نظرية نيوتن-كارتان

في نظرية نيوتن-كارتان، يبدأ المرء بمشعب سلس رباعي الأبعاد ${\displaystyle M}$ ويحدد اثنين (المنحل) المقاييس. مقياس زمني ${\displaystyle t_{ab}}$ مع الشارة${\displaystyle (1,0,0,0)}$، تستخدم لتعيين أطوال زمنية للمتجهات على ${\displaystyle M}$ ومقياس مكاني ${\displaystyle h^{ab}}$ مع الشارة ${\displaystyle (0,1,1,1)}$. يتطلب المرء أيضًا أن يفي هذان المقياسان بالشرط العرضي (أو "التعامد") ، ${\displaystyle h^{ab}t_{bc}=0}$ . وهكذا، يعرّف المرء الزمكان الكلاسيكي بأنه رباعي منظم ${\displaystyle (M,t_{ab},h^{ab},\nabla )}$، حيث ${\displaystyle t_{ab}}$ و ${\displaystyle h^{ab}}$ كما هو موصوف، ${\displaystyle \nabla }$ عامل مشتق متغاير متوافق مع المقاييس؛ وتفي المقاييس بشرط التعامد. يمكن للمرء أن يقول أن الزمكان الكلاسيكي هو نظير الزمكان النسبي ${\displaystyle (M,g_{ab})}$، حيث ${\displaystyle g_{ab}}$ هو مقياس لورنتزي سلس على المشعب ${\displaystyle M}$.

في نظرية نيوتن للجاذبية، تقرأ معادلة بواسون

${\displaystyle \Delta U=4\pi G\rho \,}$

حيث ${\displaystyle U}$ هو جهد الجاذبية، ${\displaystyle G}$ هو ثابت الجاذبية و ${\displaystyle \rho }$ هي كثافة الكتلة. يحفز مبدأ التكافؤ الضعيف نسخة هندسية لمعادلة الحركة لجسيم نقطة في الجهد${\displaystyle U}$

${\displaystyle m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla }}U}$

حيث ${\displaystyle m_{t}}$ هي كتلة القصور الذاتي ${\displaystyle m_{g}}$ كتلة الجاذبية. منذ ذلك الحين، وفقا لمبدأ التكافؤ الضعيف ${\displaystyle m_{t}=m_{g}}$ معادلة الحركة

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=-{\vec {\nabla }}U}$

لم يعد يحتوي على إشارة إلى كتلة الجسيم. بعد فكرة أن حل المعادلة هو خاصية انحناء الفضاء، يتم إنشاء اتصال بحيث تكون المعادلة الجيوديسية

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0}$

يمثل معادلة حركة جسيم نقطة في الجهد ${\displaystyle U}$. الاتصال الناتج هو

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

مع ${\displaystyle \Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}}$ و ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}}$ ( ${\displaystyle A,B=1,2,3}$ ). تم إنشاء الاتصال في نظام بالقصور الذاتي ولكن يمكن إثبات صلاحيته في أي نظام بالقصور الذاتي من خلال إظهار ثبات ${\displaystyle \Psi _{\mu }}$ و ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }}$ تحت تحولات جالالي. ثم يتم إعطاء موتر انحناء ريمان في إحداثيات نظام القصور الذاتي لهذا الاتصال من قبل

${\displaystyle R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }}$

حيث بين قوسين ${\displaystyle A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]}$ يعني أن المزيج غير المتماثل من الموتر ${\displaystyle A_{\mu \nu }}$. يتم إعطاء موتر ريتشي من قبل

${\displaystyle R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,}$

مما يؤدي إلى اتباع الصيغة الهندسية لمعادلة بواسون

${\displaystyle R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

بشكل أكثر وضوحًا، إذا كانت المؤشرات الرومانية i و j تتراوح بين الإحداثيات المكانية 1 ، 2 ، 3 ، فإن الاتصال يتم من خلال

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=U_{,i}}$

موتر انحناء ريمان

${\displaystyle R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}}$

و موتر ريتشي وريتشي العددية بواسطة

${\displaystyle R=R_{00}=\Delta U}$

حيث جميع المكونات غير المدرجة تساوي الصفر.

لاحظ أن هذه الصيغة لا تتطلب إدخال مفهوم المقياس: فالوصلة وحدها تعطي كل المعلومات المادية.

وقد تبين أن نظرية الجاذبية رباعية الأبعاد لنيوتن-كارتان يمكن إعادة صياغتها على أنها تخفيض كلوزا-كلاين لجاذبية أينشتاين خماسية الأبعاد على طول اتجاه يشبه الصفر. [9] يعتبر هذا الرفع مفيدًا للنماذج الثلاثية الأبعاد غير النسبية. [10]

• Cartan، Élie (1923)، "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF)، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure، ج. 40، ص. 325، DOI:10.24033/asens.751
• Cartan، Élie (1924)، "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF)، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure، ج. 41، ص. 1، DOI:10.24033/asens.753
• Cartan، Élie (1955)، Œuvres complètes، Gauthier-Villars، ج. III/1، ص. 659, 799
• Renn؛ Schemmel، Matthias، المحررون (2007)، The Genesis of General Relativity، Springer، ج. 4، ص. 1107–1129 (الترجمة الإنجليزية لـ Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40 paper)
• الفصل الأول من Ehlers، Jürgen (1973)، "Survey of general relativity theory"، في Israel (المحرر)، Relativity, Astrophysics and Cosmology، D. Reidel، ص. 1–125، ISBN:90-277-0369-8 Ehlers، Jürgen (1973)، "Survey of general relativity theory"، في Israel (المحرر)، Relativity, Astrophysics and Cosmology، D. Reidel، ص. 1–125، ISBN:90-277-0369-8

• بوابة الفيزياء
• بوابة علم الكون