Ecuación de segundu grau

Una ecuación de segundu grau^[1]^[2] o ecuación cuadrática d'una variable ye una ecuación que tien la forma d'una suma alxebraica de términos que'l so grau máximu ye dos, esto ye, una ecuación cuadrática pue ser representada por un polinomiu de segundu grau o polinomiu cuadrático. La espresión canónica xeneral d'una ecuación cuadrática d'una variable ye:

$ax^{2}+bx+c=0,\;\;{\mbox{onde}}\;a\neq 0$

onde x ye la variable, y a, b y c constantes; a ye'l coeficiente cuadrático (distintu de 0), b el coeficiente llinial y c ye'l términu independiente. Esti polinomiu puede interpretase por aciu la Gráfica d'una función gráfica d'una función cuadrática, esto ye, por una parábola. Esta representación gráfica ye útil, porque les interseiciones o puntu tanxencial d'esta gráfica, nel casu d'esistir, col exa X coinciden coles soluciones reales de la ecuación.

Historia

Les ecuaciones de segundu grau y el so solución de les ecuaciones conocer dende l'antigüedá. En Babilonia conociéronse algoritmos pa resolvela. Foi atopáu independientemente n'otros llugares del mundu. En Grecia, el matemáticu Diofanto d'Alexandría apurrió un procedimientu pa resolver esti tipu d'ecuaciones (anque'l so métodu namái apurría una de les soluciones, inclusive nel casu de que los dos soluciones sían positives). La primer solución completa desenvolver el matemáticu Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otres grafíes), nel sieglu IX nel so trabayu Compendiu de cálculu por reintegración y comparanza, cerrando con ello un problema que s'escorriera mientres sieglos. Basándose nel trabayu d'Al-Juarismi, el matemáticu xudeoespañol Abraham bar Hiyya, nel so Liber embadorum, alderica la solución d'estes ecuaciones.^{[ensin referencies]} Hai qu'esperar a Évariste Galois pa consiguir resolver polo xeneral les ecuaciones polinómiques, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que vien ser una xeneralización de los métodos de resolución de les ecuaciones de segundu grau.

La primera gran dificultá pudo surdir na solución d'ecuaciones cuadráticas dar cola ecuación $x^{2}-2=0$ na dómina de los pitagóricos, al calcular el llargor de la diagonal d'un cuadráu de llau 1 una y bones non podía espresase la raíz cuadrada de dos como razón de dos númberos enteros.^[3]

Na Renacencia al resolver $x^{2}+1=0$ que rique topar un númberu real que'l so cuadráu seya -1, superar cola adopción de númberos imaxinarios y la definición de la unidá imaxinaria i que cumple $i^{2}=-1$ .^[4]^[5]

Ecuación completa de segundu grau

Pa una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complexos esisten siempres dos soluciones, non necesariamente distintes, llamaes raices, que pueden ser reales o complexes (si los coeficientes son reales y esisten dos soluciones non reales, entós tienen de ser complexes conxugaes). Fórmula xeneral pal llogru de raigaños:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Usar pa indicar los dos soluciones:

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

y

\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Deducción de la solución
La deducción de la fórmula cuadrática provién de la fórmula de completar el cuadráu: La ecuación canónica de segundu grau puede simplificase estremando pol coeficiente principal, de forma que $ax^{2}+bx+c=0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ Pa simplificar la demostración, asumir que $m={\frac {b}{a}}$ y $n={\frac {c}{a}}$ : Dende la ecuación $x^{2}+mx+n=0\,$ Pasando'l términu $n$ a la derecha: $x^{2}+mx=-n\,$ Sumando ${\frac {m^{2}}{4}}$ a entrambos llaos de la ecuación pa completar cuadraos: $x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}={\frac {m^{2}}{4}}-n$ Simplificamos el primer miembru a un binomiu cuadráu :: $\left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}-n$ Estrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros $x+{\frac {m}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$ Aisllando $x\,$ y simplificando la fracción de la raíz :: $x=-{\frac {m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}$ Simplificando a común denominador $x={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}$ si desfaemos el cambéu de variables, llogramos la resultancia :: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ La demostración ensin cambéu de variables puede vese equí: Partimos de la nuesa ecuación simplificada: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ Pasamos al otru términu ${\frac {c}{a}}$ : $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$ Sumamos ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ pa llograr un binomiu desenvueltu: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$ El trinomiu a la izquierda ye un cuadráu perfectu; simplificando a común denominador el segundu miembru: $\,\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ Estrayendo les 2 posibles raigaños cuadraos, llogramos: $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ Moviendo ${\frac {b}{2a}}$ y aplicando la raíz al denominador: $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ Simplificando a común denominador: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Discriminante

Exemplu del signu del discriminante:
■ $\Delta <0$ : dos raices complexes conxugaes.
■ $\Delta =0$ : una raíz real, pero de (multiplicidá 2).
■ $\Delta >0$ : dos raices reales distintes. Na fórmula anterior, la espresión dientro de la raíz cuadrada recibe'l nome de discriminante de la ecuación cuadrática. Suel representase cola lletra D o bien cola lletra griega Δ (delta) en mayúscula:

\Delta =b^{2}-4ac.\,

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tien o bien dos soluciones reales distintes o una sola solución real de multiplicidá 2, o bien dos raíz complexes. El discriminante determina la índole y la cantidá de raigaños.

