مذبذب حدودي

نبدأ بالمعادلة التفاضلية أعلاه:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\beta (t){\dot {x}}+\omega (t)^{2}x=0}$

من أجل الجمع بين كل من العوامل المعتمدة على الزمن في المعادلة التفاضلية في دالة مضخة ، يمكن أولاً إجراء تحويل متغير من أجل التخلص من جزء المعادلة المعتمد على السرعة. وبهذا نضع:

${\displaystyle x=q\,e^{-0,5\int _{0}^{t}\beta (\tau )\mathrm {d} \tau }}$

بعد اشتقاقها مرتين وإدخالها في المعادلة الأصلية ،

${\displaystyle {\ddot {q}}+\Omega ^{2}q=0}$

حيث :

${\displaystyle \Omega ^{2}=\omega ^{2}-{\frac {1}{2}}\,{\dot {\beta }}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}}$

المعادلة التفاضلية لمذكورة أعلاه حيث تتغير ${\displaystyle \Omega }$ بشكل دوري تسمى معادلة هيل التفاضلية .

عادة ما يتم فهم الإثارة على أنها انحراف عن متوسط الوقت

${\displaystyle \Omega ^{2}=\omega _{n}^{2}(1+f)}$

حيث الثابت ${\displaystyle \omega _{n}}$ يتوافق مع تردد التذبذب المخمد للمذبذب ، أي :

الدالة المعتمدة على الزمن ${\displaystyle f}$ تسمى دالة المضخة. لذلك يمكن دائمًا وصف كل نوع من أنواع الإثارة البارامترية بالمعادلة التفاضلية التالية:

${\displaystyle {\ddot {q}}+\omega _{n}^{2}(1+f(t))q=0}$ .

نأخذ في الاعتبار المعادلة التفاضلية أعلاه

${\displaystyle {\ddot {q}}+\omega _{n}^{2}(1+f)q=0}$

نفترض أن دالة الضخ ${\displaystyle f}$ يمكن كتابتها على الصورة التالية:

${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(2\omega _{p}t)}$

حيث نصف تردد المضخة ${\displaystyle \omega _{p}\approx \omega _{n}}$ يتوافق تقريبًا مع تردد التذبذب. هذه الحالة الخاصة من معادلة هيل التفاضلية تسمى المعادلة التفاضلية الرياضية . ومع ذلك ، فإن المطابقة التامة للترددات ليست ضرورية للحل ، لأن التذبذب يتكيف مع إشارة المضخة. وفقًا لنظرية فلوكيت ، يمكن كتابة حل المعادلة التفاضلية كـالآتي:

${\displaystyle q=A\cos(\omega _{p}t)+B\sin(\omega _{p}t)}$

[[مطال |المطالان ]] ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ يعتمد ان على الزمن . ومع ذلك ، بالنسبة للإثارة البارامترية ، عادةً ما تتغير المطال ببطء أكثر من نغير دالة الجيب أو جيب التمام للحل. بمعنى آخر ، يحدث التغيير في سعة الاهتزاز بشكل أبطأ من الاهتزاز نفسه. استبدال هذا الحل في المعادلة التفاضلية والاحتفاظ فقط باجزاء المعادلة من الدرجة الأولى ${\displaystyle f_{0}\ll 1}$ ، نحصل على معادلتين مرتبطتين

${\displaystyle 2\omega _{p}{\dot {A}}={\frac {f_{0}}{2}}\omega _{n}^{2}A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)B}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\dot {B}}=-{\frac {f_{0}}{2}}\omega _{n}^{2}B+\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)A}$

من أجل فصل نظام المعادلات هذا ، يمكن إجراء تحويل متغير آخر

${\displaystyle A=r\cos \theta }$

${\displaystyle B=r\sin \theta }$

وبذلك نحصل على المعادلات

${\displaystyle {\dot {r}}=r(\alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta )}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-\alpha _{\mathrm {max} }(\sin 2\theta -\sin 2\theta _{\mathrm {eq} })}$

مع الثوابت

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {max} }={\frac {f_{0}\omega _{n}^{2}}{4\omega _{p}}}}$

${\displaystyle \sin 2\theta _{\mathrm {eq} }={\frac {2\epsilon }{f_{0}}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}}$

الثابت ${\displaystyle \epsilon }$ يسمى عدم التوافق. المعادلة التفاضلية ل ${\displaystyle \theta }$ لا تعتمد على ${\displaystyle r}$ . ومع أداء التقريب الخطي يمكن بيان أن ${\displaystyle \theta }$ تزداد أضعافا مضاعفة وتقترب إمن نقطة التوازن ${\displaystyle \theta _{\mathrm {eq} }}$ . وبعبارة أخرى ، فإن المذبذب البارامترى مغلق طورًا على إشارة المضخة. فإذا وضعنا ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }}$ ، وبافتراض أن الاقتران قد تم ، تصبح المعادلة التفاضلية للمطال :

