Importancia

Isaac Newton dábase cuenta de la importancia que teníen les ecuaciones diferenciales pal analís de los fenómenos de la naturaleza. Nos sos renombraos "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiecen cola ecuación diferencial del movimientu. Esta ecuación considérase como axoma, ente que los planteamientos posteriores de la mecánica son, ello ye que teoremas que se deriven de dichu axoma, lo mesmo que de la llei de gravitación universal que s'esgaza de los fechos esperimentales (lleis de Kepler) y del mentáu axoma:^[2]

${\displaystyle m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=F}$

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantegase, siendo F una rellación o función, como

(1a)

${\displaystyle \ F(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)})=0}$

... pa representar la EDO en que la función incógnita (tamién conocida como variable dependiente), ser d'una única variable independente.

Polo xeneral, una ecuación diferencial llinial d'orde n puede formulase, siendo cada ${\displaystyle a_{i}}$ una función dependiente de t, como:

(1b)

${\displaystyle \ a_{n}(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)}$

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) va ser una "familia" de curves o funciones del tipu ${\displaystyle y=f(t)\,}$ que substituida dientro de la ecuación convertir nuna igualdá na que tolos términos son conocíos.

Na formulación más simple, la función incógnita ye una función pa ciertu valor real o complexu pero con mayor xeneralidá, pue selo pal valor d'un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema d'ecuaciones diferenciales ordinaries (EDO) pa una única función.

Ecuación diferencial ordinaria

Sía ${\displaystyle y=f(x)}$, tal que ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle y^{(n)}}$ la n-ésima derivada de y, entós una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orde n tien siguiente forma:

Plantía:Caxa d'ecuación

Para funciones vectoriales, :${\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$, la ecuación Plantía:NotaEcuación ye llamada un sistema d'ecuaciones lliniales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial d'orde n tien la forma :${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}\right)=0}$ ye llamada una ecuación diferencial implícita, ente que na forma :${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$ ye llamada una ecuación diferencial esplícita.

Una ecuación diferencial que nun depende de x ye denomada autónoma.

Dizse qu'una ecuación diferencial ye llinial si F puede ser escrita como una combinación llinial de les derivaes de y

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

siendo, tanto a_i(x) como r(x) funciones continues de x. La función r(x) ye llamada'l término fuente (traducíu del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial llinial ye llamada homoxénea, de lo contrario ye llamada non homoxénea.

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

${\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0,}$

una función o: I ⊂ R → R ye llamada la solución, y la so gráfica llámase curva integral de F,^[3] si o ye n vegaes derivable en I, y

${\displaystyle F(x,o,o',\ \dots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Daes dos soluciones o: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, o ye llamada una estensión de v si I ⊂ J, y :${\displaystyle o(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Una solución que nun tien estensión ye llamada una solución xeneral.^{[ensin referencies]}

Una solución xeneral d'una ecuación d'orde n ye una solución que contién n variables arbitraries, correspondientes a n constante d'integración constantes d'integración. Una solución particular ye derivada de la solución xeneral por aciu la fixación de valores particulares pa les constantes, de cutiu escoyíes pa cumplir condiciones iniciales. Una solución singular ye la que nun puede derivase de la xeneral.

Solución d'una EDO de primer orde Si considérase una ecuación

diferencial de la forma:

${\displaystyle y'=f(x,y}$)

una ecuación de primer orde resuelta con al respective de la derivada, llámase la so solución xeneral de l'anterior ecuación diferencial, va ser una función del tipu:

${\displaystyle y=\varphi (x,C)}$

que depende d'una constante arbitraria C. Satisfai ecuación diferencial pa cualquier valor de la constante C. Amás sía'l que quier la condición inicial

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

siempres puede asignase un valor C₀ a la constante C, tal que la función y = φ(x, C₀) satisfaiga la condición inicial dada. Presumir que'l puntu (x₀, y₀) ta nun intervalu onde se cumplen les condiciones d'esistencia y d'unicidá de la solución.^[4] Les soluciones pueden atopase con auxiliu de tresformamientos idénticos y de cambeos de variables.^[5]

Condiciones iniciales

Polo xeneral si nun s'especifiquen ciertos valores iniciales o de contorna, que tien de satisfaer la solución d'una ecuación diferencial como (1) entós nun va esistir una solución [particular] única, esto ye, una única función que satisfaiga la ecuación diferencial. Pa una ecuación diferencial llinial d'orde n por casu ríquense n condiciones iniciales o de contorna, por qu'esista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación estrema y les condiciones de contorna. Si namái s'especifiquen condiciones iniciales el problema d'atopar una función que satisfaiga la ecuación diferencial y les condiciones iniciales denominar problema de Cauchy. Si especifiquen condiciones que nun son namái condiciones de contorna pueden tenese problemes distintos como los problemes de Sturm-Liuville.

Esistencia y unicidá de soluciones

El teorema de Peano-Picard garantiza la esistencia d'una solución y la so unicidá pa toa ecuación diferencial ordinaria llinial con coeficientes continuos nun intervalu tien solución única en dichu intervalu. Pal casu d'ecuaciones diferenciales non lliniales nun esisten resultaos análogues al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la esistencia por aciu una demostración constructiva, pa un sistema d'ecuaciones diferenciales lliniales de primer orde. Puesto que toa ecuación diferencial llinial d'orde arbitrariu puede amenorgase a un sistema d'ecuaciones diferenciales de primer orde, siguir del teorema de Peano-Picard la esistencia y unicidá de la solución. La idea del teorema ye simple constrúi una socesión de Cauchy funciones que la so llende ye precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidá per otra parte resulta trivial.

Soluciones analítiques

Esisten métodos de resolución xenerales pa ecuaciones diferenciales ordinaries lliniales que dexen atopar soluciones analítiques. En particular si los coeficientes de la ecuación llinial son constantes o periódicos la solución ye cuasi siempres bono de construyir. Pa coeficientes non constantes o non periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent ye aplicable con ciertes restricciones el métodu de Frobenius. Otra posibilidá ye amenorgar una ecuación diferencial llinial d'orde n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lliniales de primer orde.

Pa les ecuaciones diferenciales ordinaries non lliniales nun esisten métodos xenerales.

Soluciones numbériques

Dalgunos de los métodos de solución numbérica d'ecuaciones diferenciales son el métodu de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Ecuación de variables xebrables

Son EDOs de la forma:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}$

Estes puédense espresar na forma:

${\displaystyle \ g(y)dy=h(t)dt}$

Onde se procede integrando dambos miembros de la ecuación

${\displaystyle \int g(y)dy=\int h(t)dt}$

De l'anterior ye posible llograr la solución xeneral. va suponese que les funciones g y h son continues.^[5]

Ecuación exacta

Una ecuación de la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}$

dizse exacta si esiste una función F que cumpla:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=M}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=N.}$

La so solución ye entós:

${\displaystyle F(x,y)=C.\,}$

EDO de primer orde y homoxénea

La ecuación diferencial ordinaria de primer orde:

${\displaystyle y'=f(x,y),\qquad {\mbox{con}}\ f(tx,ty)=tf(x,y),\forall t\neq 0}$

Pa resolver úsase la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sicasí, la pallabra 'homoxénea' asume otru significáu, dientro del estudiu de les EDOs, fora d'esti contestu.

Ecuación llinial

Una ecuación diferencial ye llinial si presenta la forma:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\,}$

Y que tienen por solución:

${\displaystyle y(x)=y^{-\int P(x)dx}\left(C+\int Q(x)y^{\int P(x)dx}dx\right)}$

Como puede apreciase, esta ecuación ye una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que ye de la mesma una xeneralización de la ecuación diferencial llinial, foi formulada por Jakob Bernoulli y resuelta pol so hermanu, Johann Bernoulli y presenta la forma:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

Na cual, si fai la sustitución ${\displaystyle z=y^{1-n}}$, la ecuación tresformar nuna ecuación llinial con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

${\displaystyle y'(x)+P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)=0\,}$

Pa resolvela, tien de faese la sustitución ${\displaystyle y=y_{p}+{\frac {1}{z}}}$, onde ${\displaystyle y_{p}}$ ye una solución particular cualesquier de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange ^{[ensin referencies]} presenta la forma:

${\displaystyle y=g(y')x+f(y')\,}$

Resolviéndose cola sustitución ${\displaystyle y'=p}$, estremando y sustituyendo dy por pdx, convertir a otra considerada en x como función de p, ye llinial. Resolviendo ta última ${\displaystyle x=s(p,C)}$, tópase la solución xeneral de la ecuación inicial en forma paramétrica:

1. ${\displaystyle x=s(p,C)}$
2. ${\displaystyle y=s(p,C)g(p)+f(p)}$ onde p ye un parámetru.

Amás la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma ${\displaystyle y=xg(c)+f(c)}$, siendo c un raigañu de la ecuación ${\displaystyle c=g(c)}$.^[7]

Ecuación de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada asina n'honor a Alexis-Claude Clairaut, tien la forma:

${\displaystyle y=xy'+f(y')\,}$

Como puede apreciase, esta ecuación ye una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con ${\displaystyle g(y')=y'}$, polo cual, el so resolución ye análoga a l'anterior.

Ecuación de Jacobi

Ecuación llinial con coeficientes constantes

La ecuación diferencial de segundu orde con coeficientes constantes tien la forma:

${\displaystyle a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)}$

La resolución d'esta ecuación depende de les raigaños del polinomiu característicu:

${\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\,}$

En función de cómo sían los raigaños de dichu polinomiu estremen trés casos posibles y distintos:

• Caso 1: dos raíz reales y distintes ${\displaystyle (\lambda _{1}\neq \lambda _{2})\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+C_{2}y^{\lambda _{2}x}+{\frac {y^{\lambda _{1}x}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{1}o}f(o)du+{\frac {y^{\lambda _{2}x}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{2}o}f(o)du}$

• Caso 2: dos raíz reales ya iguales ${\displaystyle (\lambda _{1}=\lambda _{2})\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+C_{2}xe^{\lambda _{1}x}+xe^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{1}o}f(o)du-y^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-\lambda _{2}o}f(o)du}$

• Caso 3: dos raíz complexes conxugaes ${\displaystyle (\lambda _{1}=p+qi,\lambda _{2}=p-qi)\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=y^{px}(C_{1}\cos qx+C_{2}\sin qx)+{\frac {y^{px}\sin qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-pu}f(o)\cos qu\ du-{\frac {y^{px}\cos qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-pu}f(o)\sin qu\ du}$

L'últimu términu d'esta última ecuación ta rellacionáu cola integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy

Esta ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=g(x)}$

Y puede resolvese por aciu el cambéu de variable ${\displaystyle x=y^{t}\,}$ que tresforma la ecuación anterior nuna ecuación de coeficientes constantes resoluble polos métodos de la seición anterior:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\bar {y}}}{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d{\bar {y}}}{dt}}+b{\bar {y}}=g(y^{t}),\qquad {\bar {y}}(t)=y(y^{t})}$

Ecuaciones de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0}$

Esta ecuación ye resoluble por aciu les llamaes funciones de Bessel:

${\displaystyle y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)\,}$

Amás d'esta ecuación esiste otra ecuación resoluble por aciu funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(\alpha x^{2r}+\beta ^{2})y=0}$

Que la so solución vien dada por:

${\displaystyle y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}}$

Ecuación de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes esfériques. La ecuación tien la forma:

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+n(n+1)y=0}$

Cuando n ye un enteru una de los dos soluciones independientes que conformen la solución xeneral de la ecuación anterior ye'l polinomiu de Legendre de grau n:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}}$

Les solución xeneral puede espresase na forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}O_{n}(x)+C_{2}V_{n}(x)\,}$, o bien, ${\displaystyle =y(x)={\bar {C}}_{1}P_{n}(x)+{\bar {C}}_{2}Q_{n}(x)}$

Onde:

${\displaystyle {\begin{cases}O_{n}(x)=1-{\cfrac {n(n+1)}{2!}}x^{2}+{\cfrac {n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}}x^{4}-\ldots \\V_{n}(x)=x-{\cfrac {(n-1)(n+2)}{3!}}x^{3}+{\cfrac {(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}}x^{5}-\ldots \end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}(x)={\begin{cases}O_{n}(x)/O_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\V_{n}(x)/V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}$, y ${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}V_{n}(x)O_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\-O_{n}(x)V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}$

Ecuación llinial d'orde n con coeficientes constantes

La ecuación diferencial llinial d'orde n con coeficientes constantes ye de la siguiente forma:

${\displaystyle \ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}y'+a_{0}y=g(t)}$

Onde los términos ${\displaystyle a_{i}\,}$ representen constantes ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} }$ Nel casu homoxéneu cuando'l segundu miembru ye hermano nulu, les soluciones d'esta ecuación pueden llograse a partir del raigaños del polinomiu característicu de la ecuación:

${\displaystyle \ a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

Nel casu de que toes los raigaños sían distintos la solución vien dada por:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+\ldots +C_{n}y^{\lambda _{n}x}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}y^{\lambda _{i}x}}$

Nel casu de qu'esistan dellos raigaños múltiples, esistiendo namái k raigaños distintos y siendo ${\displaystyle m_{i}}$ la multiplicidá del raigañu i-ésima, la solución xeneral ye de la forma:

${\displaystyle y(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(C_{i,0}+C_{i,1}x+\ldots +C_{i,m_{i}-1}x^{m_{i}-1}\right)y^{\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=0}^{m_{i}-1}C_{i,j}x^{j}\right)y^{\lambda _{i}x},\quad k\leq n,\ \sum _{j=1}^{k}m_{j}=n}$

Les multiplicidaes de cada raigañu son l'esponente de la siguiente descomposición:

${\displaystyle a_{n}(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\ldots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

Bibliografía