De la Roma Clásica a la Edá Media

Reconstrucción d'un ábaco romanu.

Un ábaco modernu.

El términu "cálculu" procede del llatín calculus, piedrina que se mete nel calzáu y que produz molestia. Precisamente tales piedrines enartaes en tires constituyíen el ábaco romanu que, xunto col suanpan chinu, constitúin les primeres máquines de calcular nel sentíu de cuntar.

Los antecedentes de procedimientu de cálculu, como algoritmu, atopar nos qu'utilizaron les xeómetres griegos, Eudoxo en particular, nel sentíu de llegar por aproximamientu de restos cada vegada más pequeños, a una midida de figures curves; según Diofanto precursor del álxebra.

La considerancia del cálculu como una forma de razonamientu astractu aplicáu en tolos ámbitos de la conocencia deber a Aristóteles, quien nos sos escritos lóxicos foi'l primeru en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (siloxismos). Esti trabayu sería completáu más tarde polos estoicos, los megáricos, la Escolástica.

Los algoritmos actuales del cálculu aritméticu, utilizaos universalmente, son frutu d'un llargu procesu históricu. De vital importancia son les aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi nel sieglu IX;^[2]

Introducióse'l 0, yá d'antiguu conocíu na India y constrúyese definitivamente'l sistema decimal de diez cifres con valor posicional de les mesmes, introducíu n'Europa polos árabes. La escritura antiguo de númberos en Babilonia, n'Exiptu, en Grecia o en Roma, faía bien difícil un procedimientu mecánicu de cálculu.^[3]

El sistema decimal foi bien importante pal desenvolvimientu de la contabilidá de los comerciantes de la Baxa Edá Media, nos entamos del capitalismu.

El conceutu de función por tables yá yera practicáu d'antiguu pero adquirió especial importancia na Universidá d'Oxford nel sieglu XIV.^[4] La idea d'un llinguaxe o algoritmu capaz de determinar toles verdaes, incluyíes les de la fe, apaecen nel intentu de Raimundo Lulio nel so Ars Magna

Con cuenta de llograr una operatividad mecánica iguábense unes tables a partir de les cualos podía xenerase un algoritmu práuticamente mecánicu. Esti sistema de tables perduró en delles operaciones mientres sieglos, como les tables de llogaritmos, o les funciones trigonométriques; les tables veníen ser como la calculadora de güei día; un preséu imprescindible de cálculu. Les amortizaciones de los creitos nos bancos, por casu, calcular a partir de tables elementales hasta que se produció l'aplicación de la informática nel tercer terciu del sieglu XX.

A finales de la Edá Media'l discutiniu ente los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmu decantóse claramente por estos postreros.^[5] D'especial importancia ye la creación del sistema contable por partida doble encamentáu por Luca Pacioli fundamental pal progresu del capitalismu na Renacencia.^[6]

Renacimientu

El sistema qu'usamos anguaño foi introducíu por Luca Pacioli en 1494, y foi creáu y desenvueltu pa responder a la necesidá de la contabilidá nos negocios de la burguesía renacentista.

El desenvolvimientu del álxebra (cola introducción d'un sistema de símbolos per un sitiu, y el resolución de problemes per mediu de les ecuaciones) vieno de la mano de los grandes matemáticos renacentistes como Tartaglia, Stevin, Cardano o Vieta y foi esencial pal planteamientu y solución de los más diversos problemes que surdieron na dómina de resultes de los grandes descubrimientos que fixeron posible'l progresu científicu que va surdir nel sieglu XVII.^[7]

Sieglos XVII y XVIII

Páxina del artículu de Leibniz "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705.

Nel sieglu XVII el cálculu conoció un enorme desenvolvimientu siendo los autores más destacaos Descartes,^[8] Pascal^[9] y, finalmente, Leibniz y Newton^[10] col cálculu infinitesimal qu'en munches ocasiones recibió a cencielles, por absorción, el nome de cálculu.

