نعومة دالة

باعتبار مجال ${\displaystyle J\subset \mathbb {R} }$ وعدد صحيح ${\displaystyle k\geq 1}$، تعرف فضاءات الدوال التالية:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J,\mathbb {R} )}$: مجموعة الدوال المتصلة من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$: مجموعة الدوال من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$ القابلة للاشتقاق حتى الرتبة ${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$: جزء ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ المكون من الدوال القابلة للاشتقاق حتى الرتبة ${\displaystyle k}$ ومشتقاتها من هذه الرتبة متصلة.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$ (وهي تكافئ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$): مجموعة الدوال من ${\displaystyle J}$ نحو ${\displaystyle \mathbb {R} }$ القابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية، وهي تعرف بالدوال الملساء أو المنتظمة.

كل مجموعة من هذه المجموعات جبر على حقل وهي بالتالي فضاءات متجهية على ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

بما أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال فإن هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J)\supset {\mathcal {D}}^{1}(J)\supset {\mathcal {C}}^{1}(J)\supset {\mathcal {D}}^{2}(J)\supset {\mathcal {C}}^{2}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{\infty }(J)}$

الدالة مقلوب هي دالة ناعمة لأن لها عدد غير منته من المشتقات.[4]

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle f'(x)=\left({\frac {-1}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2}{x^{3}}}\right)}$

ثم تستمر المشتقات إلى ${\displaystyle +\infty }$

1- Classe de régularité

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات