Representación gráfica y analítica

Como se quitó 1/4 del pastel, inda-y queden 3/4 .

Suel utilizase la figura xeométrica (que representa la unidá) seccionada nuna cantidá de partes iguales p'amosar el denominador, y se colorean (o omiten) les que se tomen pa estremar la cantidá qu'indica'l numberador.

• Notación y convenciones:
  • Nuna fraición común, el denominador lléese como númberu partitivu (exemplos: 1/4 lléese «un cuartu», 3/5 lléese «trés quintos»);
  • Una fraición negativa ye la que tien valor negativu;
  • Una fraición xenérica a/b representa'l productu de a pol recíprocu (multiplicativu) de b, talmente que ${\displaystyle a/b\ =a\cdot 1/b\ }$; si tantu a como b son númberos negativos ${\displaystyle (-a/-b)}$, el productu ye positivu, polo que s'escribe: a/b;
  • Toa espresión matemática escrita nesta forma recibe'l nome de «fraición».

La espresión xenérica ${\displaystyle a/b}$ representa una división alxebraica, polo que'l divisor tien de ser distintu de cero (b ${\displaystyle \neq 0}$); el cociente d'esta división almite un desenvolvimientu decimal (un númberu decimal, nel sistema de numberación decimal tradicional) que puede ser finito o infinitu periódico (ver Númberu periódicu).

Un númberu irracional nun almite una escritura en forma de númberu fraccionariu, o de razón, la so espansión decimal va ser infinita non-periódica, como por casu el númberu π, el númberu e, el númberu áureo y dellos raigaños cuadráu y cúbicu.

Fraición simple, común o vulgar

Una fraición simple (tamién conocida como fraición común o fraición vulgar) ye un númberu racional de la forma a/b, onde a y b son númberos enteros y b≠0. Puesto que una fraición común representa un númberu racional, les fraiciones comunes herieden toles propiedaes matemátiques de los racionales. Exemplu ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$; 3/4; ³/₄; (¾); fraición trés cuartos: numberador 3 y denominador 4, representa al númberu decimal 0.75, en porcentaxe: 75%.

Fraición propia ya impropia

Les fraiciones comunes pueden clasificase en mesmes ya impropies. Una fraición mesma ye aquella na que, si numberador y denominador son positivos, el numberador ye menor que'l denominador, por casu ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {3}{8}},\;{\tfrac {3}{4}}}$. Otra manera, una fraición impropia va ser la fraición onde'l numberador ye mayor que'l denominador, por casu ${\displaystyle {\tfrac {13}{6}},\;{\tfrac {18}{8}},\;{\tfrac {5}{2}}}$. Polo xeneral, una fraición común ye una fraición mesmu si'l valor absolutu ye puramente menor qu'unu — esto ye, si la fraición ye mayor que −1 y menor que 1 —.^[1][2]

Fraición mista

Una fraición mista o númberu mistu ye la representación d'una fraición impropia, en forma de númberu enteru y fraición propia; ye una manera práutica d'escribir unidaes de midida (pesu, tiempu, capacidá), recetes de cocina, etc.^[3]

Toa fraición impropia ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ puede escribise como númberu mistu: ${\displaystyle A{\tfrac {a}{b}}}$, onde ${\displaystyle A{\tfrac {a}{b}}}$ denota ${\displaystyle A+{\tfrac {a}{b}}}$ (onde ${\displaystyle A\in \mathbb {Z} ,A\geq ~0}$, ye la parte entera). Como exemplos:

${\displaystyle {\frac {30}{20}}={\frac {3}{2}}=1{\frac {1}{2}}}$ «Una cuyaradina y media de...»

${\displaystyle 15.70/12.561\approx 5/4=1{\frac {1}{4}}}$ «Nuna hora y cuartu...»

A partir d'un ciertu nivel d'álxebra elemental, la notación mista suel sustituyise por fraiciones impropies, que son más operacionales.^[4]

Razón

La razón ye la comparanza de dos cantidaes pola so cociente, onde se ve cuántes vegaes contién una a la otra. Nel casu de númberos toa razón puede espresase en forma de fraición y eventualmente como un decimal. Xeneralmente esprésase como "a ye a b" o a:b, y correspuende a la fraición a/b.

Fraición inversa

Una fraición inversa ye una fraición llograda a partir d'otra dada, na que s'invirtieron el numberador y el denominador, esto ye, la fraición inversa d'una fraición a/b ye b/a. Como exemplos, ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ y la so fraición inversa ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ y la so fraición inversa ${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$.

Un casu especial de fraición inversa ye la fraición unitaria, que ye una fraición común na cual el numberador ye igual a 1 y el denominador ye un enteru positivu: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},\;{\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {1}{4}},\dots \ }$, una y bones los númberos enteros pueden escribise como una fraición con denominador igual a unu. Asina, les fraiciones unitaries son los recíprocos multiplicativos de los númberos naturales (ye dicir de los enteros positivos). Les fraiciones exipcies son otru exemplu d'aplicación de les fraiciones unitaries.

