conxuntu Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamíferu'l so orde:

(ω ∘ γ)(Humanu) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanacu) = ω(Lama) = Artiodactyla

Restricción y estensión

La función qu'asigna a cada muyer del eleutoráu'l so votu ye una restricción de la función qu'a cada miembru del eleutoráu asígna-y los so votu.

La restricción d'una función dada ye otra función definida nuna parte del dominiu de la orixinal, pero que «actúa igual» qu'esta. Dizse tamién que la primera ye una estensión de la segunda. Informalmente, una restricción d'una función f ye la resultancia de retayar el so dominiu. De manera más precisa, si S ye un subconxuntu de X, la restricción de f a S ye la función f | S de S a Y tal que f | S (s) = f (s) pa tou s en S. Si g ye a Restricción de f, entós dizse que f ye una estensión de g.

La restricción d'una función f: A → B a un subconxuntu C ⊆ A se denota por f|C.

Representación de funciones

Les funciones pueden presentase de distintes maneres:

• usando una rellación matemática descrita por aciu una espresión matemática: ecuaciones de la ${\displaystyle }$orma ${\displaystyle }$ = f (

${\displaystyle }$ ) {\displaystyle y=f(x)} .${\displaystyle }$ Cuando la rellación ye funcional, ye dicir satisfai la segunda condición de la definición de función, puede definise una función que se diz definida pola #rellación, Nun siendo que s'indique lo contrario, #suponer en tales casos que'l dominiu ye'l mayor posible (al respective de inclusión) y que'l codominio son tolos Reales. El dominiu escoyíu llámase'l dominiu natural, de la función. 

Exemplu: y=x+2. Dominiu natural ye tolos reales.

Exemplu: "Pa tou x, númberu enteru, y vale x más dos unidaes".

• Como tabulación: tabla que dexa representar dellos valores discretos de la función.

Exemplu:

${\displaystyle }$

• Como pares ordenaos: pares ordenaos, bien usaos en teoría de grafos.

Exemplu: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

• Como gráfica: gráfica que dexa visualizar los enclinos na función. Bien utilizada pa les funciones continues típiques del cálculu, anque tamién les hai pa funciones discretes.

Exemplu:

Espacios de función

El conxuntu de toles funciones dende un conxuntu X a un conxuntu Y se denota X -> Y, por [X -> Y] o por X^Y. Esta postrera notación ta motivada pol fechu de que cuando X y Y son finitos y de tamañu |X| y |Y| entós el númberu de funciones de X -> Y ye |Y^X| = |Y|^|X| Este ye un exemplu de la convención de la combinatoria enumerativa qu'apurre anotaciones pa conxuntos basaos nos sos cardinalidades.Si X ye infinitu y hai más d'un elementu en Y entós hai innumberables funciones de X a Y, anque namái contablemente munches d'elles pueden espresase con una fórmula o un algoritmu.

Definición formal. Xeneralizaciones

Les funciones pueden definise en términos d'otros oxetos matemáticos, como los conxuntos y los pares ordenaos. En particular, una función ye un casu particular de rellación binaria, depués esta definición ta basada na que s'adopte pa les rellaciones. Nel enfoque estensivu» identifícase una función cola so gráfica:

Na definición estensiva nun apaez el conceutu de codominio como conxuntu potencial onde ta conteníu'l percorríu. En delles árees de les matemátiques ye importante caltener esta distinción, y por tanto úsase una definición distinta:^[7]

Con esta definición, dos funciones col mesmu grafo son distintes si'l so codominio nun coincide. Tamién se fala n'ocasiones de funciones parciales, pa les que non necesariamente cada elementu del dominiu tien una imaxe, en contraste coles funciones como se definieron antes, que se denominen totales. A les funciones parciales tamién-y les llama correspondencies o rellaciones unívoques.^[8]

Ver tamién

• Funciones matemátiques
• Socesión matemática
• Función llinial
• Función esponencial
• Función cuadrática

Referencies

Bibliografía

• Dorronsoro, Jorge; Hernández, Eugenio (1996). Númberos, grupos y aniellos. Dorronsoro, Jorge; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.

Enllaces esternos