Espacios euclidianos

El primer exemplu, que yá fuera avanzáu na seición anterior, constituyir los espacios de dimensión finita col productu angular ordinariu.

N'otres pallabres, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ⁿ cola definición de productu interior siguiente:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}$

onde la barra sobre un númberu complexu denota la so conxugación complexa.

Espacios de socesiones

Los espacios de Hilbert non necesariamente tienen dimensión finita, de fechu en munches aplicaciones típicamente l'espaciu de Hilbert consideráu ye un espaciu de Hilbert infinitu-dimensional. Unu de los exemplos d'espaciu de Hilbert de dimensión infinita ye'l siguiente: si B ye un conxuntu, definimos ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ sobre B, de la forma:

${\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C}$ :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}

Esti espaciu convertir nun espaciu de Hilbert col productu interior

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}$

pa tou x y y en ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$. B nun tien porqué ser un conxuntu contable nesta definición, anque si B nun ye contable, l'espaciu de Hilbert que resulta nun ye xebrable. Espresáu de manera más concreta, cada espaciu de Hilbert ye isomorfu a unu de la forma ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ pa un conxuntu fayadizu B. Si B = N, escríbese a cencielles ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Dellos exemplos de socesiones de ${\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$:

${\displaystyle v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Sicasí:

${\displaystyle w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ nun ta definida, una y bones }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty }$

Espacios de Lebesgue

Otru exemplu interesante d'espacios de Banach de dimensión infinita son los espacios L^p. Estos son espacios funcionales acomuñaos a espacios de midida (X, M, μ), onde M ye una σ-álxebra de subconxuntos de X y μ ye una midida contablemente aditiva en M. Si p = 2 estos espacios son amás un espaciu de Hilbert, seya por tanto, L² _μ(X) l'espaciu de funciones medibles cuadráu-integrables complexu-valoraes en X, módulu'l subespacio d'eses funciones que la so integral cuadrática seya cero, o equivalentemente igual a cero cuasi perdayures. cuadráu integrable significa que la integral del cuadráu del so valor absolutu ye finita. módulo igualdad cuasi perdayures significa que les funciones son identificaes si y namái si son iguales salvo un conxuntu de midida 0.

El productu interior de les funciones f y g dase como:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}$

Unu precisa demostrar:

• Qu'esta integral tien de fechu sentíu.
• Que'l espaciu que resulta ye completu.

Éstos son fechos téunicamente fáciles. Reparar que al usar la integral de Lebesgue asegurar de que l'espaciu seya completu. Vea espacios L^p pa discutiniu adicional d'esti exemplu.

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev, denotados por ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\,}$ son otru exemplu d'espacios de Hilbert, que s'utilicen bien de cutiu nel marcu de les ecuaciones en derivaes parciales definíes sobre un ciertu dominiu ${\displaystyle \Omega \,}$. Los espacios de Sobolev xeneralicen los espacios L^p.

Amás de los espacios de Sobolev xenerales ${\displaystyle W^{m,p}\,}$ úsense ciertes notaciones particulares pa ciertu tipu d'espacios:

• ${\displaystyle H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,}$
• ${\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}}$

Suma direuta y productu tensorial

Daos dos (o más) espacios de Hilbert, podemos combinalos nun espaciu más grande de Hilbert tomando'l so suma direuta o la so productu tensorial. La primer construcción basar na unión de conxuntos y la segunda nel productu cartesianu.

La suma direuta rique que ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\{0\}}$, y ye el mínimu espaciu de Hilbert que "contién" a la unión de los dos conxuntos:

${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})}$

Ente que el productu tensorial ye'l mínimu espaciu de Hilbert que "contién" al productu castesiano:

${\displaystyle H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})}$

Complementos y proyeiciones ortogonales

Si S ye un subconxuntu del espaciu de Hilbert H, definimos el conxuntu de vectores ortogonales a S

${\displaystyle S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}$

${\displaystyle \scriptstyle S^{\bot }}$ ye un subespacio zarráu de H y forma, poro, un espaciu de Hilbert. Si V ye un subespacio zarráu de H, entós el ${\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}$ llámase'l complementu ortogonal de V. Ello ye que cada x en H puede entós escribise unívocamente como x = v + w con v en V y w en ${\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}$. Poro, H ye la suma direuta interna de Hilbert de Vy ${\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}$. L'operador llinial P_V : H → H que mapea x a v llámase la proyeición ortogonal sobre V.

Teorema. La proyeición ortogonal P_V ye un operador llinial autu-axuntu en H con norma ≤ 1 cola propiedá P_V² = P_V. Per otra parte, cualquier operador llinial Y autu-axuntu tal que Y² = Y ye de la forma P_V, onde V ye'l rangu de Y. Pa cada x en H, P_V(x) ye l'elementu únicu v en V qu'embrive la distancia ||x - v||.

Esto apurre la interpretación xeométrica de P_V(x): ye'l meyor aproximamientu a x por un elementu de V.

Operadores acutaos

Pa un espaciu H de Hilbert, los operadores lliniales continuos A: H → H son d'interés particular. Un tal operador continuu ye acutáu nel sentíu que mapea conxuntos acutaos a conxuntos acutaos. Esto dexa definir el so norma como

${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert$ :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.}

La suma y la composición de dos operadores lliniales continuos son de la mesma continuos y lliniales. Pa y en H, la función qu'unvia x a <y, Ax> ye llinial y continua, y según el teorema de representación de Riesz poder polo tanto representar na forma

${\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}$

Esto define otru operador llinial continuu A^*: H → H, el axuntu de A.

El conxuntu L(H) de tolos operadores lliniales continuos en H, xunto cola adición y les operaciones de composición, la norma y l'operación axuntu, formes una C^*-álxebra; ello ye que ésti ye l'orixe de la motivación y el más importante exemplu d'una C^*-álxebra.

Un elementu A en L(H) llámase autu-axuntu o hermitiano si A^* = A. Esti operadores comparten munches propiedaes de los númberos reales y vense dacuando como xeneralizaciones d'ellos.

Un elementu O de L(H) llámase unitariu si O ye inversible y el so inversu vien dau por O^*. Esto puede tamién ser espresáu riquiendo que <Ux, Uy> = <x, y> pa tolos x, y en H. Los operadores unitarios formen un grupu so composición, que puede vese como'l grupu de automorfismos de H.

Operadores ensin acutar

En mecánica cuántica, unu tamién considera operadores lliniales, que non necesariamente son continuos y que non necesariamente tán definíos en tou espaciu H. Unu rique solamente que se definan nun subespacio mestu de H. Ye posible definir a operadores ensin acutar autu-axuntos, y éstos desempeñen el papel de los observables na formulación matemática de la mecánica cuántica.

Exemplos d'operadores ensin acutar autu-axuntos nel espaciu de Hilbert L²(R) son:

• Una estensión conveniente del operador diferencial

${\displaystyle [Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad }$

onde i ye la unidá imaxinaria y f ye una función diferenciable de soporte compactu.

• L'operador de multiplicación por x:

${\displaystyle [Bf](x)=xf(x).\quad }$

éstos correspuenden a los observables de momentu y posición, respeutivamente, espresaos en unidaes atómiques. Repare que nin A nin B definir en tou H, yá que nel casu de A la derivada nun precisa esistir, y nel casu de B la función del productu nun precisa ser cuadráu-integrable. En dambos casos, el conxuntu d'argumentos posibles formen subespacios trupos de L²(R).