معادلة تسالكوفسكي الصاروخية

باعتبار المنظومة:

في هذا الاشتقاق نشير بعبارة «الصاروخ» إلى «الصاروخ وكل مادته الدافعة غير المحترقة».

يربط قانون نيوتن للحركة بين القوى الخارجية (${\displaystyle F_{i}\,}$) وبين التغير في الزخم الخطي للنظام ككل (بما في ذلك خرج أو نفث الصاروخ) كما يلي:

${\displaystyle \sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}}$

حيث ${\displaystyle P_{1}\,}$ هو كمية حركة الصاروخ عند زمن t=0:

${\displaystyle P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V}$

و${\displaystyle P_{2}\,}$ زخم الصاروخ والكتلة المنفوثة في زمن ${\displaystyle t=\Delta t\,}$:

${\displaystyle P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{e}}$

وحيث يكون بالنسبة للراصد:

${\displaystyle V\,}$ سرعة الصاروخ في زمن t=0

${\displaystyle V+\Delta V\,}$ سرعة الصاروخ في زمن ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

${\displaystyle V_{e}\,}$ سرعة الكتلة المضافة للنفث (وتفقد من قبل الصاروخ) خلال زمن ${\displaystyle \Delta t\,}$

${\displaystyle m+\Delta m\,}$ كتلة الصاروخ في زمن t=0

${\displaystyle m\,}$ كتلة الصاروخ في زمن ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

سرعة الخرج ${\displaystyle V_{e}}$ في إطار الراصد لها علاقة بسرعة الخرج في إطار الصاروخ ${\displaystyle v_{e}}$ بمقدار (حيث أن سرعة النفث في الاتجاه السالب)

${\displaystyle V_{e}=V-v_{e}}$

ينتج الحل:

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{e}\Delta m\,}$

و باستعمال ${\displaystyle dm=-\Delta m}$، حيث أن إخراج كمية موجبة ${\displaystyle \Delta m}$ ينجم عنه نقصان في الكتلة،

${\displaystyle \sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{e}{\frac {dm}{dt}}}$

في غياب القوى الخارجية تكون ${\displaystyle \sum F_{i}=0}$ (حفظ كمية الحركة الخطية) و

${\displaystyle m{\frac {dV}{dt}}=-v_{e}{\frac {dm}{dt}}}$

بافتراض ثبات ${\displaystyle v_{e}\,}$ ، بالإمكان إجراء التكامل للحصول على:

${\displaystyle \Delta V\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

أو بصورة مكافئة

${\displaystyle m_{1}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{e}}}$      or      ${\displaystyle m_{0}=m_{1}e^{\Delta V\ /v_{e}}}$      or      ${\displaystyle m_{0}-m_{1}=m_{1}(e^{\Delta V\ /v_{e}}-1)}$

حيث ${\displaystyle m_{0}}$ هي الكتلة الابتدائية الإجمالية متضمنة المادة الدافعة، ${\displaystyle m_{1}}$ الكتلة الإجمالية النهائية، و ${\displaystyle v_{e}}$ سرعة نفث الصاروخ نسبة إلى الصاروخ (الدفعة النوعي، أو إن قسناه زمنيا، يكون ذلك المضروب في تسارع الجاذبية).

القيمة ${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$ تمثل إجمالي الكتلة المبددة وبالتالي:

${\displaystyle M_{f}=1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$

حيث ${\displaystyle M_{f}}$ جزء كتلة المادة الدافعة (جزء من الكتلة الإجمالية الأولية التي أُنْفِقَت في صورة كتلة شغالة).

• قوة دفع المركبة الفضائية
• كتلة شغالة
• نظام متغير الكتلة

• كيفية اشتقاق معادلة الصاروخ
• حاسبة النسبية - تعليم معادلة تسالكوفسكي للصواريخ

• بوابة الفضاء
• بوابة رحلات فضائية
• بوابة الفيزياء