Efeutu Doppler

Si una fonte de lluz ta alloñándose d'un observador, entós les fanes en candia (z > 0) asoceden; si la fonte avérase, entós asocede un fana al azul. Esto ye válidu pa toles ondes electromagnétiques y ye esplicáu pol efeutu Doppler. Consecuentemente, esti tipu de desplazamientu al bermeyu ye denomináu'l desplazamientu al bermeyu Doppler. Si la fonte alloñar del observador con velocidá v, entós, inorando los efeutos relativistes, el desplazamientu al bermeyu vien dau por

${\displaystyle z\approx {\frac {v}{c}}}$     (Yá que ${\displaystyle \gamma \approx 1}$, ver debaxo)

onde c ye la velocidá de la lluz. Nel efeutu Doppler clásicu, la frecuencia de la fonte nun se modificar, pero'l movimientu recesivo causa la ilusión d'una frecuencia menor.

Efeutu Doppler Relativista

Un tratamientu más completu del desplazamientu al bermeyu Doppler precisa la considerancia d'efeutos relativistes acomuñaos col movimientu de fontes que se mueven con rapidez cercana a la velocidá de la lluz. En curtiu, los oxetos moviéndose cerca de la velocidá de la lluz van esperimentar esviaciones de la fórmula del efeutu Doppler simple por cuenta de la dilatación del tiempu de la relatividá especial que puede ser correxíu introduciendo'l factor de Lorentz ${\displaystyle \gamma }$ na fórmula clásica de Doppler como sigue:

${\displaystyle 1+z=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma }$

Esti fenómenu foi reparáu per primer vegada nun esperimentu de 1938 realizáu per Herbert Y. Ives y G.R. Stilwell.^[19] Como'l factor de Lorentz namái depende de la magnitú de la velocidá, esto causa'l desplazamientu escontra'l colloráu acomuñáu cola correición relativista pa ser independiente de la orientación de la fonte del movimientu. En contraste, la parte clásica de la fórmula depende de la proyeición del movimientu de la fonte na llinia de vista qu'apurre distintes resultaos pa distintes orientaciones. Consecuentemente, pa un oxetu moviéndose formando un ángulu ${\displaystyle \theta }$ col observador (l'ángulu nulu tien una llinia direuta col observador), la forma completa pal efeutu Doppler relativista convertir en:

${\displaystyle 1+z={\frac {1+v\cos(\theta )/c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

y solamente pa los movimientos na llinia de vista (${\displaystyle \theta }$ = 0°, esta ecuación amenorgar a:

${\displaystyle 1+z={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}}$

Pal casu especial en que la fonte ta moviéndose n'ángulos rectos (${\displaystyle \theta }$ = 90°) al detector, el desplazamientu al bermeyu relativista ye conocíu como'l efeutu Doppler tresversal y un desplazamientu al bermeyu de:

${\displaystyle 1+z={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

ye midíu, inclusive anque l'oxetu nun se ta alloñando del observador. Inclusive si la fonte ta moviéndose se escontra l'observador, si hai un componente trensversal al movimientu entós hai dalguna velocidá a la que la dilatación ataya esautamente la fana al azul esperáu y a velocidaes mayores la fonte que s'avera mover escontra'l colloráu.^[20]

Espansión del espaciu

Na primer parte del sieglu XX, Slipher, Hubble y otros fixeron les primeres midíes de fanes en candia y al azul de galaxes más allá de la Vía Láctea. Primeramente interpretaron estos desplazamientos en candia y al azul como debíos namái al efeuto Doppler, pero dempués Hubble afayó una leve correlación ente la medría del desplazamientu en candia y la medría de la distancia de galaxes. Los teóricos cuasi darréu diéronse cunta qu'estes observaciones podíen esplicase por un mecanismu distintu de desplazamientu al bermeyu. La llei de Hubble de la correlación ente fanes en candia y distancies ye riquida polos modelos de cosmoloxía procedentes de la relatividá xeneral que tienen una métrica d'espansión del espaciu.^[15] Como resultancia, los fotones arrobinándose al traviés del Universu n'espansión son estendíos, creando'l desplazamientu al bermeyu cosmolóxicu. Esto difier de los desplazamientos en candia por efeutu Doppler descritos antes porque la velocidá d'emburrie (p.ej. la tresformamientu de Lorentz) ente la fonte y l'observador nun ye debida a la tresferencia clásica ente momentu y enerxía, sinón qu'en cuenta de ello los fotones amonten el so llonxitú d'onda y muévense escontra'l colloráu según l'espaciu que tán travesando espándese.^[21] Esti efeutu ta prescritu nel modelu cosmolóxicu actual como una manifestación observable del factor d'escala cósmicu dependiente del tiempu (${\displaystyle a}$) de la siguiente manera:

