Cosenu
función trigonométrica y función par (es)

En trigonometría, el cosenu (abreviáu cos) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques, el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

Cosenu d'una suma o resta

${\displaystyle \theta ,\phi \in \ \mathbb {R} }$ Entós:

${\displaystyle \cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )}$

Si facemos

${\displaystyle \cos \left(\phi +(-\theta \right))=cos(\phi )cos(-\theta )-sin(\phi )sin(-\theta )}$

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

${\displaystyle \cos \left(\phi -\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )+sin(\phi )sin(\theta )}$

Cosenu d'un ángulu duble

Tenemos que

${\displaystyle \cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )}$

Faciendo ${\displaystyle \theta =\phi }$ Entós

${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )}$

Cosenu del ángulu mediu

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya ${\displaystyle \alpha ,\phi \in \mathbb {R} }$

Como ${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )}$

podemos escribila como

${\displaystyle cos\left(2\phi \right)=1-2sin^{2}(\phi )}$

Seya ${\displaystyle \phi ={\frac {\alpha }{2}}}$

Entós algamamos

${\displaystyle |cos({\frac {\alpha }{2}})|={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}}$

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

${\displaystyle cos({\frac {\alpha }{2}})={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}}$

Tresformación d'una suma de cosenos en productu

${\displaystyle Cos(\phi )+Cos(\theta )=2cos({\frac {\phi +\theta }{2}})cos({\frac {\phi -\theta }{2}})}$

Amosamientu

Tomamos ${\displaystyle \alpha \,\beta \,\theta ,\phi \in \ \mathbb {R} }$

Entós

${\displaystyle Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )-sin(\alpha )sin(\beta )+cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )}$

${\displaystyle Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=2cos(\alpha )cos(\beta )}$

Faciendo ${\displaystyle \theta =\alpha +\beta }$ y ${\displaystyle \phi =\alpha -\beta }$

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

${\displaystyle \alpha \ ={\frac {\theta +\phi }{2}}}$

${\displaystyle \beta \ ={\frac {\theta -\phi }{2}}}$

Reemplazando algámase

${\displaystyle Cos\left(\phi \right)+Cos(\theta )=2cos({\frac {\theta +\phi }{2}})cos({\frac {\theta -\phi }{2}})}$

Análogamente amuésase que

${\displaystyle Cos(\phi )-Cos(\theta )=-2Sin({\frac {\phi +\theta }{2}})Sin({\frac {\theta -\phi }{2}})}$

Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

lo que ye

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}}$

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)-\cos(x)}{h}}}$

Fautorizando

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}}$

Separtando tenemos

${\displaystyle \cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}}$

Sabiendo que ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=1}$ y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

${\displaystyle \cos '\left(x\right)=-\sin(x)}$

Ver tamién

• Arcocosenu
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar