Distribución normal
La llinia verde correspuende a la distribución normal estándar Función de densidá de probabilidá
Función de distribución de probabilidá
Parámetros	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} \,\!}$ ${\displaystyle \sigma >0\,\!}$
Función de densidá (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;y^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Media	${\displaystyle \mu \,\!}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,\!}$
Moda	${\displaystyle \mu \,\!}$
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}\,\!}$
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,y}}\right)\,\!}$
Función xeneradora de momentos (mgf)	${\displaystyle M_{X}(t)=y^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle \chi _{X}(t)=y^{\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$
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En estadística y probabilidad llámase distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, a una de les distribuciones de probabilidá de variable continua que con más frecuencia apaez estadística y teoría de probabilidá.^[1]

La gráfica de la so función de densidá tien una forma acampanada y ye simétrica respectu d'un determináu parámetru estadísticu. Esta curva conozse como campana de Gauss y ye el gráficu d'una función gaussiana.^[2]

La importancia d'esta distribución anicia en que dexa modelar numberosos fenómenos naturales, sociales y psicolóxicos.^[3]Ente que los mecanismos que subyacen a gran parte d'esti tipu de fenómenos son desconocíos, pola enorme cantidá de variables incontrolables que nellos intervienen, l'usu del modelu normal puede xustificase asumiendo que cada observación llógrase como la suma d'unes poques causes independientes.

Ello ye que la estadística descriptiva namái dexa describir un fenómenu, ensin esplicación dalguna. Pa la esplicación causal ye precisu'l diseñu esperimental, d'ende que al usu de la estadística en psicoloxía y socioloxía seya conocíu como métodu correlacional.

La distribución normal tamién ye importante pola so rellación cola estimación por mínimos cuadraos, unu de los métodos d'estimación más simples y antiguos.

Dellos exemplos de variables acomuñaes a fenómenos naturales que siguen el modelu de la normal son:

• calteres morfolóxicos d'individuos como la estatura;
• calteres fisiolóxicos como l'efeutu d'un fármacu;
• calteres sociolóxicos como'l consumu de ciertu productu por un mesmu grupu d'individuos;
• calteres psicolóxicos como'l cociente intelectual;
• nivel de ruiu en telecomunicaciones;
• errores cometíos al midir ciertes magnitúes;
• etc.

La distribución normal tamién apaez en munches árees de la mesma estadística. Por casu, la distribución muestral de les medies muestrales ye aproximao normal, cuando la distribución de la población de la cual estrayer la muestra nun ye normal.^[4] Amás, la distribución normal maximiza la entropía ente toles distribuciones con media y varianza conocíes, lo cual convertir na eleición natural de la distribución subxacente a una llista de datos resumíos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal ye la más estendida n'estadística y munchos tests estadísticos tán basaos nuna "normalidá" más o menos xustificada de la variable aleatoria so estudiu.

En probabilidá, la distribución normal apaez como la llende de delles distribuciones de probabilidá continues y discretes.

Historia

Abraham de Moivre, primero n'afayar la distribución normal

La distribución normal foi presentada per primer vegada por Abraham de Moivre nun artículu del añu 1733,^[5] que foi reimpreso na segunda edición de la so The Doctrine of Chances, de 1738, nel contestu de ciertu aproximamientu de la distribución binomial para grandes valores de n. La so resultancia foi ampliáu por Laplace nel so llibru Teoría analítica de les probabilidaes (1812), y na actualidá llámase Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace usó la distribución normal nel analís d'errores d'esperimentos. L'importante métodu de mínimos cuadraos foi introducíu por Legendre en 1805. Gauss, qu'afirmaba usar el métodu dende 1794, xustificar rigorosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nome de Gauss acomuñóse a esta distribución porque la usó con mapa cuando analizaba datos astronómicos^[6] y dellos autores atribúyen-y un descubrimientu independiente del de De Moivre.^[7]Esta atribución del nome de la distribución a una persona distinta del so primer descubridor ye un claru exemplu de la llei de Stigler.

