نظرية الحقل السلمي

أبسط أنواع نماذج الحقل السلمي هو النموذج الخطي. عن طريق إجراء تحليل فورييه للمجالات؛ يمكن التعبير عن الأوضاع التوافقية لعدد لانهائي من الهزازات التوافقية المقترنة ببعضها البعض، إذ يشير العدد x إلى الحد الاستمراري لمؤشر الهزاز i. بالتالي، يمكن التعبير عن فعل نموذج الحقل السلمي النسبي بالتعبير الرياضي الآتي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}}$

حيث يُعرف الرمز ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ باللاغرانجيان،

وتشير الرموز d⁴⁻¹x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx¹ ⋅ dx² ⋅ dx³ إلى الإحداثيات المكانية الثلاثة، ويشير الرمز δ^ij إلى دالة دلتا كرونكر، ويشير التعبير ∂_ρ = ∂/∂x^ρ إلى الإحداثيx^ρ رقم ρ.

يُعد ذلك مثالًا على الفعل التربيعي، إذ إن جميع الحدود المتضمنة في المجال φ هي حدود تربيعية. تُعرف الحدود التي تتناسب مع مربع الكتلة m² في بعض الأحيان بحدود الكتلة نظرًا إلى تأثيرها الفيزيائي في النسخة المُكممة من هذا النموذج بدلالة كتلة الجسيم.

يمكن اشتقاق معادلة الحركة لهذا النموذج عن طريق تطبيق معادلة لاغرانج–أويلر على التعبير الرياضي السابق. تتخذ المعادلة الخطية بالنسبة للمجال φ الشكل التالي:

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,}$

حيث ∇² هو مؤثر لابلاس أو اللابلاسيان. تُعرف تلك المعادلة بمعادلة كلاين–غوردون، وهي تعبر عن معادلة المجال الكلاسيكي عوضًا عن معادلة ميكانيكا الكم للموجة.

أكثر طريقة شائعة لتعميم النموذج الخطي المذكور بالأعلى هي إضافة دالة الجهد القياسي V(Φ) إلى اللاغرانجيان، إذ تتكون V في العادة من دالة كثيرة الحدود بدلالة المجال Φ. يُشار إلى هذا النموذج في بعض الأحيان بالنموذج المتفاعل نظرًا إلى أن معادلة أويلر–لاغرانج المقترنة به غير خطية، ما يشير إلى تفاعل الجسيم مع البيئة المحيطة به.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}$

يظهر الحد الذي يحتوي على المضروب (n!) في المعادلة نظرًا إلى أهميته في تطبيق مفكوك مخطط فاينمان الخاص بالنظرية الكمية كما هو موضح بالأسفل.

معادلة أويلر–لاغرانج المناظرة للنموذج السابق هي:

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.}$

يمكن التعبير عن الكميات الفيزيائية المُستخدمة في نماذج المجالات القياسية ببعد الطول أو الزمن أو الكتلة أو تركيبة معينة من تلك الأبعاد الثلاثة.

ولكن في النظرية النسبية، يمكن تحويل أي مقدار زمني t بسهولة إلى كمية طولية (حيث l =ct) عن طريق ضربها بسرعة الضوء c. وبطريقة مشابهة، أي كمية طولية l هي كمية مكافئة لمعكوس الكتلة (ħ/mc) باستخدام ثابت بلانك ħ. في نظام الوحدات الطبيعية، يمكن التعبير عن الزمن بالطول، ويمكن أيضًا التعبير عن الطول أو الزمن بمعكوس الكتلة.

وباختصار، يمكن التعبير عن أبعاد أي كمية فيزيائية بدلالة بعد مستقل واحد عوضًا عن التعبير عنها بدلالة جميع الأبعاد الثلاثة. يُعرف ذلك اصطلاحًا بأبعاد الكتلة الخاصة بتلك الكمية. وعن طريق معرفة أبعاد كل كمية، يمكن استرجاع الأبعاد التقليدية من الأبعاد الطبيعية المُعرفة بدلالة أبعاد الكتلة عن طريق إعادة إدخال أسس الثابتين (ثابت بلانك وسرعة) اللازمة لتحقيق التوازن البعدي.

