محدد (رياضيات)

لمحدد 2X2، طريقة الحساب هي:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc\ }$

على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}=1\cdot 3-2\cdot 1=1\ }$

لذلك المصفوفة هي معكوسة. وبالتالي، معكوس المصفوفة هو:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}}$

بالرغم من ذلك المصفوفة الآتية هي غير معكوسة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}}}$

لذلك، بما أنها غير معكوسة، حساب المحدد هو 0:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 2=0}$

إحدى طرق تحديد محدد المصفوفة 3×3:

${\displaystyle \det(A)={\begin{vmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{vmatrix}}=(a.e.i+d.h.c+g.b.f)-(d.b.i+a.h.f+g.e.c)}$

يُحدد محدد مصفوفة ذات بُعد ما باستعمال صيغة لايبنتس أو صيغة لابلاس.

صيغة لايبنتس من أجل حساب محدد مصفوفة A بعدها n × n تأتي فيما يلي:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}.\ }$

انظر إلى تبديل (رياضيات) وإلى زمرة متماثلة.