هرم باسكال

المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل ${\displaystyle {n \choose i,j,k}}$ حيث ${\displaystyle (i,j,k)}$ مثلوث أعداد صحيحة طبيعية (موجبة) و ${\displaystyle n=i+j+k}$. و هي معرفة بالصيغة ${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!j!k!}}}$ و نجدها في الحالات التالية:

• في الجبر.
• في التعداد.
• في الإحصاء.

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}}$، و هو صحيح لكل مثلوث ${\displaystyle (i,j,k)}$ من الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث ${\displaystyle n=i+j+k}$. تظل هذه القاعدة صحيحة في الحالاتi ، j أو k يساوي 0، بشرط أن يكون :${\displaystyle {n' \choose i',j',k'}=0}$ إذا كان ${\displaystyle i'\leq -1}$ أو ${\displaystyle j'\leq -1}$ أو ${\displaystyle k'\leq -1}$ و ${\displaystyle n'=i'+j'+k'\geq 0}$.

${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{(i-1)!j!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!(j-1)!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!j!(k-1)!}}}$

لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن ${\displaystyle {\frac {1}{(i-1)!}}={\frac {i}{i!}}}$، وبالتالي فإن المقام المشترك هو ${\displaystyle i!j!k!}$

وهكذا : ${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{i!j!k!}}\left(i+j+k\right)}$

و الحال أن ${\displaystyle n=i+j+k}$ و ${\displaystyle (n-1)!n=n!}$ و بالتالي :${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {n!}{i!j!k!}}={n \choose i,j,k}}$