متعددة حدود غير قابلة للاختزال

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}}$

على حقل الأعداد العقدية، وبشكل عام على حقل مغلق جبريا، متعددة حدود أحادية المتغير هي غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كانت من الدرجة الأولى. تُعرف هذه الحقيقة باسم المبرهنة الأساسية في الجبر في حالة الأعداد المركبة، وأكثر عموما، هي الشرط الأساسي من أجل أن يكون حقلٌ ما مغلقا جبريا.

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

هناك متعددات حدود متعددات المتغيرات من أي درجة، معرفةً على الأعداد المركبة، لسن قابلات للاختزال. على سبيل المثال، متعددة الحدود

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

والتي تعرِّف منحنى فيرما هي متعدد حدود غير قابلة للاختزال مهما كانت قيمة العدد الطبيعي n.

على حقل الأعداد الحقيقية، متعددة حدود أحادية المتغير غير قابلة للاختزال هي من الدرجة الأولى أو الثانية على الأكثر.

انظر إلى امتداد الحقول وإلى متعددة حدود واحدية المدخل وإلى متعددة الحدود الدنيا (نظرية الحقول) وإلى مثالي (نظرية الحلقات).

• عنصر غير خزول
• مبرهنة الجذر النسبي
• دالة تكعيبية
• معادلة تربيعية

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات