نصف قطر الأرض

يتسبب دوران الكوكب في تقريبه من شكل إهليلجي / كروي مفلطح مع انتفاخ عند خط الاستواء والتسطيح عند القطبين الشمالي والجنوبي، بحيث يكون نصف القطر الاستوائي a أكبر من نصف القطر القطبي b بمقدار aq تقريبًا. يتم إعطاء ثابت الانحراف q بواسطة العلاقة التالية:

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

حيث ω هو التردد الزاوي، وG هو ثابت الجاذبية، وM نسبة كتلة الكوكب.[4] لكتلة الأرض

وبالنسبة للأرض، فإن: 1/q ≈ 289

وهو قريب من القيمة العكسية المقاسة:

1/f ≈ 298.257

كما يظهر الانتفاخ عند خط الاستواء اختلافات بطيئة. كان الانتفاخ يتناقص، ولكن منذ عام 1998 لوحظ أن الانتفاخ قد ازداد، ربما بسبب إعادة توزيع كتلة المحيطات من خلال التيارات.[5]

يؤدي التباين في الكثافة وسمك القشرة إلى اختلاف الجاذبية عبر السطح وفي الوقت المناسب، بحيث يختلف متوسط مستوى سطح البحر عن الشكل الإهليلجي. هذا الاختلاف هو ارتفاع الجيود، موجب فوق أو خارج الشكل الإهليلجي، سالب أسفل أو داخل. اختلاف ارتفاع الجيود أقل من 110 متر (360 قدم) على الأرض. يمكن أن يتغير ارتفاع الجيود فجأة بسبب الزلازل (مثل زلزال سومطرة أندامان) أو انخفاض الكتل الجليدية (مثل جرينلاند).[6]

ولا تنشأ كل التشوهات داخل الأرض، فيمكن أن يتسبب الجذب الثقالي من القمر أو الشمس في تغير سطح الأرض عند نقطة معينة بمقدار أعشار المتر خلال فترة 12 ساعة تقريبًا (انظر المد الأرضي).

طريقة البيروني (973-1048) لحساب نصف قطر الأرض تبسيط قياس المحيط مقارنة بأخذ القياسات من موقعين بعيدين عن بعضهما البعض.

نظرًا للتأثيرات المحلية والعابرة على ارتفاع السطح، فإن القيم المحددة أدناه تستند إلى نموذج «الغرض العام»، والذي تم تنقيحه عالميًا بأكبر قدر ممكن من الدقة في غضون 5 متر (16 قدم) من الارتفاع الإهليلجي المرجعي، وفي حدود 100 متر (330 قدم) من متوسط مستوى سطح البحر (مع إهمال ارتفاع الجيود).

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقدير نصف القطر من انحناء الأرض عند نقطة ما. مثل الطارة، يكون الانحناء عند نقطة ما أكبر (أضيق) في اتجاه واحد (شمال - جنوب على الأرض) والأصغر (مسطحًا) بشكل عمودي (شرق - غرب). يعتمد نصف قطر الانحناء المقابل على موقع واتجاه القياس من تلك النقطة. والنتيجة هي أن المسافة إلى الأفق الحقيقي عند خط الاستواء أقصر قليلاً في الاتجاه الشمالي / الجنوبي منها في الاتجاه الشرقي الغربي.

باختصار، تمنع الاختلافات المحلية في التضاريس تحديد نصف قطر «دقيق» واحد. يمكن للمرء أن يتبنى نموذجًا مثاليًا فقط. منذ تقدير إراتوستينس، تم إنشاء العديد من النماذج. تاريخياً، كانت هذه النماذج تعتمد على التضاريس الإقليمية، مما يعطي أفضل مرجع إهليلجي للمنطقة قيد المسح. مع اكتساب الاستشعار عن بعد بالأقمار الصناعية وخاصة نظام تحديد المواقع العالمي أهمية، تم تطوير نماذج عالمية حقيقية، على الرغم من أنها ليست دقيقة للعمل الإقليمي، إلا أنها تقترب بشكل أفضل من الأرض ككل.

نصف قطر الأرض الاستوائي a، أو المحور شبه الرئيسي، هو المسافة من مركزها إلى خط الاستواء وتساوي 6,378.1370 كيلومتر (3,963.1906 ميل).[9] غالبًا ما يستخدم نصف القطر الاستوائي لمقارنة الأرض بالكواكب الأخرى.

نصف القطر القطبي للأرض b، أو المحور شبه الصغير، هو المسافة من مركزها إلى القطبين الشمالي والجنوبي، وتساوي 6,356.7523 كيلومتر (3,949.9028 ميل).

المسافة من مركز الأرض إلى نقطة على سطح كروي عند خط العرض الجيوديسي φ هي:

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}}$

حيث a وb هما، على التوالي، نصف القطر الاستوائي ونصف القطر القطبي.

