نظام معادلات خطية

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

${\displaystyle 3x+2y=6}$ و ${\displaystyle \;\;\;\;3x+2y=12}$ غير متناسقتين.

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

${\displaystyle 3x+y=6}$ و ${\displaystyle \;\;\;\;3x+3y=12}$ متكافئتان لأن ${\displaystyle x=1,y=3}$.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}}$

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}$

تعطى بما يلي:

${\displaystyle x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.}$

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}$

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

${\displaystyle -2y=-2\,}$

أي أن:

${\displaystyle y=1\,}$

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

${\displaystyle x=2\,}$

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}$

نأخذ ${\displaystyle x=3-y\,}$ فنجد :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}$

أي :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}y&\;=&\;{\frac {3-1}{2}}&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}$

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x+1&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}$

أي أن :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\end{alignedat}}}$

هكذا :

${\displaystyle x=2\,}$ و ${\displaystyle y=1\,}$

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة