Observaciones

La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza multiplicación pal productu y adición pa la suma, usando les distinciones propies de l'aritmética.

Pa demostrar qu'un conxuntu ${\displaystyle V_{}^{}}$ ye un espaciu vectorial:

• Ser si los sos dos operaciones, por casu ${\displaystyle \odot (V,V)}$ y ${\displaystyle \ast (V,K),}$ almiten una redefinición del tipu ${\displaystyle +(V,V)=\odot (V,V)}$ y ${\displaystyle \cdot (K,V)=\ast (V,K)}$ cumpliendo les 8 condiciones esixíes.

• Si supiéramos que ${\displaystyle V_{}^{}}$ ye un grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos 1, 2, 3 y 4.

• Si supiéramos que'l productu ye una aición pela izquierda de ${\displaystyle V_{}^{}}$ tendríamos probaos los apartaos 5 y 6.

• Si nun se diz lo contrario:

${\displaystyle {\mathit {a}}\mathbf {v} \neq \mathbf {v} {\mathit {a}}}$.

Propiedaes

Unicidad del vector neutru de la propiedá 3

supongamos que'l neutru nun ye únicu, esto ye, sían ${\displaystyle \mathbf {0_{1}} }$ y ${\displaystyle \mathbf {0_{2}} }$ dos vectores neutros, entós: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {o} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {o} \\\mathbf {o} +\mathbf {0_{2}} =\mathbf {o} \end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {o} +\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {0_{1}} =\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !\;\mathbf {0} \in V}

Unicidá del vector opuestu de la propiedá 4

supongamos que l'opuestu nun ye únicu, esto ye, sían ${\displaystyle \mathbf {-o_{1}} }$ y ${\displaystyle \mathbf {-o_{2}} }$ dos vectores opuestos de ${\displaystyle \mathbf {o} }$, entós, como'l neutru ye únicu: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {o} -\mathbf {o_{1}} =\mathbf {0} \\\mathbf {o} -\mathbf {o_{2}} =\mathbf {0} \end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {o} -\mathbf {o_{1}} =\mathbf {o} -\mathbf {o_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle -\mathbf {o_{1}} =-\mathbf {o_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !-\mathbf {o} \in V}

Unicidá del elementu ${\displaystyle 1_{}^{}}$ nel cuerpu ${\displaystyle K_{}^{}}$

supongamos que 1 nun ye únicu, esto ye, sían ${\displaystyle {\mathit {1_{1}}}\;}$ y ${\displaystyle {\mathit {1_{2}}}\;}$ dos unidaes, entós: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}={\mathit {a}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {1_{1}}}={\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !\;{\mathit {1}}\in K}

Unicidá del elementu inversu nel cuerpu ${\displaystyle K_{}^{}}$

supongamos que l'inversu ${\displaystyle a_{}^{-1}}$ d'a, nun ye únicu, esto ye, sían ${\displaystyle a_{1}^{-1}}$ y ${\displaystyle a_{2}^{-1}}$ dos opuestos de ${\displaystyle a_{}^{}}$, entós, como'l neutru ye únicu: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {1}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}={\mathit {1}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !{\mathit {a^{-1}}}\in K}

Productu d'un angular pol vector neutru

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {0} )=}$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Productu del angular 0 por un vector

${\displaystyle \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle ({\mathit {1}}+{\mathit {0}})\cdot \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle \mathbf {o} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} =}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {0} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}={\mathit {0}}\quad \lor \quad \mathbf {o} =\mathbf {0} .}$

• Si ${\displaystyle a_{}^{}=0,}$ ye ciertu.
• Si ${\displaystyle a\neq 0,}$

entós:

${\displaystyle \exists$ !\;a^{-1}\in K:} ${\displaystyle a^{-1}a=1\Rightarrow }$ ${\displaystyle o=}$ ${\displaystyle 1o=}$ ${\displaystyle (a^{-1}a)o=}$ ${\displaystyle a^{-1}(au)=}$ ${\displaystyle a^{-1}0=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle o_{}^{}=0.}$

Notación

${\displaystyle -au=-(au)\,}$.

Observación

${\displaystyle -au=(-a)o=a(-o)\,}$

• Si ${\displaystyle au+a(-o)=a(o-o)=a0=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle a(-o)=-au\,}$
• Si ${\displaystyle au+(-a)o=(a-a)o=0o=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle (-a)o=-au\,}$

Primer exemplu con demostración

Quier probase que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ye un espaciu vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ xuega'l papel de ${\displaystyle V\;}$ y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ el de ${\displaystyle K\;}$:

Los elementos:

${\displaystyle \mathbf {o} \in V=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times {}\mathbb {R} }$

son, de forma xenérica:

${\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}$

esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiénse la denominación del vector, nesti casu o, nes sos coordenaes, añadiendo'l subíndice x o y pa denominar el so componente na exa x o y respeutivamente

En ${\displaystyle V\;}$ defínese la operación suma:

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}+:&{V\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )&\mapsto &\mathbf {w} =\mathbf {o} +\mathbf {v} \end{array}}}$

onde:

${\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{x},w_{y})}$

y la suma de o y v sería:

${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =(o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y})=(o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=(w_{x},w_{y})=\mathbf {w} }$

onde:

${\displaystyle {\begin{array}{l}w_{x}=o_{x}+v_{x}\\w_{y}=o_{y}+v_{y}\end{array}}}$

esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.

La operación interna suma tien les propiedaes:

1) La propiedá conmutativa, esto ye:

${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {o} ,\quad \forall {}\mathbf {o} ,\mathbf {v} \in {}V}$

${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

${\displaystyle (o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

${\displaystyle (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

${\displaystyle (v_{x}+o_{x},v_{y}+o_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

${\displaystyle (v_{x},v_{y})+(o_{x},o_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {o} =\mathbf {v} +\mathbf {o} }$

2) La propiedá asociativa:

${\displaystyle (\mathbf {o} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} =\mathbf {o} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\Big (}(o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y}){\Big )}+(w_{x},w_{y})=(o_{x},o_{y})+{\Big (}(v_{x},v_{y})+(w_{x},w_{y}){\Big )}}$

${\displaystyle (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})+(w_{x},w_{y})=(o_{x},o_{y})+(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y})\;}$

${\displaystyle (o_{x}+v_{x}+w_{x},o_{y}+v_{y}+w_{y})=(o_{x}+v_{x}+w_{x},o_{y}+v_{y}+w_{y})\;}$

3) tien elementu neutru ${\displaystyle \mathbf {0} }$:

${\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {0} =\mathbf {o} }$

${\displaystyle (o_{x},o_{y})+(0,0)=(o_{x}+0,o_{y}+0)=(o_{x},o_{y})\;}$

4) tenga elementu opuestu:

${\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {-o} =(-o_{x},-o_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {o} +(\mathbf {-o} )=(o_{x},o_{y})+(-o_{x},-o_{y})=(o_{x}-o_{x},o_{y}-o_{y})=(0,0)=\mathbf {0} }$

La operación productu por un angular:

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}\cdot$ :&K\times V&\longrightarrow &V\\&({\mathit {a}},\mathbf {o} )&\mapsto &\mathbf {v} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} \end{array}}}

El productu de a y o va ser:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =a\cdot (o_{x},o_{y})=(a\cdot o_{x},a\cdot o_{y})=(v_{x},v_{y})=\mathbf {v} }$

onde:

${\displaystyle {\begin{array}{l}v_{x}=a\cdot o_{x}\\v_{y}=a\cdot o_{y}\end{array}}}$

esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.

5) tenga la propiedá asociativa:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ,\quad \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}$

Esto ye:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} }$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot (o_{x},o_{y}))=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {b}}\cdot o_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{y})}$

6) ${\displaystyle {\mathit {1}}\in {}R}$ seya elementu neutru nel productu:

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {o} ,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}$

Que resulta:

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {o} }$

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot (o_{x},o_{y})=\mathbf {o} }$

${\displaystyle ({\mathit {1}}\cdot o_{x},{\mathit {1}}\cdot o_{y})=\mathbf {o} }$

${\displaystyle (o_{x},o_{y})=\mathbf {o} }$

Que tien la propiedá distributiva:

7) distributiva pela esquierda:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} ,\quad \forall {}{\mathit {a}}\in {}R,\quad \forall {}\mathbf {o} ,\mathbf {v} \in {}V}$

Nesti casu tenemos:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ((o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y}))={\mathit {a}}\cdot (o_{x},o_{y})+{\mathit {a}}\cdot (v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y})+({\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot v_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x}+{\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y}+{\mathit {a}}\cdot v_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (o_{y}+v_{y}))=({\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (o_{y}+v_{y}))}$

8) distributiva pela derecha:

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} ,\quad \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}R,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}$

Qu'en esti casu tenemos:

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} }$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})={\mathit {a}}\cdot (o_{x},o_{y})+{\mathit {b}}\cdot (o_{x},o_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y})+({\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {b}}\cdot o_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x}+{\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y}+{\mathit {b}}\cdot o_{y})}$

${\displaystyle (({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{y})=(({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{y})}$

Queda demostráu que ye espaciu vectorial.

