متسلسلة متقاربة

• مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متباعدة تسمى المتسلسلة المتناسقة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي متسلسة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}\cdots =\ln(2)}$

• مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية الفردية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب (صيغة لايبنتس ل π), يعطي متسلسة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots ={\pi \over 4}.}$

• مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يعطي متسلسة متباعدة (هذا برهان على أن عدد الأعداد الأولية غير منته):

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• مجموع مقلوبات الأعداد المثلثية يعطي متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• مجموع مقلوبات عاملي الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد e):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• مجموع مقلوبات المربعات الكاملة يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى معضلة بازل):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين يعطي متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي أيضا متسلسلة متقاربة:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• مجموع مقلوبات أعداد فيبوناتشي يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد ψ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

إذا بُرهن على أن المتسلسلة الزرقاء ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ متقاربة، فإن المتسلسلة الأصغر منها ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ متقاربة أيضا. وبشكل مماثل، إذا بُرهن على أن المتسلسلة الحمراء ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ متباعدة, فإن ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ أيضا متباعدة.

هناك عدة طرق تمكن من معرفة هل متسلسلة ما تتقارب أو تتباعد.

اختبار المقارنة : حدود المتتالية ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ تُقارن مع حدود متتالية أخرى ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$. إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n :

${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$, و ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ متسلسلة متقاربة، فإن ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$ متقاربة أيضا.

وبشكل مماثل، إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n:

${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$, و ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ متباعدة، فإن ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ أيضا متباعدة.

اختبار النسبة : يُفترض أنه مهما كانت قيمة n فإن ${\displaystyle a_{n}>0}$ وأنه يوجد عدد ${\displaystyle r}$ حيث

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r.}$

إذا كان r <1, فإن المتسلسلة متقاربة. وإذا كان r> 1, فإن المتسلسلة متباعدة. أما إذا كان r = 1, فإن اختبار النسبة يصير غير مجد وغير نافع وأن المتسلسلة قد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة.

اختبار الجذر أو الجذر النوني

اختبار التكامل

اختبار مقارنة النهايات

اختبار المتسلسلات المتناونة الإشارة

• نهاية متتالية

• بوابة تحليل رياضي