Fraición compuesta

Una fraición compuesta ye aquella que'l so numberador o denominador (o dambos) contienen de la mesma fraiciones o númberos mistos. Por casu, ${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}}$ y ${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}}$ son fraiciones compuestes. P'amenorgar una fraición compuesta a una simple, asígnase-y l'orde preferente de la división a la llinia divisoria mayor de la fraición. Por casu:

${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}}$

${\displaystyle {\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.}$

Si, nuna fraición compuesta, nun hai una vía clara d'indicar qué llinies de la fraición tomen preferencia, entós la espresión ta formada impropiamente y ye ambigua. Asina, 5/10/20/40 ye una espresión matemática ruinamente escrita, con múltiples valores posibles.

Fraición decimal y como porcentaxe

Una fraición decimal ye una fraición del tipu ${\displaystyle {\tfrac {a}{10^{n}}}}$, esto ye, una fraición que'l so denominador ye una potencia de 10. Por convención, tómase a positiva. Les fraiciones decimales suelen espresase ensin denominador, con usu del separador decimal, esto ye, como númberu decimal exactu (Por casu: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 escríbense 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un númberu decimal finito (o un enteru) puede escribise como fraición decimal a cencielles multiplicando por una potencia apropiada de ${\displaystyle {\tfrac {10^{n}}{10^{n}}}}$ (Por casu: 1=10/10 1.23=123/100). Una fraición decimal nun ye necesariamente irreducible.

Un porcentaxe ye una forma d'espresar un númberu como una fraición decimal, concretamente como fraición con denominador 100. Utilizar pa denotarlo el signu porcentaxe %, que se debe escribir darréu dempués del númberu al que se refier, ensin dexar espaciu de separación. Como exemplu,

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}=75\%.}$

La espresión d'un númberu per mil (1.000‰), ye una manera d'espresalo como una fraición de 1.000, o como la décima parte d'un porcentaxe; escribir col signu ‰. Una parte per billón (notáu ppb) ye una unidá de midida pa espresar concentraciones desaxeradamente pequeñes.

Casos especiales

• Una fraición exipcia ye'l tipu de representación de fraiciones utilizáu nel Antiguu Exiptu. Una fraición común positiva escribir por mediu d'una suma de fraiciones unitaries distintes, ye dicir que nengún de los sumandos tien el mesmu denominador, por casu ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$. Tou númberu racional positivu puede espresase como suma de fraiciones unitaries (esto ye, como fraición exipcia), magar la representación nun ye única. Por casu ${\displaystyle {\tfrac {19}{20}}}$ puede escribise como ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}}$ y tamién como ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{180}}}$.

Fraición equivalente

Dos o más fraiciones son equivalentes cuando representen la mesma cantidá, y escríbense distintu. Por casu, les fraiciones ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {3}{6}}}$ y ${\displaystyle {\tfrac {x}{2x}}}$ son equivalentes, yá que representen la cantidá «un mediu». Dos fraiciones son equivalentes si pueden llograse una a partir de la otra, multiplicando (o estremando) el numberador y el denominador pol mesmu númberu, esto ye, por unu. Exemplu:

${\displaystyle {\dfrac {x}{2x}}={\dfrac {x}{x}}\cdot {\dfrac {1}{2}}}$ onde ${\displaystyle {\dfrac {x}{x}}=1}$.

${\displaystyle {\dfrac {3}{6}}={\dfrac {3}{3}}\cdot {\dfrac {1}{2}}}$ onde ${\displaystyle {\dfrac {3}{3}}=1}$.

D'esta manera, les fraiciones equivalentes son reducibles, yá que el numberador y el denominador nun son primos ente sigo y pueden ser simplificaes nuna fraición irreducible, na que'l numberador y el denominador son primos ente sigo. El conxuntu de toles fraiciones equivalentes a una fraición dada, llámase númberu racional, y suel representase pola única fraición equivalente irreducible del conxuntu. Un casu específicu ye cuando'l numberador ye un múltiplu del denominador, entós, al amenorgala llógrase cualquier númberu perteneciente al conxuntu de los enteros, polo que se denomina fraición aparente o entera.

Más xeneralmente, dada una fraición reducible (el numberador y el denominador comparten factores comunes distintos a la unidá), esta siempres puede amenorgase (esto ye, simplificar) hasta llograr una fraición equivalente irreducible. La noción de fraición irreducible xeneralizar al cuerpu de cocientes de cualesquier dominiu de factorización única: tou elementu d'esti cuerpu puede escribise como una fraición na cual el numberador y el denominador son coprimos.

Comparanza de fraiciones

La comparanza de dos fraiciones utilizar pa comprobar cuál ye mayor. Esisten dellos casos, dependiendo de los numberadores y los denominadores d'estes. Dizse que les fraiciones son homoxénees si tienen el mesmu denominador y que les fraiciones son heteroxénees si tienen distintos denominadores.