El conceutu de cálculu formal nel sentíu d'algoritmu regláu pal desenvolvimientu d'un razonamientu y la so aplicación al mundu de lo real^[11] adquier una importancia y desenvolvimientu enorme respondiendo a una necesidá d'establecer rellaciones matemátiques ente diverses midíes, esencial pal progresu de la ciencia física que, por cuenta de esto, ye tomada como nuevu modelu de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, pol rigor y seguridá qu'ufierta'l cálculu matemáticu. Camuda asina'l sentíu tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentíu de ciencia qu'estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir d'entós el mesmu sistema de cálculu dexa establecer modelos sobre la realidá física, que la so comprobación esperimental^[12] supón la confirmación de la teoría como sistema. Ye'l momentu del afitamientu del llamáu métodu científicu que'l so meyor esponente ye naquel momentu la Teoría de la Gravitación Universal y les lleis de la Mecánica de Newton.^[13]

Sieglos XIX y XX

George Boole.

Mientres el sieglu XIX y XX el desenvolvimientu científicu y la creación de modelos teóricos fundaos en sistemes de cálculu aplicables tantu en mecánica como n'electromagnetismu y radioactividá, etc. según n'astronomía foi impresionante. Les xeometríes non euclidianes atopen aplicación en modelos teóricos d'astronomía y física. El mundu dexa de ser un conxuntu d'infinites partícules que se mueven nun espaciu-tiempu absolutu y conviértese nun espaciu de configuración o espaciu de fases de ${\displaystyle n}$ dimensiones que físicamente se faen consistentes na teoría de la relatividá, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdes etc. que camuda por completu la imaxe del mundu físicu.

La lóxica coles mesmes sufrió un tresformamientu radical.^[14] La formalización simbólica foi capaz d'integrar les lleis lóxiques nun cálculu matemáticu, hasta'l puntu que la distinción ente razonamientu lóxicu-formal y cálculu matemáticu vien considerase como puramente utilitaria.

Na segunda metá del sieglu XIX y primer terciu del XX, a partir del intentu de formalización de tol sistema matemáticu, Frege, y de matematización de la lóxica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) foi posible la xeneralización del conceutu como cálculu lóxicu. Llográronse métodos bien potentes de cálculu, sobremanera a partir de la posibilidá de tratar como “oxetu” conxuntos d'infinitos elementos, dando llugar a los númberos transfinitos de Cantor.

Por aciu el cálculu la lóxica atopa nuevos desarrollos como lóxiques modales y lóxiques polivalentes.

Los intentos d'axomatizar el cálculu como cálculu perfectu per parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, de resultes de diverses paradoxes (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axomes de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidá d'un sistema de cálculu perfectu: consistente, decidible y completu en 1931, de grandes implicaciones lóxiques, matemátiques y científiques.

Actualidá

Na actualidá, el cálculu nel so sentíu más xeneral, en cuantes que cálculu lóxicu interpretáu matemáticamente como sistema binariu, y físicamente fechu material per aciu la lóxica de circuitos eléctrónicos, adquirió una dimensión y desenvolvimientu impresionante pola potencia de cálculu consiguida polos ordenadores, puramente máquines ordenadores. La capacidá y velocidá de cálculu d'estes máquines fai lo que humanamente sería imposible: millones d'operaciones por segundu.

El cálculu asina utilizáu convertir nun preséu fundamental de la investigación científica poles posibilidaes qu'ufierta pa la modelización de les teoríes científiques, adquiriendo especial relevancia nello'l cálculu numbéricu.

Cálculu infinitesimal: curtia reseña

El cálculu infinitesimal, llamáu por brevedá "cálculu", tien el so orixe na antigua xeometría griega. Demócrito calculó'l volume de pirámides y conos considerándolos formaos por un númberu infinitu de seiciones de grosez infinitesimal (infinitamente pequeñu). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "métodu d'escosamientu" o exhaución p'atopar l'área d'un círculu cola exactitú finita riquida per aciu l'usu de polígonos regulares inscritos de cada vegada mayor númberu de llaos. Nel periodu tardíu de Grecia, el neoplatónicu Pappus d'Alexandría fixo contribuciones sobresalientes nesti ámbitu. Sicasí, les dificultaes pa trabayar con númberos irracionales y les paradoxes de Zenón d'Elea torgaron formular una teoría sistemática del cálculu nel periodu antiguu.

