معادلات الحقل لأينشتاين

بتقليص متطابقة بيانشي التفاضلية

${\displaystyle R_{ab[cd;e]}=\,0}$

مع ${\displaystyle g^{ac}}$ نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي${\displaystyle g^{ab}{}_{;c}=0}$,

${\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0}$

يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:

${\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}$

وهي مكافئة للعلاقة

${\displaystyle R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}$

باستعمال تعريفموتر ريكسي.

بالاختصار مرة أخرى بالمتري

${\displaystyle g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0}$

لتحصيل

${\displaystyle R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0}$

تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن

${\displaystyle R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0}$

ويمكن إعادة كتابتها بالصورة

${\displaystyle (R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0}$

اختصار أخير ${\displaystyle g^{ed}}$ يعطي

${\displaystyle (R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0}$

والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر آينشتين -بعد إعادة عنونة المعاملات

${\displaystyle G^{ab}{}_{;b}\,=0}$

باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة

${\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0}$

يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، ${\displaystyle \Phi \!}$، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]}$

حيث${\displaystyle \rho \!}$ كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.}$

، بعلامات الموتر تصبح

${\displaystyle \Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.}$

تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر

${\displaystyle R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })}$

لثابت ما، K، و معادلة جيوديسية

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$

لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:

${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)}$

وعليه

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$

والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$

حيث أن عاملين من ${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}}$ قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن

${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.}$

افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى

${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,}$

والتي تتحقق بوضع

${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$

بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن

${\displaystyle R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})}$

تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن

${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.}$

إذن

${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$

وبالتالي

${\displaystyle K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.}$

من تعريف موتر ريكسي

${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$

افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن

${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$

بدمج المعادلات السابقة

${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,}$

والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط

${\displaystyle {1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$

والذي سيتحقق إذا كان

${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$