${\displaystyle 1+z={\frac {a_{\mathrm {ahora} }}{a_{\mathrm {entonces} }}}.}$

Esti tipu de desplazamientu al bermeyu llámase desplazamientu al bermeyu cosmolóxicu o desplazamientu al bermeyu de Hubble. Si l'Universu tuviera contrayéndose en cuenta de espandise, veríamos les galaxes distantes moviéndose escontra l'azul por una suma proporcional a la so distancia en cuenta de movese escontra'l colloráu.^[22]

Estes galaxes nun tán reculando a cencielles per mediu d'una velocidá física alloñar del observador, en cuenta de ello, l'espaciu qu'intervien ta estendiéndose, lo que cunta lara la isotropía a gran escala del efeutu demandáu pol principiu cosmolóxicu.^[23] Pa los desplazamientos en candia cosmolóxicos con z < 0.1 los efeutos de la espansión del espaciu-tiempu son mínimos y les fanes en candia tán apoderaos polos movimientos relativos peculiares ente una galaxa a otra que causa fanes en candia y al azul Doppler adicionales.^[24] La diferencia ente la velocidá física y l'espansión del espaciu puede ilustrase pola Espansión de la Fueya de Cauchu del Universu, una analoxía cosmolóxica común utilizada pa describir la espansión del espaciu. Si dos oxetos son representaos por boles de cojinetes y l'espaciu-tiempu por una fueya de cauchu espandiéndose, l'efeutu Doppler ye causáu pol rodar de les boles al traviés de la fueya creando un movimientu particular. El desplazamientu al bermeyu cosmolóxicu asocedi cuando les boles de cojinetes pegar a la fueya y la fueya ye espandida. (Obviamente, hai problemes dimensionales col modelu, una y bones les boles de cojinetes tendríen de tar en la fueya y el desplazamientu al bermeyu produz velocidaes mayores que les del efeutu Doppler si la distancia ente dos oxetos ye lo suficientemente llarga.).

A pesar de la distinción ente les fanes en candia causaes pola velocidá de los oxetos y los asociaos cola espansión del Universu, los astrónomos delles vegaes llamar "velocidá de recesión" nel contestu de los desplazamientos en candia de galaxes distantes a partir de la espansión del Universu, inclusive anque ye namái una recesión aparente.^[25] De resultes, la lliteratura popular de cutiu utiliza la espresión "desplazamientu al bermeyu Doppler" en cuenta de "desplazamientu al bermeyu cosmolóxicu" pa describir el movimientu de les galaxes apoderáu pola espansión del espaciu, a pesar del fechu de qu'una "velocidá cosmolóxica recesiva" cuando se calcula nun va igualar la velocidá na ecuación de Doppler relativista.^[26] En particular, el desplazamientu al bermeyu Doppler ta acutáu pola relatividá especial; colo que v > c ye imposible mientres, en contraste, v > c ye posible pa fanes en candia cosmolóxiques porque l'espaciu que dixebra los oxetos (p.ej. un cuásar dende la tierra) puede espandise más apriesa que la velocidá de la lluz.^[27] Más matemáticamente, el puntu de vista de que "les galaxes distantes tán reculando" y el puntu de vista de que "l'espaciu ente galaxes ta espandiéndose" ta rellacionáu col cambéu de sistema de coordenaes. Espresando de forma precisa rique trabayar coles matemátiques de la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.^[28]

Derivación matemática

Les consecuencies d'observación d'esti efeutu pueden ser sacaes usando les ecuaciones de la relatividá xeneral que describen un universu homoxéneu y isotrópico. Pa sacar l'efeutu de desplazamientu al bermeyu, use la ecuación xeodésica pa una onda lluminosa,

${\displaystyle ds^{2}=0=-c^{2}dt^{2}+{a^{2}dr^{2} \over 1-kr^{2}}}$

onde

• ${\displaystyle ds^{2}}$ ye l'intervalu espaciu-tiempu
• ${\displaystyle dt^{2}}$ ye l'intervalu de tiempu
• ${\displaystyle dr^{2}}$ ye l'intervalu espacial
• c ye la velocidá de la lluz
• unu ye dependiente del tiempu cósmicu factor d'escala
• k ye la combadura por unidá d'área.

Pa un observador que repara la cresta d'una onda lluminosa nuna posición r con r= 0 y en t de t = ${\displaystyle t_{\mathrm {now} }}$, y que dicha cresta de la onda lluminosa foi emitida al empar en t = ${\displaystyle t_{\mathrm {then} }}$ nel pasáu y una posición r distante r=R. La integración sobre'l camín tantu nel espaciu como nel tiempu que la onda lluminosa viaxa la producción.

${\displaystyle c\int _{t_{\mathrm {then} }}^{t_{\mathrm {now} }}{\frac {dt}{a}}\;=\int _{R}^{0}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\,}$.

Polo xeneral, el llonxitú d'onda de lluz nun ye la mesma pa los dos asities y tiempos envaloraos por cuenta de les carauterístiques cambiantes de la métrica. Cuando la onda foi emitida, esto tenía un llonxitú d'onda ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {then} }}$. La siguiente cresta de la onda lluminosa foi

${\displaystyle t=t_{\mathrm {then} }+\lambda _{\mathrm {then} }/c\,}$

L'observador ve la siguiente cresta de la fola de lluz que se repara con un llonxitú d'onda ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {now} }}$ pa llegar a un tiempu:

${\displaystyle t=t_{\mathrm {now} }+\lambda _{\mathrm {now} }/c\,}$

Dende la cresta posterior ye de nuevu emitida pa r = R, y reparar en r = 0, la ecuación puede escribise:

${\displaystyle c\int _{t_{\mathrm {then} }+\lambda _{\mathrm {then} }/c}^{t_{\mathrm {now} }+\lambda _{\mathrm {now} }/c}{\frac {dt}{a}}\;=\int _{R}^{0}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\,}$.

El llau derechu de los dos equaciones integrales enriba ye idénticu esto quier dicir

${\displaystyle c\int _{t_{\mathrm {then} }+\lambda _{\mathrm {then} }/c}^{t_{\mathrm {now} }+\lambda _{\mathrm {now} }/c}{\frac {dt}{a}}\;=c\int _{t_{\mathrm {then} }}^{t_{\mathrm {now} }}{\frac {dt}{a}}\,}$.

o, alternativamente,

${\displaystyle \int _{t_{\mathrm {now} }}^{t_{\mathrm {now} }+\lambda _{\mathrm {now} }/c}{\frac {dt}{a}}\;=\int _{t_{\mathrm {then} }}^{t_{\mathrm {then} }+\lambda _{\mathrm {then} }/c}{\frac {dt}{a}}\,}$.

Pa bien pequeñes variaciones nel tiempu (mientres el periodu d'un ciclu d'una onda lluminosa) el factor d'escala ye esencialmente un constante (${\displaystyle a=a_{\mathrm {now} }}$ y ${\displaystyle a=a_{\mathrm {antes} }}$). Esto produz

${\displaystyle {\frac {t_{\mathrm {now} }+\lambda _{\mathrm {now} }/c}{a_{\mathrm {now} }}}-{\frac {t_{\mathrm {now} }}{a_{\mathrm {now} }}}\;={\frac {t_{\mathrm {then} }+\lambda _{\mathrm {then} }/c}{a_{\mathrm {then} }}}-{\frac {t_{\mathrm {then} }}{a_{\mathrm {then} }}}}$

que se puede rescribir como

${\displaystyle {\frac {\lambda _{\mathrm {now} }}{\lambda _{\mathrm {then} }}}={\frac {a_{\mathrm {now} }}{a_{\mathrm {then} }}}\,}$

Usando la definición de desplazamientu al bermeyu apurrida enriba, llógrase la ecuación

${\displaystyle 1+z={\frac {a_{\mathrm {now} }}{a_{\mathrm {then} }}}}$

Nun universu como'l qu'habitamos que s'amplía, el factor d'escala aumenta monótonamente col tiempu, asina, la z ye positiva y les galaxes distantes apaecen con desplazamientu al bermeyu.

