متسلسلة متناسقة (رياضيات)

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{5}}\,+\,{\frac {1}{6}}\,+\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{9}}\,+\,\cdots \\[12pt]>\;\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]=\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;\cdots \;\;=\;\;\infty .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}\,{\frac {1}{n}}\;\geq \;1+{\frac {k}{2}}}$

هذا هو البرهان الأصيل الذي جاء به نيكول أورسمه قرابة عام 1530. اختبار التكثف لكوشي هو تعميم لهذه الحجة.

مساحة المستطيلات الصفراء المبينة في الشكل تقابل قيم حدود المتسلسة المتناسقة. الهَذْلُول ${\displaystyle y=1/x}$ يمر من الرؤوس العليا اليسرى لهذه المستطيلات ${\displaystyle y=1/x}$

بالإمكان البرهان على تباعد المتسلسة المتناسقة بمقارنة مجموعها بتكامل معتل محدد.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

تُعرف هذه المتسلسة باسم المتسلسلة المتناسقة المتناوبة. وهي متقاربة إلى اللوغاريتم الطبيعي لاثنين

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$

تُعرف دالة زيتا لريمان حين يتوفر ${\displaystyle x>1}$ حيث ${\displaystyle x}$ عدد حقيقي، بالمتسلسلة المتقاربة التالية

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots }$$

حين يتوفر ${\displaystyle x=1}$ تصير هذه الدالة مساوية للمتسلسة المتناسقة.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

حيث s_n هن متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض موزعة بشكل منتظم. انظر إلى أندريه كولموغوروف وأعماله.