مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم

نفرض أن هاميلتونيان ${\displaystyle {\hat {H}}}$ له مجموعة من القيم متعامدة ${\displaystyle |n\rangle }$ مع القيم الذاتية ${\displaystyle \epsilon _{n}}$:

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\epsilon _{n}|n\rangle .}$

نحدد معكوس المؤثر الهرميتي ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}}$

نجد أن ${\displaystyle {\hat {C}}^{(0)}}$ مؤثر هرميتي لأنه يساوي القيمة ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ولكن ${\displaystyle {\hat {C}}^{(1)}}$ مؤثر غير هيرميتي

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.}$

وبالاستقراء نجد

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}}$

أيضا

${\displaystyle \langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .}$

${\displaystyle |\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .}$

وباستخدام هذه العلاقة

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}}$

يمكن كتابة النتيجة كالتالي :

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}k{\mbox{ is even}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{if }}k{\mbox{ is odd}}.\end{cases}}}$

وبوضع ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.}$

• قوة التذبذب

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم