نسبة تبادلية
في الهندسة الرياضية، النسبة التبادلية[1][2][3] (بالإنجليزية: Cross-ratio) هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي:[4]
حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. إذا كانت واحدة من النقاط الأربع نقطةً في اللانهاية، فإنَّ المسافتين الواصلتين بهذه النقطة تُحذف من الصيغة. تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA و B.
دائرة أبولونيوس
تُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: . إذا كانت النقاط مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.. بمعنىً آخر: هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية مساوياً للواحد.[5][6][7]
النسب التوافقية
تُعرّفُ النقطة على أنّها المرافق التوافقي للنقطة بالنسبة لـ و. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي . وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[4] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[4] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي ). إنَّ تقاطعَ حُزمةٍ توافقيةٍ مع الدائرة يُنتجُ رباعياً توافقياً.[8]
معرض صور
- النسبة التناغمية في الهندسة الإسقاطية ، هي النسبة الموجودة بين أربع نقاط متسامتة (A,B,C,D)، التي علاقتها التبادلية تسمى رباعية تناغمية. يمكن إنشاء هذه الرباعية بدءًا من رباعي أضلاع M,N,L,K
مراجع
- "LDLP - Librairie Du Liban Publishers". www.ldlp-dictionary.com. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-13.
- "Al-Qamoos القاموس | English Arabic dictionary / قاموس إنجليزي عربي". www.alqamoos.org. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-13.
- Team, Almaany. "Translation and Meaning of cross ratio In Arabic, English Arabic Dictionary of terms Page 1". www.almaany.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2020-03-13. Retrieved 2020-03-13.
- Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (ط. 3d ed). New York: McGraw-Hill. 1979. ISBN:0-07-000657-1. OCLC:4036464. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13.
{{استشهاد بكتاب}}
:|طبعة=
يحتوي على نص زائد (مساعدة) - Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73
- Weisstein, Eric W. "Cross Ratio". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2018-11-02. Retrieved 2020-03-12.
- H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.
- The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.
انظر أيضاً
وصلات خارجية
- بوابة رياضيات
- بوابة هندسة رياضية