Cuatro exemplos y dos anti-exemplos de topoloxíes nel conxuntu de tres puntos {1,2,3}.
L'exemplu inferior esquierdu nun ye una topoloxía porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, nun ye parte de la coleición.
L'exemplu inferior derechu tampoco ye una topoloxía porque la interseición de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, nun ye parte de la coleición.

Un espaciu topolóxicu ye una estructura matemática que dexa la definición formal de conceutos como converxencia, conectividad, continuidá, vecindá, usando soconxuntu d'un conxuntu dau.^[1] La caña de les matemátiques qu'estudia los espacios topolóxicos llámase topoloxía. Les variedaes, al igual que los espacios métricos son especializaciones d'espacios topolóxicos con restricciones y estructures propies.

Definición

Formalmente, llámase espaciu topolóxicu al par ordenáu (X,T) formáu por un conxuntu X y una topoloxía T sobre X, esto ye, una coleición de soconxuntos de X que cumplen los trés propiedaes siguientes:

1. El conxuntu vacíu y X tán en T.

   ${\displaystyle \quad \varnothing \in T,X\in T}$

2. La interseición de cualesquier subcolección finita de conxuntos de T ta en T.

   ${\displaystyle \quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)}$

3. La unión de cualesquier subcolección de conxuntos de T ta en T.^[2]

Esta condición tamién s'escribe, formalmente:^[3]

${\displaystyle \quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T}$

A los conxuntos pertenecientes a la topoloxía T llámase-yos conxuntos abiertos o a cencielles abiertos de (X,T) ;^[4] y a los sos complementos en Y, conxuntos zarraos.

Exemplos

• Topoloxía trivial o indiscreta: ye la formada por ${\displaystyle \varnothing }$ y ${\displaystyle X}$.
• Topoloxía discreta: ye la formada pol conxuntu de les partes de ${\displaystyle X}$.
• Topoloxía de los complementos finitos: ye la formada por ${\displaystyle \varnothing }$ y los conxuntos de ${\displaystyle X}$, que los sos complementarios son finitos.
• Topoloxía de los complementos numerables: ye la formada por ${\displaystyle \varnothing }$ y los conxuntos de ${\displaystyle X}$, que los sos complementarios son numerables.
• R, conxuntu de los reales, y T el conxuntu de los intervalos abiertos nel sentíu avezáu, y de les xuntes (cualesquier) d'intervalos abiertos.Nesti casu un conxuntu ye abiertu si pa tou puntu d'él esiste un intervalu abiertu que contién al puntu y dichu intervalu abiertu ye parte del mentáu abiertu.^[5]
• Recta de Sorgenfrey: la recta real xunto cola topoloxía de la llende inferior.
• La topoloxía de Sierpinski ye la coleición T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) llámase espaciu de Sierpinski.^[6]
• Una topoloxía T sobre X, usando delles partes d'A, que ye parte mesma de X. El par (X,T ) ye un espaciu topolóxicu que los sos abiertos son ciertes partes d'A y el conxuntu X. Pa esti casu X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} ye una topoloxía sobre X.^[7]

Espacios metrizables

Toa métrica dexa definir de manera natural nun espaciu la topoloxía formada poles unión arbitraries de boles de centru ${\displaystyle r}$ y radio ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle \quad B(r,d)}$

Esta topoloxía averar a la noción intuitiva de conxuntu abiertu, dexando un aproximamientu de calter llocal a la topoloxía.

En cuenta de considerar tol conxuntu, el puntu de vista local consiste en preguntar: ¿qué rellación tien qu'haber ente un puntu a cualesquier d'A, y A por que A seya un abiertu?

Si considérase l'exemplu más conocíu, el de los intervalos, unu dase cuenta de que los intervalos abiertos son los que nun contienen puntos nel so frontera o cantu, que son puntos en contautu al la vegada con A y col so complementariu R - A.

N'otres pallabres, un puntu d'un abiertu nun ta direutamente en contautu col "esterior".

Nun tar en contautu significa intuitivamente qu'hai una cierta distancia ente'l puntu y l'esterior; llamémosla d. Entós la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centru a ta incluyida n'A y nun toca'l complementariu. Na figura, a ta nel interior d'A, ente que b ta na so frontera, porque cualquier vecindá de b atopa R - A.

Al falar de alloña, utilizamos un conceutu de los espacios métricos, que son más intuitivos pos correspuenden al mundu real (asimilable a R³). En topoloxía, tenemos que camudar el conceutu de bola pol, más xeneral, de vecindá o redolada. Una vecindá d'un puntu x ye esti puntu con daqué del so alredor. Tenemos entera llibertá pa definir el significáu de "alredor" y "vecindá" con tal de satisfaer los axomes siguientes:

1. x pertenez a toles sos vecindaes.
2. Un conxuntu que contién una vecindá de x ye una vecindá de x.
3. La interseición de dos vecindad de x ye tamién una vecindá de x.
4. En toa vecindá V de x esiste otra vecindá O de x tal que V ye una vecindá de tolos puntos d'O.

Llamamos abiertu un conxuntu que ye una vecindá pa tolos sos puntos.

Los axomes espuestos nel puntu de vista global tán verificaos:

1. Y ye obviamente una vecindá pa tolos sos puntos, y ∅ tamién porque nun contién puntu. (Una propiedá universal: pa tou x... ye por fuercia cierta nel conxuntu vacíu.)
2. Una unión d'abiertos O_i ye un superconjunto de cada O_i, y O_i ye una vecindá de tolos sos puntos, poro, la unión ye una vecindá de tolos sos puntos, gracies a la propiedá (2).
3. Sía x un puntu de la interseición de los abiertos O₁ y O₂. O₁ y O₂ son abiertos que contienen x y polo tanto vecindaes d'él. Una interseición de vecindaes de x ye una vecindá de x (propiedá 3), lo qu'implica qu'O₁ ${\displaystyle \cap }$ O₂ ye una vecindá de tolos sos puntos, y polo tanto un abiertu.

Propiedaes d'un espaciu topolóxicu

• Compacidad
• Conectividad
• Axomes de separación

Ver tamién

• Glosariu de topoloxía
• Topoloxía

Referencies

Bibliografía

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

• Espacios Métricos y Topolóxicos (Wikilibro)