El nome de "campana" vien d'Esprit Jouffret qu'usó'l términu "bell surface" (superficie campana) per primer vegada en 1872 pa una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nome de "distribución normal" foi dau independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis escontra 1875.^{[ensin referencies]} A pesar d'esta terminoloxía, otres distribuciones de probabilidá podríen ser más apropiaes en determinaos contestos; vease'l discutiniu sobre incidencia, más embaxo.

Definición formal

La función de distribución de la distribución normal ta definida como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(o)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}y^{-{\frac {(o-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} \\\end{aligned}}}$

Poro, la función de distribución de la normal estándar ye:

${\displaystyle \Phi (x)=\Phi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}y^{-{\frac {o^{2}}{2}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

Esta función de distribución puede espresase en términos d'una función especial llamada función error de la siguiente forma:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} ,}$.

y la mesma función de distribución puede, poro, espresase asina:

${\displaystyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} .}$

El complementu de la función de distribución de la normal estándar, ${\displaystyle 1-\Phi (x)}$, se denota con frecuencia ${\displaystyle Q(x)}$, y ye referida, dacuando, como a cencielles función Q, especialmente en testos d'inxeniería.^[8][9] Esto representa la cola de probabilidá de la distribución gaussiana. Tamién s'usen dacuando otres definiciones de la función Q, que son toes elles tresformamientos simples de ${\displaystyle \Phi }$.^[10]

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede espresase en términos de la inversa de la función d'error:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1),}$.

y l'inversa de la función de distribución puede, poro, espresase como:

${\displaystyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

Esta función cuantil llámase dacuando la función probit. Nun hai una primitiva elemental pa la función probit. Esto nun quier dicir puramente que nun se conoz, sinón que se probó la inesistencia de tal función. Esisten dellos métodos exactos p'averar la función cuantil por aciu la distribución normal (vease función cuantil).

Los valores Φ(x) pueden averase con muncha precisión por distintos métodos, tales como integración numbérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continues.

Propiedaes

Delles propiedaes de la distribución normal son les siguientes:

1. Ye simétrica respectu de la so media, ${\displaystyle \mu }$;
   

   Distribución de probabilidá alredor de la media nuna distribución N(μ, σ²).
2. La moda y la mediana son dambes iguales a la media, ${\displaystyle \mu }$;
3. Los punto d'inflexón de la curva dar pa ${\displaystyle x=\mu -\sigma }$ y ${\displaystyle x=\mu +\sigma }$.
4. Distribución de probabilidá nuna redolada de la media:
   1. nel intervalu ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$atópase entendida, aproximao, el 68,26% de la distribución;
   2. nel intervalu ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$ atópase, aproximao, el 95,44% de la distribución;
   3. pela so parte, nel intervalu ${\displaystyle [\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]}$ atópase entendida, aproximao, el 99,74% de la distribución. Estes propiedaes son de gran utilidá pal establecimientu d'intervalo d'enfotu. Per otra parte, el fechu de que práuticamente la totalidá de la distribución atopar a tres desviación típiques de la media xustifica les llendes de les tables emplegaes davezu na normal estándar.
5. Si ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ y ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, entós ${\displaystyle aX+b\sim N(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}$.
6. Si ${\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$ y ${\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$ son variables aleatories normales independientes, entós:
   • La so suma ta de normal distribuyida con ${\displaystyle O=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$ (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatories independientes tienen una suma de normal distribuyida, tienen de ser normales (Teorema de Crámer).
   • La so diferencia ta de normal distribuyida con ${\displaystyle V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$.
   • Si les varianzas de X y Y son iguales, entós O y V son independientes ente sigo.
   • La diverxencia de Kullback-Leibler, ${\displaystyle D{\rm {KL}}(X\|Y)={1 \over 2}\left(\log \left({\sigma _{Y}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}\right)+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}+{\frac {\left(\mu _{Y}-\mu _{X}\right)^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-1\right).}$
7. Si ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma _{X}^{2})}$ y ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma _{Y}^{2})}$ son variables aleatories independientes de normal distribuyíes, entós:
   • El so productu ${\displaystyle XY}$ sigue una distribución con densidá ${\displaystyle p\,}$ dada por

     ${\displaystyle p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),}$ onde ${\displaystyle K_{0}\,}$ ye una función de Bessel modificada de segundu tipu.

