متعددة الحدود لبيرنشتاين

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.}$

حيث ${\displaystyle {n \choose \nu }}$ هو المعامل الثنائي.

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, إذا توفر ${\displaystyle \nu <0}$ or ${\displaystyle \nu >n.}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$ عند ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ and ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ حيث ${\displaystyle \delta }$ هو دلتا كرونكر : ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$

لتكن f دالة متصلة على المجال [0,1].

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

• منحنى بيزييه,
• متعدد حدود لاغرانج

• بوابة رياضيات