${\displaystyle {\dot {r}}=\alpha r}$

${\displaystyle \alpha =\alpha _{\mathrm {max} }\cos(2\theta _{\mathrm {eq} })=\alpha _{\mathrm {max} }{\sqrt {1-(2\epsilon /f_{0})^{2}}}}$

حل هذه المعادلة هو دالة أسية. ولكي يتزايد مطال ${\displaystyle q}$ فلا بد من تطبيق الشروط:

${\displaystyle \omega _{n}{\sqrt {1-(f_{0}/2)}}<\omega _{p}<\omega _{n}{\sqrt {1+(f_{0}/2)}}}$

يتم الحصول على أكبر نمو في السعة (المطال) لهذه الحالة عندما ${\displaystyle \omega _{p}=\omega _{n}}$ . التذبذب المقابل للمتغير غير المحول ${\displaystyle x}$ لن يكون من الضروري زيادته. المطال الخاص ${\displaystyle R}$ تعطىه المعادلة التالية:

${\displaystyle R(t)=r_{0}e^{\alpha t-{\frac {1}{2}}\int ^{t}\mathrm {d} \tau \ \beta (\tau )}}$

مع ملاحظة أن سلوكهم يعتمد على ما إذا كانت ${\displaystyle \alpha t}$ أكبر أو أقل من أو يساوي الزمن المتكامل للمعامل المعتمد على السرعة.

نظرًا لأن الاشتقاق الرياضي أعلاه قد يبدو معقدًا وصعبًا ، فمن المفيد النظر إلى اشتقاق وصفي أكثر. نكتب المعادلة التفاضلية على الصورة:

${\displaystyle {\ddot {q}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

نفترض أن دالة المضخة هي دالة جيبية ذات تردد مزدوج ، وأن التذبذب له بالفعل شكل مطابق ، أي

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{p}t}$

${\displaystyle q(t)=A\cos \omega _{p}t}$

يمكن استخدام الدوال المثلثية لنواتج الدالتين الجيبيتين ، مما يؤدي إلى إشارتين للمضخة.

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A\left(\sin \omega _{p}t+\sin 3\omega _{p}t\right)}$

في فضاء فورييه ، يكون الضرب هو تراكب تحويل فورييه ${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$ و ${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$ . التضخيم الإيجابي يأتي من حقيقة أن المكون ${\displaystyle +2\omega _{p}}$ من ${\displaystyle f}$ والمكون ${\displaystyle -\omega _{p}}$ من ${\displaystyle q}$ لإشارة الإثارة ${\displaystyle +\omega _{p}}$ تصبح مماثلة مع عكس الإشارة . هذا يفسر سبب وجود تردد المضخة ${\displaystyle 2\omega _{n}}$ ، الذي هو ضعف تردد الرنين للمذبذب. فإذا كان تردد المضخة يختلف اختلافًا كبيرًا فلن يؤدي ذلك إلى اقتران ، أي لن ينشأ رد فعل إيجابي بين المكونات ${\displaystyle -\omega _{p}}$ و ${\displaystyle +\omega _{p}}$ .

نقطة البداية هي الدالة المبدئية التالية:

${\displaystyle \psi =e^{\lambda t}z(t)}$

حيث يحتوي العامل الأول على القيمة الذاتية eigenvalue التي تميز الاستقرار (انظر أسفله ).  والعامل الثاني دوري مع تردد المعلمة. كسلسلة فورييه معقدة ، لها الشكل التالي:

${\displaystyle z(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{\mathrm {i} n\Omega t};\quad n=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots }$

تم تطوير مصفوفات النظام (الدورية) أيضًا في سلسلة فورييه. يؤدي مبدأ التوازن التوافقي إلى مسألة القيمة الذاتية مع مصفوفات الحجم [K (2N + 1) × K (2N + 1)] ( K = درجات الحرية ، N = عدد وجموعات فورييه) مع القيم الذاتية التي تهم تحليل الاستقرار ${\displaystyle \lambda =\alpha +\mathrm {i} \omega }$ (عدد القيم الذاتية eigenvalues المقابلة لأحجام المصفوفة).

${\displaystyle \det[\lambda ^{2}+\lambda \cdot {\overline {p_{1}}}+{\overline {p_{2}}}]=0}$

يحدد حجم الجزء الحقيقي من القيمة الذاتية الاستقرار.

هناك طريقة أخرى لتحديد حدود الاستقرار وهي تحليل الثبات وفقًا لـ Floquet . فيها يتم دمج DGL عدديًا ، في الحالات البسيطة أيضًا بشكل تحليلي خلال فترة معلمة لـ 2K مع إعطاء ظروف أولية حقيقية مستقلة خطيًا ( K = درجات الحرية) ومصفوفة نقل 2K × 2K من القيم التي تم الحصول عليها للمصفوف ${\displaystyle \Phi }$ التي تم إنشاؤها ، والتي تتميز بقيمها الذاتية المعقدة المترافقة عادةً بالاستقرار أو عدم الاستقرار (ما يسمى بمعادلة فلوكيت eigenvalue ). في الشكل البياني الموضحة أعلاه على اليسار ، يتم تطبيق طريقة فلوكيت على المعادلة التفاضلية للبندول الاهتزازي الضعيف جدًا أو المعادلة التفاضلية الرياضية. توجد حلول دورية على الخطوط الفاصلة بين المستقرة (الموضحة هنا باللون الأخضر) والمنطقة غير المستقرة (الموضحة في الشكل باللون الأصفر). في نطاق الثبات ، يميل البندول إلى العودة إلى موضع الصفر (إذا كان هناك احتكاك ؛ بدون احتكاك ، تتم التذبذبات الصغيرة والثابتة اعتمادًا على النبضة الأولية). يمكن أيضًا ملاحظة هذه المعادلة التفاضلية أنه إذا لم يكن هناك تخميد لتحليل الثبات ، بالإضافة إلى الإثارة بتردد طبيعي مزدوج ومفرد ، فإن الإثارة بـ 2/3 من التردد الطبيعي (2/4 ، 2/5 إلخ. يمكن التعرف عليه هنا) من التردد الطبيعي لا يزال له معنى رياضي معين (إثارة بــ. 2/4 ، 2/5 من التردد الطبيعي إلخ. يمكن التعرف عليه هنا)

المذبذبات البارامترية كمضخمات منخفضة الضوضاء ( (بالإنجليزية: Low Noise Amplifier)‏ ) ، تحدث بشكل خاص في نطاق الراديو والميكروويف. يتم تحفيز دائرة تتأرجح بواسطة الصمام الثنائي حيث يتم تغيير سعته بشكل دوري. YAG - أدلة الموجات تعمل في تقنية الميكروويف على نفس المبدأ.

مزايا استخدام مضخم حدودي

• حساسيتهم العالية
• ضجيجها الحراري المنخفض ، لأن المفاعلة (وليس المقاومة) تتغير

يتم تشغيل مضخم حدودي كخالط تردد. ينعكس تضخيم مزيج الإشارة هذا في كسب الإخراج. يتم خلط إشارة الدخل الضعيفة مع إشارة المذبذب القوية ويتم استخدام الإشارة الناتجة في مراحل المستقبل اللاحقة.

تعمل المضخمات البارامترية أيضًا عن طريق تغيير معلمات الاهتزاز. يمكن فهمه بشكل حدسي لمكبر السعة المتغير عن طريق العلاقات التالية. شحنة المكثف

${\displaystyle Q=C\cdot V}$

ومن ثم الجهد الواقع عبر المكثف أيضا:

${\displaystyle V=Q/C}$

إذا تم شحن مكثف حتى يتطابق الجهد مع إشارة الدخل الضعيفة ، ثم يتم تقليل سعة المكثف ، على سبيل المثال عن طريق تحريك وابعاد لوحات المكثف اللوحي ، سيزداد الجهد المطبق وبالتالي سيزداد تضخيم الإشارة الضعيفة . إذا كان المكثف عبارة عن صمام ثنائي السعة ، فيمكن تحريك الألواح ، أي يمكن تغيير السعة ، ببساطة عن طريق تطبيق جهد يعتمد على الزمن . يسمى جهد القيادة هذا أيضًا بجهد المضخة.

تحتوي إشارة الخرج الناتجة على ترددات مختلفة ، تتوافق مع مجموع إشارة الإدخال والاختلاف ${\displaystyle f_{1}}$ وإشارة الخرج ${\displaystyle f_{2}}$ مباراة ، لذلك ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ و ${\displaystyle f_{1}-f_{2}}$ .

في الممارسة العملية ، يحتاج مذبذب حدودي إلى الوصلات التالية:

• اتصال أرضي ،
• جهد المضخة ،
• المخرج ،
• في بعض الأحيان جزء رابع أيضا لتعيين المعلمات.

يحتاج مضخم حدودي أيضًا إلى مدخل لإدخال اشارة تضخيم . نظرًا لأن الصمام الثنائي يحتوي على اتصالين فقط ، فلا يمكن استخدامه إلا مع شبكة LC. يمكن تنفيذ ذلك كمضخم للمقاومة ، كمضخم أنبوب موجة متنقلة ، أو بمساعدة جهاز دائري .