Ecuaciones de Navier-Stokes

Les ecuaciones de Navier-Stokes reciben el so nome de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Trátase d'un conxuntu d'ecuaciones en derivaes parciales non lliniales que describen el movimientu d'un fluyíu. Estes ecuaciones gobiernen l'atmósfera terrestre, les corrientes oceániques y el fluxu alredor de vehículos o proyeutiles y, polo xeneral, cualquier fenómenu nel que s'arreyen fluyíos newtonianos.

Estes ecuaciones llógrense aplicando los principios de caltenimientu de la mecánica y la termodinámica a un volume fluyíu. Faciendo esto llógrase la llamada formulación integral de les ecuaciones. Pa llegar a la so formulación diferencial manipóliense aplicando ciertes considerancies, principalmente aquella na que los esfuercios tanxenciales guarden una rellación llinial col gradiente de velocidá (llei de mafa de Newton), llogrando d'esta manera la formulación diferencial que xeneralmente ye más útil pal resolución de los problemes que se plantegen na mecánica de fluyíos.

Como yá se dixo, les ecuaciones de Navier-Stokes son un conxuntu d'ecuaciones en derivaes parciales non lliniales. Nun se dispón d'una solución xeneral pa esti conxuntu d'ecuaciones, y salvo ciertos tipos de fluxu y situaciones bien concretes nun ye posible topar una solución analítica; polo qu'en munches ocasiones ye precisu recurrir al analís numbéricu pa determinar una solución averada. A la caña de la mecánica de fluyíos que s'ocupa del llogru d'estes soluciones por aciu métodos numbéricos denominar dinámica de fluyíos computacional (CFD, de la so acrónimu anglosaxón Computational Fluyíi Dynamics).

Conceutos previos

Derivada sustancial o material

Por cuenta de que xeneralmente adoptamos la descripción euleriana la derivada ordinaria ${\partial \phi }/{\partial t}$ yá nun representa tola variación por unidá de tiempu d'una determinada propiedá del fluyíu (o magnitú fluyida) ${\phi }$ siguiendo a la partícula fluyida. Esto debe al movimientu del fluyíu. Pa reflexar esta variación vamos usar la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluyida). La derivada sustancial o derivada material defínese como l'operador:

${\frac {D}{Dt}}(\star )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla (\star )$

Onde $\mathbf {v}$ ye la velocidá del fluyíu. El primer términu representa la variación de la propiedá nun puntu fixu del espaciu y por ello denominar derivada local, ente que'l segundu representa la variación de la propiedá acomuñáu al cambéu de posición de la partícula fluyida, y denominar derivada convectiva. Este ye'l procedimientu que sigue José Echegaray pa demostrar la derivada material. Vease una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando les coordenaes de Euler como:

$\mathbf {v} =v_{x}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {i} }}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {j} }}+v_{z}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {k} }}$ .

Vamos Calcular l'aceleración pa estes coordenaes:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\frac {dv_{y}}{dt}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\frac {dv_{z}}{dt}}{\hat {\mathbf {k} }}$

Desenvolvemos cada derivada total de cada componente, asina vamos poder siguir un desenvolvimientu fácil de recordar:

${\frac {Dv_{x}}{Dt}}i={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}i+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}i+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}i+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}i$

${\frac {Dv_{y}}{Dt}}j={\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}j+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}j+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}j+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}j$

${\frac {Dv_{z}}{Dt}}k={\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}k+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}k+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}k+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}k$

Si súmase términu a términu y sácase factor común, puede llograse:

${\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial z}}$

${\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+[v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}]\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$

Vemos que la parte de les derivaes parciales espaciales pueden escribise como: $\mathbf {v} \cdot \nabla$

Si agora sustituyimos velocidá por $(\star )$ llogramos formalmente la espresión de la derivada material:

${\frac {D}{Dt}}(\star )={\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\star )$

Teorema del tresporte de Reynolds

Si la derivada sustancial dexa calcular la variación d'una magnitú fluyida amestada a una partícula fluyida, el teorema del tresporte de Reynolds va dexar calcular la variación d'una magnitú fluyida estensiva amestada a un volume fluyíu. Esiste por tanto una analoxía ente dambos conceutos, pos una partícula fluyida nun ye más qu'un volume fluyíu infinitesimal. Na so forma xeneral el teorema del tresporte de Reynolds esprésase como:

${\frac {d}{dt}}\int _{V_{f}(t)}\phi \;d\Omega ={\frac {d}{dt}}\int _{V_{c}(t)}\phi \;d\Omega +\int _{S_{c}(t)}\phi \left(\mathbf {v-v_{c}} \right)\cdot \mathbf {n} \;d\sigma$

onde $\phi$ ye la magnitú fluyida estensiva definida por unidá de volume (una magnitú estensiva por unidá de volume ye una magnitú intensiva), $V_{f}$ ye un volume fluyíu, $V_{c}$ ye un volume de control que coincide con $V_{f}$ nel intre t, $S_{c}$ la superficie de dichu volume de control, $\mathbf {v}$ la velocidá del fluyíu y $\mathbf {v_{c}}$ la velocidá de la superficie de control.

El segundu términu del miembru derechu representa'l fluxu convectivo de la magnitú fluyida estensiva al traviés de la superficie de control que llinda'l volume de control. Defínese'l fluxu convectivo d'una magnitú fluyida estensiva al traviés d'una superficie de control como la cantidá de dicha magnitú que, tresportada pol fluyíu, traviesa la superficie de control na unidá de tiempu.

Espresáu en términos coloquiales puede dicise que'l teorema del tresporte de Reynolds vien dicir que la variación d'una propiedá estensiva nun volume fluyíu, ye igual a la variación de dicha propiedá nel interior d'esi volume más la cantidá de dicha propiedá que traviesa la superficie del volume.

Teorema de la diverxencia

El teorema de la diverxencia (o teorema de Gauss) dexa, so ciertes hipótesis, tresformar integrales de superficie n'integrales de volume ( y viceversa). Nel casu particular de tres dimensiones podemos espresalo como:

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F\cdot n} \;dS$

Les ecuaciones de Navier-Stokes

Esta espresión representa'l principiu de caltenimientu del momentu llinial aplicada a un fluyíu xeneral:

\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho F_{i}-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[2\mu \left(y_{ij}-\Delta \delta _{ij}/3\right)\right]

.

La llei de caltenimientu de la masa escríbese:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho o_{i}}{\partial x_{i}}}=0

Nestes ecuaciones ρ representa la densidá, o_i (i = 1,2,3) les componentes cartesianes de la velocidá, F_i el campu d'aceleraciones creáu poles fuercies aplicaes sobre'l cuerpu, como la gravedá, P la presión del fluyíu, y μ la mafa dinámica.

y_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial o_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial o_{j}}{\partial x_{i}}}\right)

onde Δ = y_ii ye la diverxencia del fluyíu y δij la delta de Kronecker. D / Dt ye la derivada total o derivada material envernada siguiendo'l fluyíu:

{\frac {D}{Dt}}(\cdot )\equiv {\frac {\partial (\cdot )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\cdot )

La non linealidad de les ecuaciones débese precisamente al términu rellacionáu cola derivada total. Cuando μ ye uniforme sobremanera'l fluyíu les ecuaciones de fluyíu simplificar de la manera siguiente:

$\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho F_{i}-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}o_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}o_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)$

O en forma vectorial:

$\rho {\frac {D\mathbf {o} }{Dt}}=\rho \mathbf {k} -{\boldsymbol {\nabla }}P+\mu \left({\frac {1}{3}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {o} )+{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {o} \right)$

Casos particulares

Para fluyíos de mafa nula, ye dicir cuando μ = 0, les ecuaciones resultantes denominar ecuaciones de Euler que s'utilicen nel estudiu de fluyíos compresibles y n'ondes de choque:

${\partial \mathbf {v} \over \partial t}+(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})(\mathbf {v} )+{1 \over \rho }{\boldsymbol {\nabla }}P=\mathbf {g}$

Per otra parte si considérase un fluyíu mafosu pero incompresible, entós puede ser considerada constante (como nun líquidu) y les ecuaciones resulten ser:

\rho \left({\partial v_{x} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{x} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{x} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{x} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial x}+\rho g_{x}

\rho \left({\partial v_{y} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{y} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{y} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{y} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial y}+\rho g_{y}

\rho \left({\partial v_{z} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{z} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{z} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{z} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial z}+\rho g_{z}

y l'ecuación de continuidá adquier la forma siguiente:

{\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=0

Ver tamién

Númberu de Reynolds
Númberu de Mach
Ecuaciones de Saint-Venant en 1D

Referencies

Bibliografía

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Batchelor, G. K., An Introduction to Fluyíi Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
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Currie, I. G., Fundamental Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, ISBN 0-07-015000-1
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Enllaces esternos

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Weisstein, Eric W. «Navier-Stokes Equations» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

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