مفارقة فندق هيلبرت

لنفترض أن زبونا جديداً وصل ويريد أن يُستضاف في الفندق. لأن في الفندق عدد لانهائي من الغرف، نستطيع أن ننقل نزيل الغرفة 1 إلى الغرفة 2، ونزيل الغرفة 2 إلى الغرفة 3 وهكذا، ونلائم الزبون الجديد للغرفة 1. بتكرار العملية، بالإمكان إيجاد مكان لعدد محدود من الزبائن الجدد.

بالإمكان أيضاً استضافة عدد لانهائي من الزبائن عن طريق نقل نزيل الغرفة 1 إلى الغرفة 2، ونزيل الغرفة 2 إلى الغرفة 4، وبشكل عام ننقل نزيل الغرفة n إلى الغرفة 2n، فتكون الغرف المرقمة بعدد فردي متفرغة للزبائن الجدد.

بالإمكان استضافة عدد لانهائي من الحافلات التي تقل كل منها عدد لانهائي من الزبائن الجدد. بداية، نفرغ الغرف الفردية على النحو الوارد أعلاه، بحيث ننقل نزيل الغرقة n إلى الغرفة 2n. بعد ذلك، للحافلة الأولى نلائم ركابها للغرف 3ⁿ لكل n = 1, 2, 3, ...، ركاب الحافلة الثانية للغرف 5ⁿ لكل n = 1, 2, 3, ...، وهكذا; للحافلة i نستخدم الغرف pⁿ حيث p هو العدد الأولي الـ (i + 1). لأن لكل عدد طبيعي تحليل وحيد لأعداد أولية وفقاً لـالمبرهنة الأساسية في الحسابيات، لا يمكن أن يكون رقم غرفة ما عبارة عن قوة عددين أوليين مختلفين، ولذلك هذا التقسيم يؤكد أن لكل زبون غرفة خاصة به.

بشكل عام، أي دالة رابطة يمكن أن تستخدم لحل المسألة (دالة من الركاب في الحافلات إلى الغرف الفردية). طريقة أخرى لحل المسألة هي إعطاء كل شخص رقم، n، وأية حافلة هو فيها، c. ننقل أولئك الذين في الفندق إلى الغرفة رقم ${\displaystyle (n^{2}+n)/2}$ أو العدد المثلثي الـ n. وأولئك الذين في الحافلات نلائم لهم الغرفة ${\displaystyle ((c+n)^{2}+c-n)/2}$ أو العدد المثلثي الـ ${\displaystyle (c+n-1)}$th، زائد (c + n). بهذه الطريقة ستمتلئ كل الغرف، بنزيل واحد فقط.