• الحد الأقصى: قمة شيمبورازو هي 6,384.4 كيلومتر (3,967.1 ميل) من مركز الأرض.
• الحد الأدنى: يبلغ قاع المحيط المتجمد الشمالي حوالي 6,352.8 كيلومتر (3,947.4 ميل) من مركز الأرض.[10]

هناك نوعان من أنصاف الأقطار الرئيسية للانحناء: على طول المقاطع العادية الرأسية والخطية. الانحناءات هي جذور المعادلة (125) في:[11]

${\displaystyle (EG-F^{2})\,\kappa ^{2}-(eG+gE-2fF)\,\kappa +(eg-f^{2})=0=\det(A-\kappa \,B),}$

حيث في الشكل الأساسي الأول للسطح (المعادلة (112) في [11]):

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}a_{ij}dw^{i}dw^{j}=E\,d\varphi ^{2}+2F\,d\varphi \,d\lambda +G\,d\lambda ^{2},}$

E وF وG عناصر من موتر متري:

${\displaystyle A=a_{ij}=\sum _{\nu }{\frac {\partial r^{\nu }}{\partial w^{i}}}{\frac {\partial r^{\nu }}{\partial w^{j}}}=\left[{\begin{array}{ll}E&F\\F&G\end{array}}\right],}$

${\displaystyle r=[r^{1},r^{2},r^{3}]^{T}=[x,y,z]^{T}}$ و${\displaystyle w^{1}=\varphi }$ و${\displaystyle w^{2}=\lambda ,}$

في الشكل الأساسي الثاني للسطح (المعادلة (123) في [11]):

${\displaystyle 2D=\sum _{ij}b_{ij}dw^{i}dw^{j}=e\,d\varphi ^{2}+2f\,d\varphi \,d\lambda +g\,d\lambda ^{2},}$

e وf وg عناصر من موتر الشكل:

${\displaystyle B=b_{ij}=\sum _{\nu }n^{\nu }{\frac {\partial ^{2}r^{\nu }}{\partial w^{i}\partial w^{j}}}=\left[{\begin{array}{ll}e&f\\f&g\end{array}}\right],}$

${\displaystyle n={\frac {N}{|N|}}}$ هل الوحدة طبيعية على السطح عند ${\displaystyle r}$ وبسبب ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}}$ و${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}$ هي الظلال على السطح،

${\displaystyle N={\frac {\partial r}{\partial \varphi }}\times {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}$

أمر طبيعي للسطح عند ${\displaystyle r}$.

مع ${\displaystyle F=f=0}$ بالنسبة إلى شكل كروي مفلطح، تكون الانحناءات

${\displaystyle \kappa _{1}={\frac {g}{G}}}$ و${\displaystyle \kappa _{2}={\frac {e}{E}}\,,}$

ونصف قطر الانحناء

${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{\kappa _{1}}}}$ و${\displaystyle R_{2}={\frac {1}{\kappa _{2}}}.}$

هندسيًا، يعطي الشكل الأساسي الثاني المسافة من ${\displaystyle r+dr}$ المماس للطائرة عند ${\displaystyle r}$.

على وجه الخصوص، نصف قطر انحناء الأرض في خط الطول (الشمال والجنوب) عند φ هو:

${\displaystyle M(\varphi )=R_{1}={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

حيث ${\displaystyle e}$ هو شذوذ الأرض. هذا هو نصف القطر الذي قاسه إراتوستينس.

إذا ظهرت إحدى النقاط شرق الأخرى، فسيجد المرء الانحناء التقريبي في اتجاه الشرق والغرب.

تعرف نصف قطر انحناء أول السموت للأرض بأنها عمودية على M عند خط العرض الجيوديسي φ هو:

${\displaystyle N(\varphi )=R_{2}={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

عند خط الاستواء N = R يعطي BR Bowring [12] دليلًا هندسيًا على أن هذه هي المسافة العمودية من السطح إلى المحور القطبي.

ثلاثة أنصاف أقطار مختلفة كدالة لخط عرض الأرض. R هو نصف قطر مركزية الأرض ؛ M هو نصف قطر الزوال للانحناء ؛ وN هو نصف القطر الرأسي الأولي للانحناء.

يساوي نصف قطر الزوال للانحناء عند خط الاستواء مستقيم خط الطول شبه العريض:

b²/a= 6,335.439 km

نصف قطر الأرض القطبي للانحناء هو:

a²/b= 6,399.594 km

اتجاهي

يُشتق نصف قطر انحناء الأرض على طول مسار عند السمت (يقاس في اتجاه عقارب الساعة من الشمال) α عند φ من صيغة انحناء أويلر على النحو التالي:[13] ^:97

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

من الممكن الجمع بين أنصاف الأقطار الرئيسية للانحناء أعلاه بطريقة غير اتجاهية.

