Dinámica del puntu material

La dinámica del puntu material ye una parte de la mecánica newtoniana na que los sistemes analícense como sistemes de partícules puntuales y que s'exercen fuercies a distancia instantánees.

Sistema d'una sola partícula

Si estúdiase'l movimientu d'una partícula material dende un sistema de referencia inercial, entós la ecuación de movimientu básica ye la segunda llei de Newton:

$m{\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}-\mathbf {F} =0$

Onde r ta representando la posición de la partícula, t ye l'intre del tiempu en que se mide la posición y F la fuercia. Si'l sistema d'una partícula ta totalmente aisllada de cualquier interaición col esterior, nun van esistir fuercies sobre la partícula y entós la segunda llei de Newton amenorgar a que:

{\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}=0\Rightarrow {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {v} _{0}\Rightarrow \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}

Y, por tanto, la partícula mover a velocidá constante sobre una llinia recta, tal como espresa la primer llei de Newton o llei d'inercia. Y asina cualquier magnitú física que, afitáu un observador, dependa namái de la velocidá caltendrá constante a lo llargo del tiempu (pa una partícula aisllada eso asocede cola enerxía, el momentu llinial y el momentu angular, ente otres).

Sistemes de partícules interactuantes

Un sistema de partícules N puntuales ye un sistema daqué más interesante, onde la segunda llei de Newton diznos que la trayeutoria de caúna de les partícules va tar gobernada poles ecuaciones siguientes:

(1) $m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}(t)}{dt^{2}}}-\left[\sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ji}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]=0$

Onde r_i(t) ye la posición de la partícula i-ésima nel intre de tiempu t, F_ji representa la fuercia qu'exerz la partícula j sobre la partícula i. Esti sistema puede resultar malo d'integrar por aciu los métodos más senciellos de la mecánica clásica. Anque'l calter determinista de la mecánica newtoniana queda aseguráu pol fechu de que:

afitaes unes condiciones iniciales pa les posiciones y les velocidaes, #

afitaos ciertes condiciones de regularidá sobre la forma funcional de les fuercies en función de les posiciones, y siempres y # cuando podamos asegurar que nun se producen choques triples esiste solución única pal anterior sistema d'ecuaciones.

Entá cuando nun podamos integrar de manera senciella'l sistema d'ecuaciones (1), que tien en tres dimensiones 6N graos de llibertá cinemáticos, podemos atopar delles integrales de movimientu qu'amenorguen el problema.

Caltenimientu de la enerxía

Cuando les fuercies que s'exercen les partícules son conservativas puede trate qu'esisten funciones llamaes funciones de potencial V_ji tales que:^[1]

(2)

$\mathbf {F} _{ji}=-{\boldsymbol {\nabla }}V_{ji}=-{\frac {dV_{ji}}{d\mathbf {r} }}$

Nesi casu puede probase qu'a pesar de lo intricadas que puedan ser les trayectories siguíes poles partícules, esiste una magnitú física llamada enerxía total, que se caltién a lo llargo del movimientu. Esto ye, esiste una función esguilar que'l so valor caltener constante a lo llargo del tiempu pal sistema, esta enerxía total vien dada por:

(3)

$Y(\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i})=Y_{c}({\dot {\mathbf {r} }}_{i})+Y_{p}(\mathbf {r} _{i})=\left(\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}\right)+\left(\sum _{i}\sum _{j<i}\mathbf {V} _{ji}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\right)$

Pa comprobar qu'esta magnitú permanez constante col tiempu basta derivar la espresión (3) respectu al tiempu, y substituir dientro de la espresión llograda (2):

${\frac {de}{dt}}={\frac {de_{c}}{dt}}+\sum _{i}{\frac {de_{p}}{d\mathbf {r} _{i}}}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \left(m_{i}{\frac {d{\dot {\mathbf {r} }}_{i}}{dt}}+\sum _{j\neq i}\left({\frac {dV_{ji}}{d\mathbf {r} _{i}}}\right)\right)=\sum _{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \left(m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}+\sum _{j\neq i}-\mathbf {F} _{ji}\right)=0$

La espresión anterior anúlase porque pa tou i la espresión ente paréntesis ye hermano nula, tal como amuesa la ecuación del movimientu (1).

Caltenimientu del momentu llinial

Otra llei de caltenimientu que se menta davezu en rellación a los sistemes de partícules ye la llei de caltenimientu del momentu llinial o cantidá de movimientu. En ciertos sistemes resulta que la magnitú vectorial llograda como suma de momentos lliniales:

(4) $P(\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i})=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}$

Permanez constante a lo llargo del tiempu. Por que esa magnitú caltenga se rique una condición sobre les fuercies. Esta condición ye'l principio d'aición-reaición fuerte que pa un sistema de partícules implica:

\mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ij}

En sistemes de partícules cargaes que interactúan ente sigo por aciu campos magnéticos, el momentu llinial total de les partícules definíu por (4) nun cumple polo xeneral l'anterior condición polo que'l momentu llinial acomuñáu a les partícules nun se caltién. Sicasí, si considérase'l momentu llinial que tien d'asignase al campu electromagnéticu entós puede escribise una llei de caltenimientu del momentu pal sistema formáu pel campu y les partícules (sicasí, esti momentu total nun vendría dau por (4)).

Casos particulares

El problema de los dos cuerpos consiste en plantegar un problema de tipu (1) con N = 2 ye siempres resoluble yá que esisten tantes integrales de movimientu como ecuaciones.

El problema de los trés cuerpos ye similar al anterior pero nun puede construyise una solución a partir d'integrales primeres, Poincaré probó un teorema qu'establez namái esisten 10 integrales de movimientu alxebraiques nes coordenaes y momentos conxugaos, lo cual imposibilita una solución pelos medios usaos pal problema de los dos cuerpos. Sicasí, en 1912 Karl Fritiof Sundman topó una solución al problema de los trés cuerpos en forma de serie en potencies de $t^{\frac {1}{3}}$ que converxía amodo pa tou t y siempres y cuando'l momentu angular total nun fuera cero. Sicasí, esta solución converxe bien amodo y nun resulta d'un gran interés práuticu.

Un gas zarráu nuna caxa ye otru interesante problema de partícules que puede ser analizáu pola mecánica clásica. Sabemos que si tolos choques contra les parés y ente partícules son perfectamente elásticos y el conxuntu de puntos de la superficie de la caxa que nun presenta combadura tien midida de Lebesgue nula entós el sistema ye ergódico.

Xeneralización al casu relativista y al casu cuánticu

El tratamientu de partícules materiales acutar a la mecánica clásica. Y nun puede ser afechiscamente xeneralizáu a la mecánica relativista o la mecánica cuántica.

En mecánica relativista les fuercies a distancia nun son posibles, anque pa sistemes de partícules a pequeñes velocidaes (comparaes coles de la velocidá de la lluz lluz) puede usase la dinámica del puntu material como tratamientu averáu. Para partícules llétriques a grandes velocidaes ye necesariu tener en cuenta la enerxía y el momentu acomuñáu al campu electromagnéticu, una y bones les partícules cargaes aceleraes emiten radiación electromagnético.

Per otra parte, el tratamientu cuánticu de los sistemes de partícules idéntiques da llugar a efeutos non presentes en mecánica clásica, como por casu la interaición de truecu. Por eses razones, la dinámica del puntu material non demasiáu preséu dende'l puntu de vista cuánticu.

Referencies

↑ Landau y Lifshitz, páxs. 15-17.

Bibliografía

Landau & Lifshitz, Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.

Enllaces esternos

Script de Física d'Inxeniería Mecánica, dende la páxina 2, 2º Tema Cinemática del puntu.

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[1] Landau y Lifshitz, páxs. 15-17.

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