Desplazamientu al bermeyu gravitacional

Na teoría de la relatividá xeneral, esiste la dilatación temporal dientro de pozos gravitacionales. Esto conozse como'l desplazamientu al bermeyu gravitacional o desplazamientu Einstein.^[29] La demostración teórica d'esti efeutu llograr del la solución de Schwarzschild de les ecuaciones d'Einstein, de les que puede llograse el desplazamientu en candia acomuñáu a un fotón que viaxa al traviés del campu gravitatoriu xeneráu por una masa esféricamente simétrica, ensin carga llétrica y non rotatoria:

${\displaystyle 1+z={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)}}}}$,

onde

• ${\displaystyle G\,}$ ye la constante gravitacional,
• ${\displaystyle M\,}$ ye la masa del oxetu que crea'l campu gravitatoriu,
• ${\displaystyle r\,}$ ye la coordenada radial del observador (que ye análoga a la distancia clásica dende'l centru del oxetu, pero realmente ye una coordenada Schwarzschild, y
• ${\displaystyle c\,}$ ye la velocidá de la lluz.

Esti desplazamientu en candia gravitacional puede calculase a partir del camientu de la relatividá especial y el principiu d'equivalencia; la teoría de la relatividá xeneral al completu nun ye necesaria.^[30]

L'efeutu ye bien pequeñu pero medible na Tierra utilizando'l efeutu Mossbauer, y foi reparáu per primer vegada nel esperimentu de Pound y Rebka.^[31] Sicasí, ye significativu cerca d'un furacu negru, y cuando un oxetu averar al horizonte de sucesos el desplazamientu en candia tiende a infinitu. Ye tamién la causa dominante de les grandes fluctuaciones de temperatura d'escala angular nel fondu cósmicu de microondes (ver l'efeutu Sachs-Wolfe).^[32]

Observaciones locales

N'oxetos cercanos (dientro de nuesa Vía Láctea), los desplazamientos en candia reparaos tán cuasi siempres rellacionaos coles velocidaes de la LOS acomuñaes colos oxetos que tán siendo reparaos. Les observaciones de tales desplazamentos en candia y al azul dexaron a los astrónomos midir velocidaes y parametrizar les mases de les órbites estelares en binaries espectroscópicas, un métodu emplegáu per primer vegada en 1868 pol astrónomu británicu William Huggins.^[8] De forma similar, los pequeños desplazamientos en candia y al azul detectaos nes midíes espectroscópicas d'estrelles individuales son una manera de que los astrónomos puedan diagnosticar midir la presencia y carauterístiques de sistemes planetarios alredor d'otres estrelles.^[38] Les midíes de desplazamientos en candia pa detalles finos utilizar en heliosismología pa determinar los movimientos precisos de la fotosfera del Sol.^[39] Los desplazamientos en candia tamién s'utilizaron pa faer les primeres midíes de la rotación de los planetes,^[40] velocidaes de nubes interestelares,^[41] la rotación de galaxes,^[2] y la dinámica del discu de acrecimiento en estrelles de neutrones y furacos negros qu'exhiben desplazamientos en candia Doppler y gravitacionales.^[42] Adicionalmente, les temperatures d'emisión y absorción de dellos oxetos puede llograse midiendo'l enanche Doppler, los desplazamientos en candia y al azul sobre una llinia senciella d'absorción o emisión.^[43] Midiendo l'enanche y los desplazamientos de 21-centímetros de la llinia del hidróxenu en distintes direiciones, los astrónomos pudieron midir les velocidaes de recesión de gas interestelar, qu'a la fin reveló la curva de rotación de nuesa Vía Láctea.^[2] Realizáronse midíes similares n'otres galaxes, como la d'Andrómeda.^[2] Como ferramienta de diagnósticu, les midíes de desplazamientu en candia son una de les más importantes midíes espectoscópicas feches na astronomía.

Observaciones extragalácticas

Los oxetos más distantes exhiben les mayores fanes en candia correspondientes al fluxu de Hubble del Universu. Los mayores desplazamientos reparaos, correspondientes a les mayores distancies y a los más alloñaos tras nel tiempu, son los de la Radiación cósmico de microondes y el valor numbéricu del so desplazamientu ye aproximao z = 1089 (z = 0 corresponder al momentu actual) y amuesa l'estáu del Universu hai unos 13700 millones d'años y 379000 años dempués de los momentos iniciales del Big Bang.^[44]

Los nucleos lluminosos puntuales de los quasars fueron los primeros oxetos "altamente-movíos en candia"(${\displaystyle z>0.1}$) descubiertos primero que la meyora de los telescopios dexara'l descubrimientu d'otres galaxes altamente movíes. Anguaño, el desplazamientu al bermeyu de quasar midíos más altu ye de ${\displaystyle z=6.4}$,^[45] cola confirmación de que'l mayor desplazamientu al bermeyu d'una galaxa ye ${\displaystyle z=7.0}$^[46] ente qu'otros informes ensin confirmar más d'una lente gravitacional reparada nun cúmulu de galaxes distante puede indicar qu'una galaxa tien un desplazamientu en candia de ${\displaystyle z=10}$.^[47]

Pa galaxes más alloñaes del Grupu Llocal y cercanes al Cúmulu de Virgo, pero dientro d'unos miles de megaparsecs, el desplazamientu al bermeyu ye aproximao proporcional a la distancia de la galaxa. Esta correlación foi reparada por Edwin Hubble y ye conocida como la llei de Hubble. Vesto Slipher foi'l descubridor de les fanes en candia galácticu. En redol al añu 1912, mientres Hubble correlaba les midíes de Slipher coles distancies midir por otros medios pa formular la so Llei. Nel modelu llargamente aceptáu basáu na relatividá xeneral, los desplazamientos en candia ye sobremanera un resultáu de la espansión del espaciu: esto significa que'l más allá d'una galaxa ye dende nós, la mayoría del espaciu espandióse nel tiempu desque la lluz dexó la galaxa, asina que la mayoría de la lluz estendióse, la mayoría de la lluz movióse en candia y asina pacece que se ta moviendo dende nós. La llei de Hubble vien en parte del principiu copernicanu.^[23] Como nun se conoz de normal cómo de lluminosos son los oxetos, la midida del desplazamientu al bermeyu ye más fácil que les midíes de distancia más direutes, de tal manera que les fanes en candia son delles vegaes convertíos nuna midida de distancia utilizando la llei de Hubble.

Les interaiciones gravitatories de les galaxes les unes coles otres y colos cúmulos causen una dispersión nel dibuxu normal de la diagrama de Hubble. Les velocidaes peculiares acomuñaes con galaxes superpuestes dexando un rastru axatáu de masa d'oxetos virializados nel Universu. Esti efeutu conduz a tal fenómenu como nes galaxes cercanes (como la galaxa d'Andrómeda) exhibiendo desplazamientos al azul según cayemos escontra un baricentru común y los mapes de fanes en candia de cúmulos amuesen un efeutu de Deu de Dios por cuenta de la dispersión de velocidaes peculiares nuna distribución esférica.^[23] Esti componente agregu da a los cosmólogos una oportunidá de midir les mases d'oxetos independientes de la rellación masa-lluz (la rellación de la masa d'una galaxa en mases solares col so rellumu en lluminosidaes solares), una ferramienta importante pa midir materia escuro.^[48]

La rellación llinial de la llei de Hubble ente la distancia y el desplazamientu al bermeyu asume que la tasa d'espansión del Universu ye constante. Sicasí, cuando l'Universu yera muncho más nuevu, la tasa d'espansión y entós la "constante" de Hubble yera mayor que na actualidá. Pa galaxes más distantes, que la so lluz tuvo viaxando mientres muncho más tiempu, l'aproximamientu de la tasa d'espansión constante falla y la llei de Hubble convertir nuna rellación integral non llinial y dependiente de la historia de la tasa de la espansión yá que la emisión de lluz dende la galaxa en cuestión. Les observaciones de la rellación de distancia del desplazamientu al bermeyu puede utilizase, entós, pa determinar la historia d'espansión del Universu y asina la materia y enerxía contenida.

Mientres enforma tiempu creyóse que la tasa d'espansión tuviera de cutio escayendo dende'l Big Bang, observaciones recién de la rellación de distancia de desplazamientu al bermeyu utilizando supernoves tipu Ia suxurieron qu'en tiempos comparativamente recién l'Universu empezó a acelerase.

El desplazamientu al bermeyu n'espediciones

Cola apaición de los telescopios automatizados y les meyores nos espectroscopios, realizáronse delles collaboraciones pa mapear l'Universu neldesplazamientu al bermeyu desplazamientu al bermeyu del espaciu. Combinando estos desplazamientos en candia con datos de posiciones angulares, una espedición de desplazamientu al bermeyu mapea la distribución 3D de materia dientro d'una parte del cielu. Estes observaciones suelen midir propiedaes de la estructura a gran escala del universu. La Gran Muralla, un gran supercúmulo de galaxes a unos 500 millones d'años lluz, apurre un exemplu dramáticu d'una estructura a gran escala que les espediciones de desplazamientu al bermeyu pueden detectar.^[49]

La primer espedición de desplazamientu al bermeyu foi la CfA Redshift Survey, qu'empezó en 1977 y completó la coleición de datos inicial en 1982.^[50] Más apocayá, la 2dF Galaxy Redshift Survey topó la estructura a gran escala d'una seición del Universu, midiendo valores de z de más de 220000 galaxes, la recueya de datos completar en 2002 y el conxuntu final de datos llanzóse'l 30 de xunu de 2003.^[51] (Amás de los patrones de mapeo a gran escala de galaxes, el 2dF estableció una llende cimera pa la masa del neutrín). Otra espedición notable, el Sloan Digital Sky Survey (SDSS), sigue'l so cursu (siquier en 2005) ya intenta llograr midíes d'unos 100 millones d'oxetos.^[52] El SDSS grabó fanes en candia pa galaxes percima de 0.4 y arreyóse na detección de quasars más allá de z = 6. La DEEP2 Redshift Survey utiliza los telescopios Keck col nuevu espectrógrafu "DEIMOS]]. Una continuación del programa piloto DEEP1, DEEP2 ta diseñáu pa midir galaxes débiles con desplazamientos en candia de 0.7 y cimeros y ta por tanto entamáu pa complementar al SDSS y al 2dF.^[53]

Artículos

• Odenwald, S. & Fienberg, RT. 1993; "Reconsideraciones de Fanes en candia de Galaxes" en Sky & Telescope Feb. 2003; pp31-35 (Esti artículu ye una útil llectura na que s'estremen 3 tipos de desplazamientu al bermeyu y les sos causes).
• Lineweaver, Charles H. y Tamara M. Davis, "[http://www.sciam.com/article.cfm?chanID=sa006&colID=1&articleID=0009F0CA-C523-1213-852383414B7F0147 Idees

equivocaes sobre'l Big Bang]", Scientific American, marzu de 2005. (Esti artículu ye útil pa esplicar el mecanismu de desplazamientu al bermeyu cosmolóxica según esclariar equívocos reapecto a la física de la espansión del espaciu).

• Bedran, M.L.(2002)"A comparison between the Doppler and cosmological redshifts" Am. J. Physics 70(4), 406-408. http://www.df.uba.ar/users/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/cosmo/doppler_redshift.pdf

Referencies de llibros

• Binney, James; Michael Merrifeld (1998). Princeton University Press: Astronomía Galáctica. ISBN 0-691-02565-7.
• Carroll, Bradley W. y Dale A. Ostlie (1996). Addison-Wesley Publishing Company, Inc.: Una Introducciñin a l'Astrofísica Moderna. ISBN 0-201-54730-9.
• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1989). Addison-Wesley: Lectura de Feynman sobre Física Vol. 1. ISBN 0-201-51003-0.
• Kutner, Marc (2003). Cambridge University Press: Astronomía: Una Perspeutiva Física. ISBN 0-521-52927-1.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. and Wheeler, John Archibald (1973). W. H. Freeman: Gravitación. ISBN 0-7167-0344-0.
• Peebles, P. J. Y. (1993). Princeton University Press: Principio de Cosmoloxía Física. ISBN 0-691-01933-9.
• Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (1992). W.H. Freeman: Física espaciu-temporal: Introducción a la Relatividá Especial (2ª ed.). ISBN 0-7167-2327-1.
• Weinberg, Steven (1971). John Wiley: Gravitación y Cosmología. ISBN 0-471-92567-5.