   • El so cociente sigue una distribución de Cauchy con ${\displaystyle X/Y\sim \mathrm {Cauchy} (0,\sigma _{X}/\sigma _{Y})\,}$. D'esta miente la distribución de Cauchy ye un tipu especial de distribución cociente.
8. Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ son variables normales estándar independientes, entós ${\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}}$ sigue una distribución χ² con n graos de llibertá.
9. Si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ son variables normales estándar independientes, entós la media muestral ${\displaystyle {\bar {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$ y la varianza muestral ${\displaystyle S^{2}=((X_{1}-{\bar {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\bar {X}})^{2})/(n-1)}$ son independientes. Esta propiedá caracteriza a les distribuciones normales y contribúi a esplicar por qué'l test-F nun ye robezu al respective de la non-normalidá).

Momentos

Los primeres momentos de la distribución normal son:

Númberu	Momentu	Momentu central	Cumulante
0	1	1
1	${\displaystyle \mu }$	0	${\displaystyle \mu }$
2	${\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	0	0
4	${\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\displaystyle 3\sigma ^{4}}$	0
5	${\displaystyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	0	0
6	${\displaystyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\displaystyle 15\sigma ^{6}}$	0
7	${\displaystyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	0	0
8	${\displaystyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\displaystyle 105\sigma ^{8}}$	0

Tolos cumulantes de la distribución normal, más allá del segundu, son cero.

Los momentos centrales d'orde cimeru (2k con μ = 0) vienen daos pola fórmula

${\displaystyle Y\left[X^{2k}\right]={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}.}$

El Teorema de la Llende Central

Artículu principal: Teorema de la llende central

Gráfica de la función de distribución d'una normal con μ = 12 y σ = 3, averando la función de distribución d'una binomial con n = 48 y p = 1/4.

El Teorema de la llende central establez que so ciertes condiciones (como pueden ser independientes y hermano distribuyíes con varianza finita), la suma d'un gran númberu de variables aleatories distribúyese aproximao como una normal.

La importancia práutica del Teorema de la llende central ye que la función de distribución de la normal puede usase como aproximamientu de delles otres funciones de distribución. Por casu:

• Una distribución binomial de parámetros n y p ye aproximao normal pa grandes valores de n, y p non demasiáu cercanu a 0 o a 1 (dellos llibros encamienten usar esti aproximamientu namái si np y n(1 − p) son dambos, siquier, 5; nesti casu tendría d'aplicase una correición de continuidá).
  La normal averada tien parámetros μ = np, σ² = np(1 − p).

• Una distribución de Poisson con parámetru λ ye aproximao normal pa grandes valores de λ.
  La distribución normal averada tien parámetros μ = σ² = λ.

La exactitú d'estos aproximamientos depende del propósitu pal que se precisen y de la tasa de converxencia a la distribución normal. Dase'l casu típicu de que tales aproximamientos son menos precises nes coles de la distribución. El Teorema de Berry-Esséen apurre una llende cimera xeneral del error d'aproximamientu de la función de distribución.

Esviación típica ya intervalos d'enfotu

Alredor del 68% de los valores d'una distribución normal tán a una distancia σ < 1 (esviación típica) de la media, μ; alredor del 95% de los valores tán a dos desviación típiques de la media y alredor del 99,7% tán a tres desviación típiques de la media. Esto conozse como la "regla 68-95-99,7" o la "regla empírica".

Pa ser más precisos, l'área so la curva campana ente μ − nσ y μ + nσ en términos de la función de distribución normal vien dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu +n\sigma )-\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu -n\sigma )\\&=\Phi (n)-\Phi (-n)=2\Phi (n)-1=\mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )},\end{aligned}}}$

onde erf ye la función error. Los valores pa n=1, n=2, ... , n= 6, son... (con 12 decimales)...:

${\displaystyle n\,}$	${\displaystyle \mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )}\,}$
1	0,682689492137
2	0,954499736104
3	0,997300203937
4	0,999936657516
5	0,999999426697
6	0,999999998027

La siguiente tabla apurre la rellación inversa de múltiples σ correspondientes a unos pocos valores usaos con frecuencia pa l'área so la campana de Gauss. Estos valores son útiles pa determinar intervalo d'enfotu pa los niveles especificaos basaos nuna curva de normal distribuyida (o estimadores asintóticamente normales):

${\displaystyle \mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )}}$	${\displaystyle n\,}$
0,80	1,28155
0,90	1,64485
0,95	1,95996
0,98	2,32635
0,99	2,57583
0,995	2,80703
0,998	3,09023
0,999	3,29052
0,9999	3,8906
0,99999	4,4172

onde'l valor a la izquierda de la tabla ye la proporción de valores que van cayer nel intervalu dau y n ye un múltiplu de la esviación típica que determina l'anchor del intervalu.

Distribución normal complexa

Considérese la variable aleatoria complexa gaussiana

${\displaystyle Z=X+iY\,}$.

onde X y Y son variables gaussianas reales ya independientes con igual varianza ${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$. La función de distribución de la variable conxunta ye entós

${\displaystyle {\frac {1}{2\,\pi \,\sigma _{r}^{2}}}y^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma _{r}^{2})}.}$

Como ${\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {2}}\sigma _{r}}$, la función de distribución resultante pa la variable gaussiana complexa Z ye

${\displaystyle {\frac {1}{\pi \,\sigma _{Z}^{2}}}y^{-|Z|^{2}\!/\sigma _{Z}^{2}}.}$

Distribuciones rellacionaes

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\,}$ ye una distribución de Rayleigh si ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ onde ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})\,}$ y ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})\,}$ son dos distribuciones normales independientes.

• ${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu }^{2}}$ ye una distribución χ² con ${\displaystyle \nu \,}$ grado de llibertá si ${\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{\nu }X_{k}^{2}}$ onde ${\displaystyle X_{k}\sim N(0,1)\,}$ pa ${\displaystyle k=1,\dots ,\nu }$ y son independientes.

• ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Cauchy} (\mu =0,\theta =1)\,}$ ye una distribución de Cauchy si ${\displaystyle Y=X_{1}/X_{2}\,}$ pa ${\displaystyle X_{1}\sim N(0,1)\,}$ y ${\displaystyle X_{2}\sim N(0,1)\,}$ son dos distribuciones normales independientes.

• ${\displaystyle Y\sim {\mbox{Log-N}}(\mu ,\sigma ^{2})\,}$ ye una distribución log-normal si ${\displaystyle Y=y^{X}\,}$ y ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,}$.

• Rellación con una distribución estable: si ${\displaystyle X\sim {\textrm {stable}}(2,\beta ,\sigma /{\sqrt {2}},\mu )}$ entós ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,}$.

• Distribución normal truncada. si ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$ entós atayando X per debaxo de ${\displaystyle A}$ y percima de ${\displaystyle B}$ va dar llugar a una variable aleatoria de media ${\displaystyle Y(X)=\mu +{\frac {\sigma (\varphi _{1}-\varphi _{2})}{T}},\!}$ onde ${\displaystyle T=\Phi \left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right),\;\varphi _{1}=\varphi \left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right),\;\varphi _{2}=\varphi \left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)}$ y ${\displaystyle \varphi \,}$ ye la función de densidá d'una variable normal estándar.

