مثلث زائدي

إذا كانت C عبارة عن زاوية قائمة، فإن:

• جيب الزاوية A هو الجيب الزائدي للجانب المقابل للزاوية مقسومًا على الجيب الزائدي للوتر.

sin A = sinh(الجانب المقابل)/sinh(الوتر) = sinh a/sinh c

• جيب تمام الزاوية A هو الظل الزائدي الجانب المجاور مقسومًا على الظل الزائدي للوتر.

cos A = tanh(الجانب المجاور)/tanh(الوتر) = tanh b/tanh c

.

• ظل الزاوية A هو الظل الزائدي للساق المقابل مقسومًا على الجيب الزائدي للجانب المجاور.

tan A = tanh(الجانب المقابل)/tanh(الجانب المجاور) = tanh a/tanh b

.

• جيب التمام الزائدي للجانب المجاور للزاوية A هو جيب الزلوية B مقسومًا على جيب الزاوية A.

cosh(الجانب المجاور) = cos B/sin A

• جيب التمام الزائدي للوتر هو جداء جيوب تمام الساقين.

cosh(الوتر) = cosh(المجاور) cosh(المقابل)

• جيب التمام الزائدي للوتر هو أيضًا جداء جيوب تمام الزوايا مقسومة على جداء جيوبهم.[2]

cosh(الوتر) = cos A cos B/sin A sin B =cot A cot B

لدينا أيضًا المعادلات التالية:[3]

${\displaystyle \cos A=\cosh a\sin B}$

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}}$

${\displaystyle \cos B=\cosh b\sin A}$

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$

مساحة المثلث القائم هي:

${\displaystyle {\textrm {Area}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$

أيضًا

${\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\tanh({\frac {a}{2}})\tanh({\frac {b}{2}}))}$^{[بحاجة لمصدر]}[4]

تعطي معادلات المثلثية للمثلثات القائمة أيضًا العلاقات بين الأضلاع s والزوايا A لمثلث متساوي الأضلاع.

العلاقات هي:

${\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {tanh}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {tanh}}(s)}}}$

${\displaystyle \cosh {\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}$

سواء كانت C زاوية قائمة أم لا، فإن العلاقات التالية تبقى ثابتة: القانون الزائدي لجيب التمام هو كما يلي:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

مبرهنتها الثنائية هي:

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

هناك أيضًا قانون الجيب:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

وصيغة الأجزاء الأربعة:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

التي هي مشتقة بنفس طريقة الصيغة المشابهة في حساب المثلثات الكروية.