معادلة ديوفانتية

تكتب أبسط معادلة ديوفانتية خطية على الصيغة ax + by = c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة معطاة. تعطى جميع حلول المعادلة في المبرهنة التالية: يوجد للمعادلة الديوفانتية حلول (حيث x و y أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا كان c مضاعفاً للقاسم المشترك الأكبر لـa و b. بالإضافة إلى أنه إذا كان (x,y) حل، فإن الحلول الأخرى تكتب على الصيغة (x + kv, y - ku) ، حيث k عدد صحيح، و u و v بواقي قسمة a و b على القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

تصف مبرهنة الباقي الصيني صنفاً مهماً من المعادلات الديوفانتية الخطية: لتكن n₁, ..., n_k k أعداداً صحيحة أولية نسبياً أكبر من 1، a₁, ..., a_k k عدد صحيح، و N حاصل ضرب n₁ ··· n_k. تنص مبرهنة الباقي الصيني على أن نظام المعادلات الديوفانتية الخطي التالي له حل واحد بالضبط (x, x₁, ..., x_k) بحيث 0 ≤ N ≥ x ، و أن الحلول الأخرى توجد بإضافة x مضاعف لـN:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$

في عام 1637، أشار بيير دي فيرما في هامش صفحة من كتاب أريثميتيكا إلى أنه لا يمكن فصل مكعب إلى مكعبين ولا قوة رابعة إلى قوتين رابعتين ولا قوة خامسة إلى قوتين خامستين، وهكذا. بتعبير عصري، فالمعادلة xⁿ + yⁿ = zⁿ لا تقبل حلولا صحيحة إذا ما جاوز n الاثنين. أضاف بعد ذلك: لقد اكتشفت برهانا عجيبا لهذه الحقيقة، ولكن الهامش أضيق من أن يحتويه.

في عام 1900، طرح هلبرت مسألة تبحث في قابلية حل جميع المعادلات الديوفنتية. في عام 1970، حل يوري ماتياسفيتش هذه المعضلة، وذلك ببرهانه عدم إمكانية وجود خوارزمية عامة لحل جميع المعادلات الديوفنتية.