نموذج الكاميرا ذات الثقب

هندسة الكاميرا ذات الثقب. ملاحظة: نظام الإحداثيات x ₁ x ₂ x ₃ في الشكل أعسر ، وهذا هو اتجاه محور OZ في الاتجاه المعاكس للنظام الذي يمكن أن يستخدمه القارئ.

يوضح الشكل الهندسة المتعلقة برسم خرائط للكاميرا ذات الثقب. يحتوي الشكل على العناصر الأساسية التالية:

• نظام إحداثيات متعامد ثلاثي الأبعاد أصله عند النقطة O. فهذا هو المكان الذي توجد فيه <i id="mwJw">فتحة الكاميرا</i> . يشار إلى المحاور الثلاثة لنظام الإحداثيات بـ X1 و X2 و X3. يشير المحور X3 إلى اتجاه رؤية الكاميرا ويشار إليه بالمحور البصري أو المحور الرئيسي أو الشعاع الرئيسي . المستوى الذي يمتد بواسطة المحورين X1 و X2 هو الجانب الأمامي للكاميرا ، أو المستوى الرئيسي .
• مستوى صورة هو المستوى الذي يتم فيه عرض الشكل ثلاثي الأبعاد من خلال فتحة الكاميرا. مستوى الصورة موازي للمحور X1 و X2 ويقع على مسافة ${\displaystyle f}$ من الأصل O في الاتجاه السلبي لمحور X3 ، حيث f هي البعد البؤري للكاميرا ذات الثقب. يعني التنفيذ العملي للكاميرا ذات الثقب أن مستوى الصورة موجود بحيث يتقاطع مع محور X3 عند الإحداثيات -f حيث f> 0 .
• النقطة R عند تقاطع المحور البصري ومستوى الصورة و يشار إليها بالنقطة الرئيسية [1] أو مركز الصورة .
• النقطة P تتواجد في مكان ما عند تنسيق المحاور ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ بالنسبة إلى المحاور X1 و X2 و X3.
• خط إسقاط النقطة P في الكاميرا. هذا هو الخط الأخضر الذي يمر بالنقطة P والنقطة O.
• إسقاط النقطة P على مستوى الصورة ، يُشار إليه بالرمز Q. تُعطى هذه النقطة من خلال تقاطع الشعاع الساقط (الأخضر) مع مستوى الصورة. عمليا يمكننا أن نفترض أن ${\displaystyle x_{3}}$ > 0 مما يعني أن نقطة التقاطع محددة جيدًا.
• يوجد أيضًا نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد في مستوى الصورة ، مع الأصل عند R مع المحورين Y1 و Y2 اللذين يتوازيان مع X1 و X2 ، على التوالي. فتكون إحداثيات النقطة Q بالنسبة إلى نظام الإحداثيات هذا هي ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ .

يُفترض أن تكون فتحة الكاميرا ذات الثقب ، ومن الثقب يجب أن تمر جميع الأشعة الساقطة صغيرة جدا فهي تـُعتبر نقطة. يشار إلى هذه النقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد في المنشورات العلمية بالمركز البصري (أو مركز العدسة ) .[2]

بعد ذلك نريد أن نفهم كيف الإحداثيات ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ من النقطة Q تعتمد على الإحداثيات ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ من النقطة P. يمكن القيام بذلك بمساعدة الشكل التالي الذي يُظهر نفس المشهد مثل الشكل السابق ولكن الآن من أعلى ، بالنظر إلى الأسفل في الاتجاه السلبي لمحور X2.

هندسة الكاميرا ذات الثقب كما تُرى من المحور X2

في هذا الشكل نرى مثلثين متشابهين وكلاهما يحتوي على أجزاء من الشعاع الساقط (أخضر) مثل الوتر . ضلع المثلث الأيسر هي ${\displaystyle -y_{1}}$ و f و ضلع المثلث القائم ${\displaystyle x_{1}}$ و ${\displaystyle x_{3}}$ . بما أن المثلثين متشابهان ، فنجد أن :

${\displaystyle {\frac {-y_{1}}{f}}={\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$ أو ${\displaystyle y_{1}=-{\frac {f\,x_{1}}{x_{3}}}}$

يعطي تحقيق مماثل ببحث في الاتجاه السلبي لمحور X1 المعادلة:

${\displaystyle {\frac {-y_{2}}{f}}={\frac {x_{2}}{x_{3}}}}$ أو ${\displaystyle y_{2}=-{\frac {f\,x_{2}}{x_{3}}}}$

يمكن تلخيص هذا على أن :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=-{\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

وهو تعبير يصف العلاقة بين الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ للنقطة P وإحداثيات صورتها ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ عند النقطة Q في مستوى الصورة.

يمكن أيضًا تمثيل الانتقال من إحداثيات ثلاثية الأبعاد للنقاط في الفضاء إلى إحداثيات صورة ثنائية الأبعاد في إحداثيات متجانسة . نعتبر ${\displaystyle \mathbf {x} }$ تمثل نقطة ثلاثية الأبعاد في إحداثيات متجانسة (متجه رباعي الأبعاد) ، ونفترض أن ${\displaystyle \mathbf {y} }$ تكون لصورة هذه النقطة في الكاميرا ذات الثقب (ناقل ثلاثي الأبعاد). نصل إلى العلاقة التالية :

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

حيث ${\displaystyle \mathbf {C} }$ هي مصفوفة الكاميرا 3x4 والعلامة ${\displaystyle \,\sim }$ يتني المساواة بين عناصر المساحات الإسقاطية . هذا يعني أن الجانبين الأيمن والأيسر متساويان في الضرب القياسي غير الصفري. نتيجة لهذه العلاقة هو أن ${\displaystyle \mathbf {C} }$ يمكن رؤيتها كعنصر من عناصر الفضاء الإسقاطي ؛ مصفوفتي الكاميرا تكون متكافئتين إذا كانتا متساويتي الجدوى . هذا الوصف لرسم خرائط الكاميرا ذات الثقب ، كتحول خطي ${\displaystyle \mathbf {C} }$ بدلاً من أن يكونا تعبيرين خطيين . هذا يجعل من الممكن تبسيط العديد من اشتقاقات العلاقات بين إحداثيات ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد. 

• استئصال الكاميرا
• معادلة العلاقة الخطية المتداخلة
• بعد المدخل ، الموقع المكافئ للثقب بالنسبة لبعد الشخص الواقف أمام الكاميرا .
• بعد الخروج ، الموقع المكافئ للثقب بالنسبة لمستوى الصورة في كاميرا حقيقية.
• ابن الهيثم
• الكاميرا ذات الثقب ، التطبيق العملي للنموذج الرياضي الموصوف في هذه المقالة.
• عدسة مستقيمة

• David A. Forsyth and Jean Ponce (2003). Computer Vision, A Modern Approach. Prentice Hall. ISBN:0-12-379777-2.
• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN:0-521-54051-8. مؤرشف من الأصل في 2023-01-19.
• Bernd Jähne (1997). Practical Handbook on Image Processing for Scientific Applications. CRC Press. ISBN:0-8493-8906-2.
• Linda G. Shapiro ‏ and George C. Stockman (2001). Computer Vision. Prentice Hall. ISBN:0-13-030796-3.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء عددية: قائمة المؤلفين (link) صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)
• Gang Xu and Zhengyou Zhang (1996). Epipolar geometry in Stereo, Motion and Object Recognition. Kluwer Academic Publishers. ISBN:0-7923-4199-6. مؤرشف من الأصل في 2023-01-19.

• بوابة هندسة رياضية