• Si ${\displaystyle X\,}$ ye una variable aleatoria de normal distribuyida y ${\displaystyle Y=|X|\,}$, entós ${\displaystyle Y\,}$ tien una distribución normal doblada.

Estadística descriptiva y inferencial

Incidencia

Les distribuciones aproximao normales apaecen peruquier, como queda esplicáu pol teorema central de la llende. Cuando nun fenómenu abarrúntase la presencia d'un gran númberu de pequeñes causes actuando de forma aditiva ya independiente ye razonable pensar que les observaciones van ser "normales". Hai métodos estadísticos pa probar empíricamente esta asunción, por casu, el test de D'Agostino-Pearson. El test de Kolmogorov-Smirnov, antes llargamente usáu, agora paez tar desaconseyáu.

Hai causes que pueden actuar de forma multiplicativa (más que aditiva). Nesti casu, l'asunción de normalidá nun ta xustificada y ye el llogaritmu de la variable en cuestión el que taría de normal distribuyíu. La distribución de les variables direutamente reparaes nesti casu denominar log-normal.

Finalmente, si hai una simple influencia esterna que tien un gran efeutu na variable en considerancia, l'asunción de normalidá nun ta tampoco xustificada. Esto ye ciertu inclusive si, cuando la variable esterna caltiénse constante, les distribuciones marxinales resultantes son, n'efeutu, normales. La distribución completa va ser una superposición de variables normales, que nun ye polo xeneral normal. Ello ta rellacionáu cola teoría d'errores (vease más embaxo).

De siguío amuésense una llista de situaciones que taríen, aproximao, de normal distribuyíes. Más embaxo puede atopase un discutiniu detalláu de caúna d'elles:

• En problemes de recuentu, onde'l teorema central de la llende inclúi un aproximamientu de discreta a continua y onde les distribuciones infinitamente divisibles y descomponibles tán arreyaes, tales como:
  • variables aleatories binomiales, acomuñaes con entrugues sí/non;
  • variables aleatories de Poisson, acomuñaes con eventos raros;
• En midíes fisiolóxiques de especímenes biolóxicos:
  • El llogaritmu de les midíes del tamañu de texíos vivos (llargor, altor, superficie de piel, pesu);
  • La llargor d'apéndices inertes (pelo, garres, rabos, dientes) de especímenes biolóxicos na direición del crecimento;
  • Otres midíes fisiolóxiques podríen tar de normal distribuyíes, anque nun hai razón pa esperalo a priori;
• Asumir con frecuencia que los errores de midida tán de normal distribuyíos y cualquier esviación de la normalidá considérase una cuestión que tendría d'esplicase;
• Variables financieres, nel modelu Black-Scholes:
  • Cambeos nel llogaritmu de Cambeos

nel llogaritmu de tases de cambéu, índices de precios, índices d'esistencies de mercáu; estes variables pórtense como l'interés compuestu, non como l'interés simple, por tanto, son multiplicatives;

• • Ente que el modelu Black-Scholes presupon normalidá, en realidá estes variables exhiben coles pesaes, como puede trate en crash de les esistencies de mercáu;
  • Otres variables financieres podríen tar de normal distribuyíes, pero nun hai razón pa esperalo a priori;
• Intensidá de la lluz:
  • La intensidá de la lluz láser ta de normal distribuyida;
  • La lluz térmico tien una distribución de Bose-Einstein n'escales de tiempu bien curtios y una distribución normal en grandes escales de tiempu debíu al teorema central de la llende.

Ye relevante pa la bioloxía y l'economía el fechu de que los sistemes complexos tienden a amosar la llei de potencies más que normal.

Variables financieres

El modelu normal de movimientu d'activos nun inclúi movimientos estremos tales como quiebres financieres.

Yá en 1900 Louis Bachelier propunxo representar los precios de cambéu usando la distribución normal. Esti aproximamientu modificóse dende entós llixeramente. Por causa de la naturaleza multiplicativa del interés compuestu, los indicadores financieros como valores de mercáu y precios de les materies primes exhiben un "comportamientu multiplicativu". Como tales, los sos cambeos periódicos (por casu, cambeos añales) nun son normales, sinón lognormales. Esta ye inda la hipótesis más comúnmente aceptada en economía.

Sicasí, en realidá les variables financieres exhiben coles pesaes y asina, l'asunción de normalidá infravalora la probabilidá d'eventos estremos como quiebres financieres. Suxuriéronse correiciones a esti modelu per parte de matemáticos como Benoît Mandelbrot, quien reparó que los cambeos nel llogaritmu mientres curtios periodos de tiempu (como un día) avérense bien por distribuciones que nun tienen una varianza finita y, poro, el teorema central de la llende nun puede aplicase. Entá más, la suma de munchos de tales cambeos sigue una distribución de log-Levy.

Ecuación d'espardimientu

La función de densidá de la distribución normal ta estrechamente rellacionada cola ecuación d'espardimientu (homoxénea y isótropa) y, por tanto, tamién cola ecuación de calor. Esta ecuación diferencial parcial describe'l tiempu d'evolución d'una función de densidá baxu espardimientu. En particular, la función de densidá de masa

${\displaystyle \varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t\,}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2t}}\right),}$

pa la distribución normal con esperanza 0 y varianza t satisfai la ecuación d'espardimientu:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi _{0,t}(x).}$

Si la densidá de masa pa un tiempu t = 0 vien dada pola delta de Dirac, lo cual significa, esencialemente que tola masa ta primeramente concentrada nun puntu, entós la función de densidá de masa nel tiempu t va tener la forma de la función de densidá de la normal, con varianza creciendo linealmente con t. Esta conexón nun ye coincidencia: l'espardimientu deber a un movimientu browniano que queda descritu matemáticamente por un procesu de Wiener, y tal procesu nun tiempu t tamién va resultar normal con varianza creciendo linealmente con t'.

Más xeneralmente, si la densidá de masa inicial vien dada por una función φ(x), entós la densidá de masa nun tiempu t va venir dada pola convolución de φ y una función de densidá normal.

Aplicación de la distribución normal de probabilidá acumulada a agües mensuales en Surinam.^[12]

Usu n'estadística computacional

Ver tamién

• Carl Friedrich Gauss
• Cociente intelectual
• Desenfoque gaussiano y convolución usando la distribución normal como nucleu.
• Distribución χ²
• Distribución loxística
• Distribución log-normal
• Distribución normal multivariante
• Distribución t de Student
• Función gaussiana (campana de Gauss)
• Función logit
• Función probit
• Gráficu de probabilidá normal
• Iannis Xenakis, distribución gaussiana en música
• Procesu de Gauss
• Prueba de Mann-Whitney Métodu non paramétrico qu'avera a una normal
• Tabla distribución normal tipificada
• Tamañu de la muestra
• Teorema Central de la Llende
• Tables estadístiques

Referencies

Enllaces esternos

• Graficadora de la distribución normal - CalEst na Web
• Calculadora de distribuciones (discretes y continues) - CalEst na Web
• Graficadora d'una o delles distribuciones normales - CalEst na Web
• Árees so la curva normal Tabla conteniendo los valores de la función normal
• Calculadora de probabilidaes nuna distribución Normal. Dexa faer cálculos direutos ya inversos.
• DynStats: Llaboratoriu estadísticu online con calculadora de funciones de distribución
• Tabla de la distribución normal Tabla de la distribución normal en formatu PDF

Axuste por software d'una distribución de probabilidá a un conxuntu de datos

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq , llibre ensin costu, inclúi la distribución normal, la lognormal, raigañu-normal, cuadráu-normal, y intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial
• Calculadora Distribución normal
• Calcular la probabilidá d'una distribución normal con R (llinguaxe de programación)
• Implementación Real en C del algoritmu Expectation Maximization (EM) pa envalorar Gaussian Mixture Models (GMMs).

• Datos: Q133871
• Multimedia: Normal distribution