L'analís funcional ye la caña de les matemátiques, y específicamente del analís, que trata del estudiu d'espacios de funciones. Tienen los sos raigaños históricos nel estudiu de tresformamientos tales como tresformamientu de Fourier y nel estudiu de les ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La pallabra funcional remontar al cálculu de variaciones, implicando una función que'l so argumentu ye una función. El so usu polo xeneral atribuyóse a Volterra.

Na visión moderna inicial, consideróse l'analís funcional como l'estudiu de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complexos. Tales espacios llámense Espacios de Banach. Un exemplu importante ye'l espaciu de Hilbert, onde la norma surde d'un productu angular. Estos espacios son d'importancia fundamental na formulación matemática de la mecánica cuántica. Más xeneral y modernamente, l'analís funcional inclúi l'estudiu de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales llocalmente convexos y entá topolóxicos.

Un oxetu importante d'estudiu n'analís funcional son los operadores lliniales continuos definíos nos espacios de Banach y de Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C* álxebra y otres álxebres d'operadores.

Los espacios de Hilbert pueden ser clasificaos totalmente: hai un espaciu únicu de Hilbert módulu isomorfismu pa cada cardinal de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales entiéndense dafechu en álxebra llinial, y yá que los morfismos de los espacios de Hilbert pueden estremase siempres en morfismos d'espacios con dimensionalidad alef-0 (${\displaystyle \aleph _{0}}$), analís funcional de Hilbert trata sobremanera col espaciu únicu de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y los sos morfismos.

Los espacios de Banach xenerales son muncho más complicaos que los espacios de Hilbert. Puesto que un espaciu de Banach ye un espaciu vectorial, una base ye un sistema de xeneradores linealmente independiente. Esti conceutu, cuando la dimensión nun ye finita, suel escarecer d'utilidá; sustituyir el de conxuntu fundamental. Un conxuntu de vectores ye fundamental si la clausura topolóxica del subespacio vectorial que nicia ye l'espaciu completu. Puesto que un vector pertenez a la so clausura topolóxica si ye la llende d'una socesión de vectores del subespacio vectorial niciáu, afayamos que, en casu de disponer d'un conxuntu fundamental, podemos poner tou vector del espaciu como la llende d'una socesión de combinaciones lliniales de los vectores d'un conxuntu fundamental.

Un exemplu de lo anterior ye'l Teorema d'aproximamientu de Weierstrass qu'afirma que toa función real continua nun intervalu compactu pue ser averada por aciu polinomios. L'espaciu de Banach ye, nesti casu, el conxuntu de les funciones continues nun compactu y el conxuntu fundamental les potencies enteres del argumentu. Esti teorema estender por aciu el teorema de Stone-Weierstrass.

Pa cualquier númberu real p ≥ 1, un exemplu d'un espaciu de Banach vien dau polos espacios L^p.

Nos espacios de Banach, una gran parte del estudiu arreya al espaciu dual: l'espaciu de toes funcionales lliniales continues. Como n'álxebra llinial, el dual del dual nun ye siempres isomorfu al espaciu orixinal, pero hai un monomorfismo natural d'un espaciu nel so doble dual siempres. Esto esplícase nel artículu espaciu dual.

La noción de derivada ampliar a les funciones arbitraries ente los espacios de Banach; resulta que la derivada d'una función en ciertu puntu ye realmente una función llinial continua.

Un exemplu d'espaciu de Banach ye'l Espaciu de Sóbolev.

Equí numberamos delles resultaos importantes del analís funcional:

• Teorema de Banach-Steinhaus ye un resultáu en conxuntos equicontinuos d'operadores.
• Teorema espectral da una fórmula integral pa los operadores normales nun espaciu de Hilbert. Ye d'importancia central na formulación matemática de la mecánica cuántica.
• Teorema de Hahn-Banach ye sobre la estensión de funcionales continuos dende un subespacio a tol espaciu, d'una manera que caltenga la norma.
• Teorema de la función abierta y teorema de la gráfica zarrada.
• Teorema del puntu fixu de Banach

Referencies

• Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980
• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Dunford, N. and Schwartz, J.T. : Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts
• Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod
• Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Anlysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002