مجموعة مشاركة

في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الزمر، لأي زمرة جزئية ${\displaystyle H\!}$ من الزمرة ${\displaystyle G\!}$ وأي عنصر ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle G\!}$،

تتحدد ${\displaystyle xH\!}$ بكونها المجموعة ${\displaystyle \{xh\colon h\in H\!\}}$ ويُقال عنها مجموعة مشاركة يسرى لـ ${\displaystyle H\!}$ و

وتتحدد ${\displaystyle Hx\!}$ بكونها المجموعة ${\displaystyle \{hx\colon h\in H\!\}}$ ويُقال عنها مجموعة مشاركة يمنى لـ ${\displaystyle H\!}$.

لأي زمرة جزئية ${\displaystyle H\!}$، نستطيع تحديد علاقة التكافؤ ${\displaystyle \sim }$ من خلال ${\displaystyle x\sim y}$ إذا كان ${\displaystyle x=yh}$ لأي ${\displaystyle h}$ في ${\displaystyle H\!}$. وتكون صنف التكافؤ لعلاقة التكافؤ تلك هي بالضبط المجموعات المشاركة اليسرى لـ ${\displaystyle H\!}$، والعنصر ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle G\!}$ يكون في صف التكافؤ ${\displaystyle xH\!}$. وبالتالي تشكل المجموعات المشاركة اليسرى لـ ${\displaystyle H\!}$ تجزئة من ${\displaystyle G\!}$.

من الصحيح أيضًا أن أي مجموعتين مشاركتين يسريين لـ ${\displaystyle H\!}$ تمتلك نفس العدد الأصلي، وبتعبير أخص فإن كل مجموعة مشاركة لـ ${\displaystyle H\!}$ تمتلك نفس العدد الأصلي مثل ${\displaystyle eH\!=H\!}$، حيث ${\displaystyle e}$ هو العنصر المحايد. وبالتالي يكون العدد الأصلي لأي مجموعة مشاركة يسرى لـ ${\displaystyle H\!}$ مساويًا رتبة ${\displaystyle H\!}$. ويُحصل على نفس النتائج بالنسبة للمجموعات المشاركة اليمنى، وفي الواقع نستطيع إثبات أن مجموعة المجموعات المشاركة اليسرى لـ ${\displaystyle H\!}$ تمتلك نفس العدد الأصلي لمجموعة المجموعات المشاركة اليمنى لـ ${\displaystyle H\!}$.[1]