قد يعترض أحدهم أن هذه النظرية هي نظرية كلاسيكية، ما يعني أن المعنى الفيزيائي لثابت بلانك مبهم. وبالفعل، يمكن إعادة صياغة النظرية بدون استخدام أبعاد الكتلة على الإطلاق، ولكن في المقابل سوف يؤدي ذلك إلى حجب العلاقة بين النظرية الكلاسيكية ونظرية المجال الكمي. يمكن اعتبار ثابت بلانك في تلك الحالة كمية مرجعية ثابتة عشوائية (ولا صلة لها بتكمية الطاقة بضرورة الحال)، ولذا يُعد هذا الثابت مناسبًا لتحويل أبعاد الطول إلى معكوسات أبعاد الكتلة.

يمكن اشتقاق مفكوك مخطط فاينمان باستخدام صيغة تكامل مسار فاينمان.[4] إذ يمكن اشتقاق قيم الفراغ المتوقعة المرتبة زمنيًا لكثيرات الحدود الخاصة بالمجال φ، أو ما يُعرف أيضًا بدوال غرين النونية عن طريق إجراء عملية التكامل على جميع المجالات الممكنة المُعايرة باستخدام قيمة الفراغ المتوقعة كالآتي:

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

يمكن اشتقاق دوال غرين عن طريق فك الدالة الآسية في الحد J(x)φ(x) المُعطى في الدالة المولدة الآتية:

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .}$

يمكن تطبيق مؤثر دوران ويك لتحويل الزمن إلى كمية تخيلية. ومن ثم يمكن تغيير نمط الإشارات إلى (+،+،+،+) لتحويل تكامل فاينمان إلى جملة الحالات في الفضاء الإقليدي:

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

في العادة، ينطبق التعبير السابق على تشتت الجسيمات التي تمتلك كمية حركة ثابتة، وفي تلك الحالة يمكن إجراء تحويل فورييه للوصول إلى النتيجة الآتية:

${\displaystyle {\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left[{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}+{\lambda \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}-{\widetilde {J}}{\widetilde {\phi }}\right]}.}$

تكمن الخطوة الرياضية التالية لحساب التكامل الوظيفي السابق في كتابته على صيغة حاصل ضرب عوامل أسية، ويعبر عن ذلك بالآتي:

${\displaystyle {\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]\sim \int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}}e^{-{g \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}}e^{{\widetilde {J}}{\widetilde {\phi }}}\right].}$

يمكن فك العامل الأسي الأخير على صورة متسلسلة قوى، ومن ثم يمكن تمثيل توافيق هذا المفكوك بيانيًا باستخدام مخططات فاينمان.

في حالة (λ = 0)، يمكن التعامل مع تلك التكاملات على صورة حاصل ضرب عدد لانهائي من تكاملات غاوس الابتدائية، إذ يمكن التعبير عن الناتج على صورة مجموع مخططات فاينمان التي يمكن إنشاؤها باتباع قواعد فاينمان الآتية:

يُمثل كل مجال  ~φ(p)في دالة غرين الإقليدية النونية باستخدام خط خارجي في الرسم، وهو مُقترن بكمية الحركة p.

تُمثل جميع الرؤوس بالمعامل –g.

يجب إنشاء جميع المخططات التي تحتوي على عدد n من الخطوط الخارجية وعدد k من الرؤوس بحيث يكون مجموع كميات الحركة المتدفقة إلى كل رأس يساوي الصفر. تُمثل جميع الخطوط الداخلية بدالة الانتشار 1/(q² + m²) حيث q هو مجموع كميات الحركة المتدفقة عبر هذا الخط.

تتم مكاملة جميع كميات الحركة غير المقيدة على المسار الذي يتضمن جميع القيم.

يُقسم الناتج على معامل التماثل الذي يساوي عدد جميع الطرق الممكنة لإعادة ترتيب الخطوط والرؤوس بدون تغيير طريقة توصيلها.

لا تصح إضافة رسومات تحتوي على فقاعات الفراغ، ولا تجوز الرسومات الفرعية التي لا تحتوي على خطوط خارجية.

تراعي القاعدة الأخيرة تأثير القسمة على ~Z[0]. تتشابه القواعد السابقة مع قواعد فاينمان الخاصة بفضاء مينكوفسكي باستثناء الرؤوس التي تُمثل بالمعامل –ig والخطوط الخارجية التي تُمثل بدالة الانتشار i/(q²−m²+iε)، بينما يمثل الحد ε دوران ويك الصغير اللازم لجعل ناتج تكامل فضاء مينكوفسكي متقاربًا.