Si $\Delta >0$ hai dos soluciones reales y distintos (la parábola crucia dos veces la exa de les ascises: X):

{\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}

.

Si $\Delta =0$ hai una solución real doble (la parábola solo toca nun puntu a la exa de les ascises: X):

-{\frac {b}{2a}}.\,\!

Si $\Delta <0$ hai dos soluciones complexes conxugaes (la parábola nun corta a la exa de les ascises: X):

{\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},

onde i ye la unidá imaxinaria.

Forma amenorgada de la ecuación completa

Cuando'l términu principal ye 1 la espresión queda como $x^{2}+px+q=0$ que les sos raigaños son:

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

Ecuaciones incompletes

Ensin términu independiente

Son de la forma:

$ax^{2}+bx=0$ , que les sos raigaños son $x_{1}=0;x_{2}={\frac {-b}{a}}$

Ensin términu llinial

Son de la forma $ax^{2}+c=0$ , que les sos raigaños son reales opuestos o imaxinarios puros opuestos.

Si ${\frac {-c}{a}}>0$ los raigaños son reales: $x_{1}={\sqrt {\frac {-c}{a}}}$ o $x_{2}=-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}$

Si ${\frac {-c}{a}}<0$ los raigaños son imaxinaries pures: $x_{1}=i{\sqrt {\frac {c}{a}}}$ o $x_{2}=-i{\sqrt {\frac {c}{a}}}$

Solo'l términu de segundu grau

$ax^{2}=0$ que la so raíz doble ye igual a 0

Completa con coeficiente llinial par

Nesti casu apaez como coeficiente del términu de primer grau un númberu par 2m y l'ecuación ye

$ax^{2}+2mx+n=0$

, siendo los raigaños

$x_{1,2}={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-an}}}{a}}$

Completa amenorgada con coeficiente llinial par

Nesti casu'l coeficiente principal ye 1; el coeficiente llinial ye par y asume formar

$x^{2}+2mx+n=0$

que les sos raigaños son

$x_{1,2}=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}$

Ecuación bicuadrada

Éstes son un casu particular de la ecuación de cuartu grau. Fálten-yos los términos a la tercera y a la primer potencia. La so forma polinómica ye:

ax^{4}+{bx^{2}}^{}+c=0

Pa resolver estes ecuaciones tan solo hai que faer el cambéu de variable ${x^{2}}^{}=o$
Colo que nos queda: ${au^{2}}^{}+bu+c=0$ La resultancia resulta ser una ecuación de segundu grau que podemos resolver usando la fórmula:

o_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad o_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Al desfaer el cambéu de variable apaecen los cuatro soluciones:

x_{1}=+{\sqrt {o_{1}}}

x_{2}=-{\sqrt {o_{1}}}

x_{3}=+{\sqrt {o_{2}}}

x_{4}=-{\sqrt {o_{2}}}

Ecuación bicuadrada simétrica

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:^[6]

$\alpha x^{4}+\beta x^{2}+\alpha =0$

Teorema de Cardano-Vieta

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raigaños $x_{1},x_{2}\,$ , podemos construyir el binomiu a partir d'estes con:

(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\,

x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0\,

ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=0\,

ax^{2}+bx+c=0\,

De lo que se deduz:

Suma de raigaños

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$
Demostración a partir de Cardano Vieta Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau : $-a(x_{1}+x_{2})x=bx\,$ Esténase la suma y estrémase por x $(x_{1}+x_{2})=-{\frac {b}{a}}\,$

Productu de raigaños

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,$
Demostración a partir de Cardano Vieta Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau : $ax_{1}x_{2}=c\,$ Esténase'l productu de raigaños: $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Observación:

$(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}=4(x_{1}\cdot x_{2})\,$
Desenvolviendo los binomios: $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\,$ Onde finalmente queda: $4x_{1}x_{2}\,$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={b^{2}-2ac \over a^{2}}$

Rellación ente la fórmula xeneral y la proporción áurea

solo na solución positiva si na fórmula xeneral el valor de les variables ye'l siguiente o se presenta'l siguiente casu en que

$a=1,b=-1,c=b$

entós la fórmula xeneral va dar como resultáu'l númberu áureo

${\frac {-(-1)+{\sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$

Ver tamién

Completar el cuadráu
Función cuadrática
Ecuación de tercer grau
Ecuación de cuartu grau
Ecuación de quintu grau

Referencies

↑ Plantía:Springer
↑ Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
↑ Hoffmann. Historia de la matemática
↑ Birkhoff- Mac Lane. Álxebra moderna
↑ Otto Bekken. Una curtia hestoria de la álxebra
↑ Tsipkin, A.G. (1985). Manual de matemátiques pa la enseñanza media. Mir.

Enllaces esternos

Wikillibros tien un llibru o manual sobre Ecuación cuadrática.
Ecuaciones de segundu grau y bicuadradas. Exercicios de matemátiques.
Ecuaciones cuadráticas. Esfruta les matemátiques, Pierce, Rod.
La ecuación de segundu grau, en refugues.cnice.mec.es
Videu esplicativu de la ecuación cuadrática
Calculadora Ecuación de segundu grau

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[1] Plantía:Springer

[2] Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

[3] Hoffmann. Historia de la matemática

[4] Birkhoff- Mac Lane. Álxebra moderna

[5] Otto Bekken. Una curtia hestoria de la álxebra

[6] Tsipkin, A.G. (1985). Manual de matemátiques pa la enseñanza media. Mir.

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