الانحناء الغاوسي هو ${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$. نصف قطر انحناء الأرض الغاوسي عند خط العرض φ هو:[13]

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

متوسط نصف قطر الأرض للانحناء عند خط العرض φ هو:[13] ^:97

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

خط الاستواء ( أ ) والقطبي ( ب ) ومتوسط نصف قطر الأرض على النحو المحدد في مراجعة النظام الجيوديسي العالمي لعام 1984 (وليس القياس)

في الجيوفيزياء، يحدد الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء (IUGG) متوسط نصف القطر (المشار إليه R₁) ليكون [2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

بالنسبة للأرض، متوسط نصف القطر هو 6,371.0088 كيلومتر (3,958.7613 ميل).[14]

في علم الفلك، يشير الاتحاد الفلكي الدولي إلى نصف قطر الأرض الاستوائي الاسمي ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$، والتي تم تعريفها على أنها 6,378.1 كيلومتر (3,963.2 ميل). ^:3 يتم تعريف نصف قطر الأرض القطبي الاسمي على أنه ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pE} }^{\mathrm {N} }}$ = 6,356.8 كيلومتر (3,949.9 ميل). تتوافق هذه القيم مع نصف قطر المد والجزر. يستخدم نصف القطر الاستوائي تقليديًا كقيمة اسمية ما لم يكن نصف القطر القطبي مطلوبًا بشكل صريح. ^:4

نصف قطر الأرض ذاتيًا («المنطقة المتساوية») هو نصف قطر الكرة الافتراضية المثالية التي لها نفس مساحة السطح مثل الشكل الإهليلجي المرجعي. يشير IUGG إلى نصف القطر الذاتي كـ R₂.[2]

يوجد حل مغلق الشكل لكروي:[15]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\left({\frac {1+e}{b/a}}\right)}}{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

حيث e² = a² − b²/a² وA هي مساحة سطح كروي.

بالنسبة للأرض، يبلغ نصف القطر 6,371.0072 كيلومتر (3,958.7603 ميل).[14]

يتم تحديد نموذج كروي آخر من خلال نصف القطر الحجمي، وهو نصف قطر كرة حجم يساوي الشكل الإهليلجي. يشير IUGG إلى نصف القطر الحجمي كـ R₃.[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

بالنسبة للأرض، نصف القطر الحجمي يساوي 6,371.0008 كيلومتر (3,958.7564 ميل).[14]

متوسط نصف القطر الآخر هو نصف القطر المعدل، مما يعطي كرة بمحيط يساوي محيط القطع الناقص الموصوف في أي مقطع عرضي قطبي للقطع الناقص. يتطلب هذا تكاملًا بيضاويًا لإيجاده، بالنظر إلى نصف القطر القطبي والاستوائي:

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

يساوي نصف قطر التصحيح متوسط الطول، والذي يُعرَّف بأنه متوسط قيمة M :[15]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

لحدود التكامل [0،π/2 ]، تكاملات تصحيح نصف القطر ومتوسط نصف القطر يتم تقييمها لنفس النتيجة، والتي، بالنسبة للأرض، تبلغ 6,367.4491 كيلومتر (3,956.5494 ميل).

يتم تقريب متوسط الزوال جيدًا بواسطة المتوسط شبه التكعيبي للمحورين،${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$والتي تختلف عن النتيجة الدقيقة بأقل من 1 ميكرومتر (3.9×10⁻⁵ بوصة) ؛ متوسط المحورين،

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

حوالي 6,367.445 كيلومتر (3,956.547 ميل)، يمكن استخدامها أيضًا.

يتم تحديد الانحناء المتوسط في جميع الاتجاهات في جميع النقاط على السطح من خلال متوسط الانحناء الغاوسي المرجح

${\displaystyle R_{4}={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\!\cos \varphi \,R_{\mathrm {a} }(\varphi )\,d\varphi ={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {{\frac {1}{e^{2}}}-1}}\,\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}$

بالنسبة إلى WGS 84 الناقص، متوسط الانحناء يساوي 6,370.994 كيلومتر (3,958.752 ميل).

تستند معظم أنصاف الأقطار العالمية على الشكل الإهليلجي المرجعي، والذي يقارب الجيود. ومع ذلك، ليس للجيود علاقة مباشرة بالتضاريس السطحية. حساب بديل متوسط الارتفاعات في كل مكان، مما يؤدي إلى متوسط نصف قطر 230 أكبر من IUGG يعني نصف القطر، نصف القطر الذاتي، أو نصف القطر الحجمي. هذا المتوسط هو 6,371.230 كيلومتر (3,958.899 ميل) مع عدم التيقن من 10 متر (33 قدم).[16]