Los cuerpos

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ye un espaciu vectorial de dimensión unu sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ye un espaciu vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ye un espaciu vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Socesiones sobre un cuerpu ${\displaystyle K_{}^{}}$

L'espaciu vectorial más conocíu notáu como ${\displaystyle K_{}^{n}}$, onde n>0 ye un enteru, tien como elementos n-tuplas, esto ye, socesiones finitas de ${\displaystyle K_{}^{}}$ de llargor n coles operaciones:

(o₁, o₂, ..., o_n)+(v₁, v₂, ..., v_n)=(o₁+v₁, o₂+v₂, ..., o_n+v_n).

a(o₁, o₂, ..., o_n)=(au₁, au₂, ..., au_n).

Les socesiones infinites de ${\displaystyle K^{}}$ son espacios vectoriales coles operaciones:

(o₁, o₂, ..., o_n, ...)+(v₁, v₂, ..., v_n, ...)=(o₁+v₁, o₂+v₂, ..., o_n+v_n, ...).

a(o₁, o₂, ..., o_n, ...)=(au₁, au₂, ..., au_n, ...).

L'espaciu de les matrices ${\displaystyle n\times m}$, ${\displaystyle M_{n\times m}(K)}$, sobre ${\displaystyle K^{}}$, coles operaciones:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,m}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1,1}&\cdots &y_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\y_{n,1}&\cdots &y_{n,m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1,1}+y_{1,1}&\cdots &x_{1,m}+y_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}+y_{n,1}&\cdots &x_{n,m}+y_{n,m}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a{\begin{pmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax_{1,1}&\cdots &ax_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\ax_{n,1}&\cdots &ax_{n,m}\end{pmatrix}}}$

Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de ${\displaystyle K_{}^{}}$ nes cualos defínase les operaciones suma y productu ente estes agrupaciones, elementu a elementu, similar al de matrices ${\displaystyle n\times m}$, asina por casu tenemos les caxes ${\displaystyle n\times m\times r}$ sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$ qu'apaecen nel desenvolvimientu de Taylor d'orde 3 d'una función xenérica.

Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpu

El conxuntu ${\displaystyle F_{}^{}}$ de les aplicaciones ${\displaystyle f:M\rightarrow K}$, ${\displaystyle K^{}}$ un cuerpu y ${\displaystyle M_{}^{}}$ un conxuntu, tamién formen espacios vectoriales por aciu la suma y la multiplicación habitual:

${\displaystyle \forall f,g\in F,\;\forall a\in K}$

${\displaystyle {\begin{matrix}(f+g)(w)&:=f(w)+g(w)_{}^{},\\\;\;\;\;(af)(w)&:=a(f)(w)_{}^{}.\;\;\;\;\;\;\;\end{matrix}}}$

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x² y g(x)=-x².

L'espacio vectorial K[x] formáu por funciones polinómiques, veámoslo:

Espresión xeneral: ${\displaystyle p(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x_{}^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}}$,onde los coeficientes ${\displaystyle r_{n},\;...,r_{0}\in K}$, considérese ${\displaystyle \forall i>n\;r_{i}=0}$.

${\displaystyle p(x)+q(x)=(r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}^{})}$ ${\displaystyle +(s_{m}x^{m}+s_{m-1}x^{m-1}+...+s_{1}x+s_{0}^{})}$ ${\displaystyle =..._{}^{}}$ ${\displaystyle =(t_{M}x^{M}+t_{M-1}x^{M-1}+...+t_{1}x+t_{0}^{})=(p+q)(x)}$, onde ${\displaystyle M=\max\{m,\;n\}_{}^{}}$ y ${\displaystyle t_{i}=r_{i}+s_{i}^{}}$,

${\displaystyle a(p(x))=a(r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}^{})}$ ${\displaystyle =(ar_{n}x^{n}+ar_{n-1}x^{n-1}+...+ar_{1}x+ar_{0}^{})}$ ${\displaystyle =t_{n}x^{n}+t_{n-1}x^{n-1}+...+t_{1}x+t_{0}^{}=(ap)(x)}$.

Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.

Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxénees

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}&+\dots &+a_{1,n}x_{n}&=0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+\dots &+a_{m,n}x_{n}&=0\end{matrix}}\end{cases}}\;\;}$ o equivalentemente ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&+\dots &+a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{m,1}&+\dots &+a_{m,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$ simplificáu como ${\displaystyle A_{}^{}x=0}$

Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que ${\displaystyle x=0_{}^{}}$ ye siempres una solución, esto ye, ${\displaystyle (x_{1},\;\dots ,\;x_{n})=(0,\;\dots ,\;0)}$) tien soluciones que formen un espaciu vectorial, puede vese nos sos dos operaciones:

Si ${\displaystyle Ax=0,Ai=0\Rightarrow Ax+Ai=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle A(x+y)=0_{}^{}}$

Si ${\displaystyle Ax=0,a\in K\Rightarrow a(Ax)=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle A(ax)=0_{}^{}}$.

Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz ${\displaystyle A_{}^{}}$ notaes como una matriz ${\displaystyle 1\times n}$, esto ye, ${\displaystyle Y_{i}=(a_{i,1},\;\dots ,\;a_{i,n})}$, son un espaciu vectorial, como puede vese nos sos dos operaciones:

Si ${\displaystyle Y_{i}x=0,\;Y_{j}x=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle Y_{i}^{}x+Y_{j}x=0\Rightarrow (Y_{i}+Y_{j})x=0}$

Si ${\displaystyle Y_{i}x=0,\;a\in K\Rightarrow }$ ${\displaystyle a(Y_{i}^{}x)=0\Rightarrow (aE_{i})x=0}$.

Consecuencies

${\displaystyle O_{}^{}}$ herieda les operaciones de ${\displaystyle V_{}^{}}$ como aplicaciones bien definíes, ye dicir que nun escapen de ${\displaystyle O_{}^{}}$, y de resultes tenemos que ${\displaystyle O_{}^{}}$ ye un espaciu vectorial sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$.

Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.

Combinación llinial

Cada vector o ye combinación llinial de forma única

Dau un espaciu vectorial ${\displaystyle Y_{}^{}}$, vamos dicir qu'un vector o ye combinación llinial de los vectores de ${\displaystyle S=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}\subset Y}$ si esisten angulares ${\displaystyle a_{1},\;\dots ,\;a_{n}}$ tales que

${\displaystyle o=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}}$

Vamos Notar como ${\displaystyle \langle S_{}^{}\rangle _{Y}}$ el conxuntu resultante de toles combinaciones lliniales de los vectores de ${\displaystyle S_{}^{}\subset Y}$.

Independencia llinial

Vamos Dicir qu'un conxuntu ${\displaystyle S_{}^{}=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}$ de vectores ye linealmente independiente si'l vector 0 nun puede espresase como combinación llinial non nula de los vectores de ${\displaystyle S_{}^{}}$, esto ye:

Si ${\displaystyle 0=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\Rightarrow a_{1}=\cdots =a_{n}=0}$.

Vamos Dicir qu'un conxuntu ${\displaystyle S_{}^{}}$ de vectores ye linealmente dependiente si nun ye linealmente independiente.

Base d'un espaciu vectorial

Les bases revelen la estructura de los espacios vectoriales d'una manera concisa. Una base ye'l menor conxuntu (finito o infinitu) B = {v_i}_{i ∈ I} de vectores que xeneren tol espaciu. Esto significa que cualquier vector v puede ser espresáu como una suma (llamada combinación llinial) d'elementos de la base :a₁v_i1 + a₂v_i2 + ... + a_nv_in, onde los a_k son angulares y v_ik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, per otru llau, faise formal pol conceutu d'independencia llinial. Un conxuntu de vectores dizse que ye linealmente independiente si nengunu de los sos elementos puede ser espresáu como una combinación llinial de los restantes. Equivalentemente, una ecuación

a₁v_i1 + a_i2v₂ + ... + a_nv_in = 0

solo consíguese si toos angular a₁, ..., a_n son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser espresáu como una suma finita de los elementos de la base. Por cuenta de la independencia llinial esti tipu de representación ye única. Los espacios vectoriales dacuando introdúcense dende esti puntu de vista.

Base formalmente

v₁ y v₂ son base d'un planu, si hubiera dependencia llinial(alliniaos) la cuadrícula nun podría xenerase

Dau un sistema de xeneradores, vamos dicir que ye una base si son linealmente independientes.

Proposición 3. Dau un espaciu vectorial ${\displaystyle Y,\;\{v_{1},\;\dots ,v_{n}\}=F\subset Y}$ ye una base ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall o\in Y,\;\exists !a_{i}\in K,\;i\in {1,\;\dots ,n}:}$ ${\displaystyle o=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}}$.

Proposición 4. Dau un espaciu vectorial ${\displaystyle Y,\;S=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}$ linealmente independiente y ${\displaystyle o\notin \langle S\rangle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \{o\}\cup S=\{o,\;v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}$ son linealmente independiente.