Nel sieglu XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron l'usu de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álxebra p'atopar el área y les tanxentes (integración y derivación en términos modernos). Fermat y Isaac Barrow teníen la certidume de que dambos cálculos taben rellacionaos, anque fueron Newton (escontra 1660), n'Inglaterra y Leibniz n'Alemaña (escontra 1670) quien demostraron que los problemes del área y la tanxente son inversos, lo que se conoz como teorema fundamental del cálculu.

El descubrimientu de Newton, a partir del so teoría de la gravitación universal, foi anterior al de Leibniz, pero'l retrasu na so publicación entá provoca discutinios sobre quién de los dos foi'l primeru. Newton utilizó'l cálculu en mecánica nel marcu del so tratáu "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica por excelencia, llamando al so métodu de "flusiones". Leibniz utilizó'l cálculu nel problema de la tanxente a una curva nun puntu, como llende d'aproximamientos socesivos, dando un calter más filosóficu al so discursu. Sicasí, terminó per adoptar se la notación de Leibniz pola so versatilidad.

Nel sieglu XVIII aumentó considerablemente'l númberu d'aplicaciones del cálculu, pero l'usu imprecisu de les cantidaes infinites ya infinitesimales, según la intuición xeométrica, causaben inda tracamundiu y dulda sobre los sos fundamentos. Ello ye que la noción de llende, central nel estudiu del cálculu, yera entá vaga ya imprecisa nesi entós. Unu de los sos críticos más notables foi'l filósofu George Berkeley.

Nel sieglu XIX el trabayu de los analistes matemáticos sustituyeron eses vaguedades por fundamentos sólidos basaos en cantidaes finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los conceutos de Llende d'una función llende en términos de épsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann fixeron lo propio coles integrales, y Dedekind y Weierstrass colos númberos reales. Foi'l periodu de la fundamentación del cálculu. Por exemplu, súpose que les funciones diferenciables son continues y que les funciones continues son integrables, anque los recíprocos son falsos. Nel sieglu XX, l'analís non convencional, legitimó l'usu de los infinitesimales, coles mesmes que l'apaición de los ordenadores amontó les aplicaciones y velocidá del cálculu.

Anguaño, el cálculu infinitesimal tien un doble aspeutu: per un sitiu, consolidóse'l so calter disciplinariu na formación de la sociedá culta de la conocencia, destacando nesti ámbitu testos propios de la disciplina como'l de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o'l de James Stewart ente munchos otros; por otru'l so desenvolvimientu como disciplina científica que desaguó n'ámbitos tan especializaos como'l cálculu fraccional, la teoría de funciones analítiques de variable complexa o l'analís matemáticu. L'ésitu del cálculu foi estendíu col tiempu a les ecuaciones diferenciales, al cálculu de vectores, al cálculu de variaciones, al analís complexu y a les topoloxía alxebraica y topoloxía diferencial ente munches otres cañes.

El desenvolvimientu y usu del cálculu tuvo efeutos bien importantes en cuasi toles árees de la vida moderna: ye fundamentu pal cálculu numbéricu aplicáu en cuasi tolos campos téunicos y/o científicos que la so principal carauterística ye la continuidá de los sos elementos, cuantimás na física. Práuticamente tolos desarrollos téunicos modernos como la construcción, aviación, tresporte, meteoroloxía, etc. faen usu del cálculu. Munches fórmules alxebraiques úsense anguaño en balística, calefaición, refrigeración, etc.

Como complementu del cálculu, en rellación a sistemes teóricos o físicos que los sos elementos escarecen de continuidá, desenvolvióse una caña especial conocida como Matemática discreta.

