نظرية غالوا

لتكن المعادلة التربيعية التالية:

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

باستعمال صيغة حلحلة المعادلات التربيعية، يحصل على ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

الجذران ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ يحققان المعادلتين التاليتين:${\displaystyle A+B=4}$ و:${\displaystyle AB=1}$

إذا أخذ ${\displaystyle A}$ مكان ${\displaystyle B}$ و${\displaystyle B}$ مكان ${\displaystyle A}$ في هاتين المعادلتين، فإننا نحصل على معادلتين أخرتين، صحيحتين أيضا. على سبيل المثال، المعادلة ${\displaystyle A+B=4}$ تصير ${\displaystyle B+A=4}$.

يُستنتج من ذلك أن زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود ${\displaystyle x^{2}-4x+1}$ هي زمرة مكونة من تبديلتين اثنتين، أولاهما هي التبديلة المحايدة (التي تترك كل عنصر على حاله)، وثانيهما هي التبديلة التي تستبدل العنصر الأول بالثاني والثاني بالأول. هي زمرة دائرية درجتها اثنان. هي إذن زمرة مساوية الشكل ل Z/2Z. انظر إلى متعددة حدود تماثلية وإلى تبديل دائري.

لتكن المعادلة الرباعية التالية:

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

والتي يمكن أن تكتب أيضا كما يلي:

${\displaystyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24.}$

نحاول أن نصف زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه، عبر مجموعة الأعداد الجذرية. لهذه المعادلة أربعة جذور هن:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

هناك أربعة وعشرون تبديلة لهذه الجذور (${\displaystyle 4!=24}$)، ولكن لسن كلهن أعضاء من زمرة غالوا (أي أن ليس كلهن ينتمين إلى زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه).

على سبيل المثال، مجموع العنصرين الأول والأخير من مجموعة الجذور الأربعة، كما جئن في الترتيب أعلاه، يساوي الصفر. أيضا، مجموع العنصرين الثاني والثالث يساوي الصفر. هذا يقصي من زمرة غالوا التبديلة (A, B, C, D) → (A, D, C, B).

زمرة غالوا تتكون من أربعة عناصر (أربعة تبديلات) هن:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A)

هذا يعني أن زمرة غالوا هي زمرة متساوية الشكل مع زمرة كلاين رباعية العناصر.