متباينة ينسن

لأي دالة محدبة ${\displaystyle \varphi }$، وأعداد ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ في نطاق الدالة، وعوامل ترجيح موجبة ملائمة ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$، بالإمكان نص متراجحة ينسن كالتالي:

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi \left(x_{i}\right)}{\sum a_{i}}}}$

حيث أن المتراجحة تكون معكوسة إذا كانت الدالة ${\displaystyle \varphi }$ مقعرة. وبشكل خاص، فإذا كانت جميع عوامل الترجيح متساوية، نحصل على المتراجحة الآتية:

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi \left(x_{i}\right)}{n}}}$.

على سبيل المثال، إذا أخذنا الدالة ${\displaystyle \varphi \left(x\right)=\operatorname {ln} \left(x\right)}$، وهي دالة مقعرة (إذ ${\displaystyle \varphi ^{\prime \prime }\left(x\right)=-{\tfrac {1}{x^{2}}}<0}$) وتصاعدية، فبما أنّ المتراجحة الآتية صحيحة لكونها المتراجحة الشهيرة بين المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي لـn أعداد:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

وبما أنّ ${\displaystyle \varphi }$ تصاعدية:

${\displaystyle \operatorname {ln} \left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\geq \operatorname {ln} \left({\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\right)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {ln} \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\operatorname {ln} \left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {ln} \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \operatorname {ln} \left(x_{i}\right)}{n}}}$

أي أنّ متباينة ينسن تتحقّق لهذه الحالة. يشار إلى أنّ المتغيرات ${\displaystyle x_{i}}$ قد تكون دالة من متغير آخر t، بحيث ${\displaystyle x_{i}=g\left(t_{i}\right)}$. وبشكل عام أكثر، فبالإمكان النظر إلى الحالة المستمرّة، حيث تستبدل الجموع بتكاملات، وتستبدل عوامل الترجيح بدالة ترجيح غير سالبة، كدالة توزيع احتمالي، مثلاً.

بالإمكان صياغ قانون مكافئ في سياق نظرية الاحتمالات. فإذا كان ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ فضاء احتمالي، وكان ${\displaystyle X}$ متغيرًا عشوائيًا قابل للتكامل وذو قيم حقيقية وكانت الدالة ${\displaystyle \varphi }$ دالة محدبة، فإنّ:

${\displaystyle \varphi \left(\mathbb {E} \{X\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)\}.}$

بحيث أنّ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]}$ هي القيمة المتوقعة للمتغير ${\displaystyle X}$.