معادلة جبرية

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{5}}={\frac {x^{3}}{7}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {2}{9}}}$

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
${\displaystyle {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=0}$
فإن الحل هو ${\displaystyle {\mathcal {}}(-1)}$ ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
${\displaystyle {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=0}$
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل ${\displaystyle {\mathcal {}}(-1)}$ مكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا
${\displaystyle {\mathcal {}}(x-1)^{n}=0}$
فإن الحل هو ${\displaystyle {\mathcal {}}1}$ ولكنه مكرر ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ عدد ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ من الحلول

حل المعادلة: ${\displaystyle ax+b\,=0}$ هو ${\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}$ حيث ${\displaystyle a\neq 0\,}$

ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا: 2x+5=10

لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح

2x+5-5=10-5 أي 2x=5

بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل x (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على العدد الموجود أمام x وهو (2)) وبهذا نحصل على x=2.5

لحل المعادلة: ${\displaystyle {\mathcal {}}ax^{2}+bx+c\,=0}$, نحسب المميز ${\displaystyle {\mathcal {}}\Delta }$ المعرف ب: ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$, ويكون للمعادلة حلان هما:

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$
• ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$.

تاريخيا، حلحلت المعادلات من الدرجة الثالثة خلال القرن السادس عشر الميلادي. لمعادلة تكعيبية ثلاث حلول على الأكثر. لمزيد من العلومات انظر إلى معادلة تكعيبية.

تاريخيا، حلحلت المعادلات من الدرجة الرابعة في عام 1540 قُبيل حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة حيث وجد لودوفيكو فيراري طريقة تمكن من المرور من معضلة حل معادلة من الدرجة الرابعة إلى معضلة حل المعادلة من الدرجة الثالثة. لهذا السبب، لم تكن هذه الحلحلة ذات فائدة، حتى حلحلت المعادلات التكعيبية ذاتها. بحل المعادلات من الدرجة الثالثة، اكتمل حل المعادلات من الدرجة الرابعة. كاردانو نشر هذين الحلين في كتابه أرس ماغنا عام 1545.

لمزيد من المعلومات، انظر إلى معادلة رباعية.

برهن كل من إيفاريست غالوا ونيلس هنريك أبيل، كل واحد على حدى، أن متعددة حدود من الدرجة الخامسة فما فوق في شكلها العام، لا تقبل حلحلة بالجذور. بعض من المعادلات الحدودية الخاصة تقبل حلحلة بالجذور حتى إذا كانت درجتها تفوق الخمسة.

برهن شارل آرميت على إمكانية حلحلة المعادلات من الدرجة الخامسة باستعمال الدوال الإهليلجية.

انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل

• طريقة نيوتن في حل المعادلات

• كثيرة الحدود
• دالة كثيرة الحدود
• نظرية غالوا
• دالة جبرية
• عدد جبري
• هندسة جبرية

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر