نموذج بور

نموذج بور دقيق فقط لنظام يحتوى على إلكترون واحد فقط مثل ذرة الهيدروجين أو الأيون الأحادى للهيليوم. وسيتم استخدام نموذج بور لإستنتاج مستويات الطاقة للهيدروجين.

وسنقوم بالبدء ببيان ثلاثة فروض أولية:

• 1- في عام 1924م إقترح العالم الفرنسي لويس دي برولي أن كل الجسيمات لها طبيعة موجية (انظر ازدواجية موجة-جسيم)، والطول الموجي للإلكترون ${\displaystyle \lambda }$، يتناسب مع سرعته ${\displaystyle v}$ كالتالي:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{m_{e}v}}}$

حيث، ${\displaystyle h}$ هي ثابت بلانك، ${\displaystyle m_{e}}$ هي كتلة الإلكترون. ولم يقم بور بعمل هذا الافتراض (والذي يعرف بطول موجة دي برولي) في شكله المشتق الأصلي، لأنه لم يكن قد تم فرضه في هذا الوقت. عموما فإن هذا يسمح بلإفتراض الآتي:

• 2- محيط المدار الذي يدور فيه الإلكترون لابد أن يكون ناتج من ضرب رقم صحيح في قيمة الطول الموجي للإلكترون:

${\displaystyle 2\pi r=n\lambda \,}$

حيث، ${\displaystyle r}$ نصف قطر المدار الذي يدور فيه الإلكترون، ${\displaystyle n}$ هي رقم صحيح.

• 3- يظل الإلكترون في المدار عن طريق قوة كولوم، وهذه القوى تساوى قوة جذب مركزية:

${\displaystyle {\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\,}$

حيث ${\displaystyle k=1/{4\pi \epsilon _{0}}}$, و${\displaystyle e}$ هي شحنة الإلكترون.

وهذه ثلاث معادلات مع ثلاث معطيات غير معلومة: ${\displaystyle \lambda }$ و${\displaystyle r}$ و${\displaystyle v}$. وبعد حل معادلات هذا النظام نجد معادلة واحدة خاصة بالمجهول ${\displaystyle v}$ نضعها في المعادلة الخاصة بالطاقة الكلية (الطاقة الكلية = طاقة الحركة + طاقة الوضع) للإلكترون:

${\displaystyle E\,}$	${\displaystyle =E_{kinetic}+E_{potential}\,}$
	${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{e}v^{2}-{\frac {ke^{2}}{r}}}$

وبسبب نظرية فيريال يتم تبسيط الطاقة الكلية لتصبح:

${\displaystyle E=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{e}v^{2}}$

وأخيرا نجد معادلة تعطينا الطاقة للمستويات المختلفة للهيدروجين:

${\displaystyle E_{n}\,}$	${\displaystyle =-2\pi ^{2}k^{2}\left({\frac {m_{e}e^{4}}{h^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}\,}$
	${\displaystyle ={\frac {-m_{e}e^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}\,}$
	${\displaystyle ={\frac {-13.6\ \mathbf {eV} }{n^{2}}}\,}$

وعلى هذا، يكون أقل مستويات الطاقة للهيدروجين ${\displaystyle n=1}$ يساوى ${\displaystyle -13.6}$ eV. ومستوى الطاقة التالي ${\displaystyle n=2}$ يساوى ${\displaystyle -3.4}$ إلكترون فولت، والثالث ${\displaystyle n=3}$ يساوى ${\displaystyle -1.51}$ إلكترون فولت، وهكذا.

لاحظ أن كل هذه الطاقات أقل من الصفر، وهذا يعنى أن الإلكترون في حالة ارتباط مع البروتون.

عندما ينتقل الإلكترون من مستوى طاقة لمستوى آخر، فإنه يطلق فوتونا (شعاع ضوء ذو طول موجة محدد (كمومي). وباستخدام المعادلة الخاصة بمستويات الطاقة للهيدروجين يمكن تحديد الأطوال الموجية للضوء الذي يمكن أن ينبعث من الهيدروجين.

أولا يتم حساب الطاقة التي تنبعث من الهيدروجين بحساب الفرق بين مستويين من مستويات طاقة الهيدروجين:

${\displaystyle E=E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}e^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,}$

حيث ${\displaystyle n_{f}}$ تعنى مستوى الطاقة الأخير، و${\displaystyle n_{i}}$ تعنى مستوى الطاقة المبدئي (بافتراض ان مستوى الطاقة الأخير أقل من المستوى المبدئي).

وحيث ان طاقة الفوتون تساوي:

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}\,}$

يكون الطول الموجي للفوتون المنبعث يساوي:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{e}e^{4}}{8ch^{3}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,}$

والذي يعرف ب صيغة ريدبرغ.

وهذه المعادلة كانت معروفة للعلماء الذين قاموا بعمل دراسة للطيف في القرن التاسع عشر، ولكن لم يكن لديهم إثبات نظري للمعادلة حتى قام بور بفرض نظريته.

فشل نموذج بور في تفسير الآتى:

1. تفسير أطياف العناصر الأثقل من الهيدروجين، فهي بالكاد تفسر الذرات التي لها إلكترون وحيد.
2. الفروق النسبية لخطوط الطيف.
3. تواجد خطوط طيف البنية الدقيقة.
4. تأثير زيمان - والتي تفسر وجود تغير في خطوط الطيف عند وجود مجال مغناطيسي خارجى.

• ذرة
• تجربة فرانك-هرتز
• ذرة الهيدروجين
• نيلز بور
• سلسلة ليمان
• ميكانيكا الكم
• صيغة ريدبرغ
• معادلة شرودنجر
• مبدأ أوفباو
• خطوط طيف الهيدروجين

• بور، نيلز (1913). تركيب الذرات والجزيئات (الجزء 1 من 3)
• بور، نيلز (1913). تركيب الذرات والجزيئات (الجزء 2) الأنظمة التي تحتوى على نواة وحيدة الإلكترون. Philosophical Magazine 26: 476-502
• بور، نيلز (1913). تركيب الذرات والجزيئات (الجزء 3) Philosophical Magazine 26: 857-875.
• بور، نيلز (1914). طيف الهيليوم والهيدروجين. Nature 92: 231-232.
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph 2002، الفيزياء الحديثة (الطبعة الرابعة) W. H. Freeman رقم ID=ISBN 0-7167-4345-0

• بوابة الفيزياء
• بوابة الكيمياء