موجة مثلثية

رسم متحرك لموجة مثلثية مع زيادة عدد التوافقيات، حسب الوصف الرياضي لـ تحويل فورييه.

يمكن التعبير عن الموجة المثلثية بواسطة متسلسلة فورييه بالمعادلة التالية، حيث التردد f، والزمن t:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {\sin \left(2\pi (2k+1)ft\right)}{(2k+1)^{2}}}\\&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\left(\sin(2\pi ft)-{1 \over 9}\sin(6\pi ft)+{1 \over 25}\sin(10\pi ft)-\cdots \right)\end{aligned}}}$

موجات جيبية، مربعية، مثلثية، سن المنشار.

تعريف آخر للموجة المثلثية على الفترة من -1 إلى 1، وزمن دوري 2a:

${\displaystyle x(t)={\frac {2}{a}}\left(t-a\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}$

حيث الرمز ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor n\rfloor }$ يمثل دالة السقف للرمز n.

أيضًا، يمكن التعبير عن الموجة المثلثية بأنها القيمة المطلقة لموجة سن المنشار:

${\displaystyle x(t)=\left|2\left({t \over a}-\left\lfloor {t \over a}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|}$

وإذا كانت على الفترة  من -1 إلى 1:

${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({t \over a}-\left\lfloor {t \over a}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1}$

 كما يمكن التعبير عن الموجة المثلثية بأنها تكامل الموجة المربعية:

${\displaystyle \int \operatorname {sgn}(\sin(x))\,dx\,}$

لكي يتم خلق الموجة المثلثية على الأجهزة الإلكترونية بقدرة أقل، نقوم فرض معادلة بسيطة ${\displaystyle y(0)=1}$ وباستخدام القيمة المطلقة:

${\displaystyle y(x)=|x\,{\bmod {\,}}4-2|-1}$

لتعميم المعادلة السابقة، نفرض الزمن الدوري ${\displaystyle p}$، المطال ${\displaystyle a}$، ونقطة البداية ${\displaystyle y(0)=a/2}$:

${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{p}}{\Biggl (}{\biggl |}\left(x{\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-{\frac {p}{4}}{\Biggr )}}$

بحل (1) و(2)، حيث a=2 ،p=4:

${\displaystyle y(x)={\frac {2\times 2}{4}}{\Biggl (}{\biggl |}\left(x{\bmod {4}}\right)-{\frac {4}{2}}{\biggr |}-{\frac {4}{4}}{\Biggr )}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle y(x)={\Biggl (}{\biggl |}\left(x{\bmod {4}}\right)-2{\biggr |}-1{\Biggr )}}$

لتعديل معادلة (1) تصبح فردية، فقط نقوم بطرح واحد من القيمة المدخلة x، مما يغير طور الدالة الأصلية:

${\displaystyle y(x)=|(x-1)\,{\bmod {\,}}4-2|-1}$

لتعميم معادلة (3) لجعل المعادلة فردبة لأي زمن دوري ومطال:

${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}{\Biggl (}{\biggl |}\left((x-{\frac {p}{4}}){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-{\frac {p}{4}}{\Biggr )}}$

بدلالة دالة الجيب sine و دالة arcsine، حيث "a" تعبر عن المطال، و"p" تعبر عن الزمن الدوري:

${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right)}$

ملاحظة: sin y = cos x

يمكن التعبير عن طول القوس للموجة المثلثية في زمن دوري "s" بالمعادلة التالية، حيث "a" تعبر عن المطال، و"p" تعبر عن الزمن الدوري:[3]

${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}}$

• دالة مثلثية الشكل
• موجات
• موجة سن المنشار
• صوت
• موجة مربعية

• بوابة رياضيات
• بوابة إلكترونيات
• بوابة الفيزياء