Si les fraiciones son homoxénees — el denominador de los dos fraiciones ye'l mesmu —, la fraición col mayor numberador ye mayor que la otra.

${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}>{\tfrac {2}{7}}}$ yá que 5>2.

Si'l numberador de los dos fraiciones positives ye'l mesmu, la fraición col menor denominador ye mayor que la otra. Esto ye abondo natural: si tiénense dos tartes iguales, una pa partir ente más persones que la otra, la que se parta ente menos persones va tar partida en porciones más grandes.

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}>{\tfrac {2}{5}}}$ yá que 3<5.

Una manera de comparar fraiciones con distintos numberadores y denominadores ye atopar un denominador común. Pa comparar ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ y ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$, convertir en fraiciones equivalentes ${\displaystyle {\tfrac {ad}{bd}}}$ y ${\displaystyle {\tfrac {bc}{bd}}}$. Entós bd ye un común denominador y los numberadores ad and bc pueden ser comparaos.

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ? ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ da que ${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

Nun ye necesariu determinar el valor del denominador común pa ser comparaes. Esti atayu ye conocíu como «multiplicación cruciada». Compárase namái ad y bc, ensin calcular el denominador.

${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$ ? ${\displaystyle {\tfrac {4}{17}}}$

Multiplicando dambes partes de cada fraición pol denominador de la otra, llógrase un denominador común:

${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$ ? ${\displaystyle {\tfrac {4\times 18}{17\times 18}}}$

Los denominadores agora son iguales, pero nun ye necesariu calcular el so valor – namái los numberadores precisen ser comparaos. Puesto que 5×17 (= 85) ye mayor que 4×18 (= 72), ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$.

Xeneralmente, cuando se tien que calcular el denominador común de fraiciones, utilízase'l mínimu común múltiplu (mcm) de los denominadores de les fraiciones orixinales, que'l mínimu denominador común d'estes.

Suma y resta de fraiciones

Pa sumar o restar fraiciones, estrémense dos casos. Si tienen el mesmu denominador, entós sumir o se resten los numberadores y déxase el denominador común.

${\displaystyle {\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {5}{7}}}$

Ye posible que la resultancia pueda simplificase:

${\displaystyle {\frac {7}{12}}-{\frac {1}{12}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Si tienen distintu denominador, hai que llograr fraiciones equivalentes a les fraiciones daes, por que tengan denominador común y depués sumar o restar. Por casu

${\displaystyle {\frac {2}{7}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2\times 3}{7\times 3}}+{\frac {1\times 7}{3\times 7}}={\frac {6}{21}}+{\frac {7}{21}}={\frac {13}{21}}}$.

Esti métodu puede espresase de forma alxebraica como

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}\pm {\frac {bc}{bd}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}}$

En realidá, nun fai falta llograr fraiciones equivalentes de cuenta que'l denominador resultante sía'l productu de los denominadores de les fraiciones iniciales. Basta con tomar el mínimu común múltiplu de los denominadores. A la fin de la operación, pue que faiga falta realizar otra simplificación.

Multiplicación y división de fraiciones

Pa multiplicar dos fraiciones, basta multiplicar los numberadores per una parte y los denominadores por otra. Como exemplu,

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{2}}={\frac {3\cdot 5}{4\cdot 2}}={\frac {15}{8}}}$.

Mientres la operación, si'l numberador d'una fraición y el denominador d'otra —y viceversa— tienen dalgún factor común, puede atayase, yá que ye multiplicar y estremar por dichu factor na fraición resultante. Esti atayu conozse como «cancelación» y dexa amenorgar los términos a multiplicar. La espresión alxebraica de manera xeneral sería

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}$.

Na división de fraiciones, el numberador de la fraición resultante ye'l productu del numberador de la fraición dividendu pol denominador de la fraición divisor, ente que'l denominador ye igual al denominador de la fraición dividendu multiplicáu pol numberador de la fraición divisor. Otra manera d'imaxinalo ye qu'estremar ente un númberu ye lo mesmo que multiplicar pol inversu d'esi númberu, polo que la división de dos fraiciones ye igual a la multiplicación de la primer fraición pol inversu de la segunda:

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}$.

Fraición continua

Llámase fraición continua d'orde n a una espresión de la forma:

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\begin{array}{l}\ddots \\{a_{n-2}+{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}\end{array}}}}}}}}$

Onde ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\ }$ ye una socesión d'enteros positivos.

Espansión de Engel

Una espansión de Engel ye una socesión de númberos enteros positivos tales que

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ \cdots }$

Si la socesión ye finita, correspuende a un númberu racional que ye la representación de x en forma de fraición exipcia. Esta representación puede espresase como «variante ascendente» d'una fraición continua como

${\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}}$

Estes estructures fueron estudiaes por Fibonacci en Liber Abaci (1202).