Sistematización d'un cálculu de deducción natural

Regles de tresformamientu de fórmules

1) Regla de sustitución (R.T.1):

Dada una tesis EBF del cálculu, na qu'apaecen variables d'enunciaos, la resultancia de sustituyir una, dalgunes o toes eses variables por espresiones bien formaes (EBF) del cálculu, va ser tamién una tesis EBF del cálculu. Y ello con una única restricción, magar bien importante: cada variable hai de ser sustituyida siempres qu'apaez y siempres pol mesmu sustitutu.

Veamos l'exemplu:

1	${\displaystyle \left[\left(p\land q\right)\lor r\right]\rightarrow t\lor s}$	Tresformamientu
2	${\displaystyle A\lor r\rightarrow B}$	onde ${\displaystyle A=\left(p\land q\right)}$ ; y onde ${\displaystyle B=\left(t\lor s\right)}$
3	${\displaystyle C\rightarrow B}$	onde ${\displaystyle C=A\lor r}$

O viceversa

1	${\displaystyle C\rightarrow B}$	Tresformamientu
2	${\displaystyle A\lor r\rightarrow B}$	onde ${\displaystyle A\lor r=C}$
3	${\displaystyle \left[\left(p\land q\right)\lor r\right]\rightarrow t\lor s}$	onde ${\displaystyle (p\land q)=A}$ ; y onde ${\displaystyle (t\lor s)=B}$

2) Regla de separación (R.T.2):

Si X ye una tesis EBF del sistema y ser tamién X ${\displaystyle \rightarrow }$ Y, entós Y ye una tesis EBF del sistema.

Esquemes de inferencia

Sobre la base d'estos dos regles, siempres vamos poder amenorgar un argumentu cualesquier a la forma:

${\displaystyle [A\land B\land C....\land N]\rightarrow Y}$

lo que constitúi un esquema de inferencia nel qu'una vegada conocida la verdá de caúna de les premises A, B,...N y, por tanto, del so productu, podemos llograr la conclusión Y con valor de verdá V, siempres y cuando dichu esquema de inferencia seya una llei lóxica, ye dicir la so tabla de verdá amuésenos que ye una tautoloxía.

Pola regla de separación vamos poder concluyir Y, de forma independiente como verdá.

Dada la poca operatividad de les tables de verdá, el cálculu constrúyese como una cadena deductiva aplicando a les premises o a los teoremas deducíos les lleis lóxiques utilizaes como regles de tresformamientu, como s'espón en cálculu lóxicu.

El llinguaxe natural como modelu d'un cálculu lóxicu

Naturalmente'l cálculu lóxicu ye útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se faen tales aplicaciones?

Podemos considerar que'l llinguaxe natural ye un modelu de C si podemos sometelo, esto ye, aplica-y una correspondencia en C.^[18]

Pa ello ye necesariu someter al llinguaxe natural a un procesu de formalización de tala forma que podamos amenorgar les espresiones llingüístiques del llinguaxe natural a EBFs d'un cálculu per aciu regles estrictes calteniendo'l sentíu de verdá lóxica de diches espresiones del llinguaxe natural. Esto ye lo que s'espón en cálculu lóxicu.

Les diverses formes en que tratemos les espresiones llingüístiques formalizaes como proposiciones lóxiques dan llugar a sistemes diversos de formalización y cálculu:

• Cálculu proposicional o cálculu d'enunciaos

Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como una proposición atómica, como un tou ensin analizar.

• Cálculu como lóxica de clases

Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como resultancia del analís de la oración como una rellación d'individuos o posibles individuos que tienen o nun tener una propiedá común determinada como pertenecientes o non pertenecientes a una clase natural o a un conxuntu como individuos.

• Cálculu de predicaos o cuantificacional

Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como resultancia del analís de la mesma de forma que una posible función predicativa (P), predicar d'unos posibles suxetos variables (x) [tomaos en tola so posible estensión: (Tolos x); o referente a dellos indeterminaos: (dellos x)], o d'una constante individual esistente (a).

• Cálculu como lóxica de rellaciones

Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdá propiu, verdado o falsu, como resultancia del analís de la oración como una rellación "R" que s'establez ente un suxetu y un predicáu.

La simbolización y formación de EBFs en cada unu d'esos cálculos, según les regles de cálculu tratar en cálculu lóxicu.

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