مبرهنة ويلسون

إذا كان n عدداً غير أولي (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي q، حيث n-2 ≥q≥ 2 . إذا كان !(n − 1) يطابق 1- (mod n) فإنه سيطابق 1-(mod q). ولكن (n − 1)! ≡ 0 (mod q) .

النتيجة واضحة عندما p = 2 ، ولذلك سنفرض أن p عدد أولي فردي، p ≥ 3.
بما أنه يوجد لكل باقي (mod p) معاكس ضربي وحيد (mod p) غير صفري a⁻¹. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة لa التي تحقق أن (a ≡ a⁻¹ (mod p هي (a ≡ ±1 (mod p. بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل !(p − 1) إلى أزواج،[3] بحيث يكون ضرب كل زوجين ≡ 1 (mod p).
وبذلك تثبت المبرهنة.

استعمل لاغرانج الحدودية

${\displaystyle .P(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$

حيث نشرها وحدد معاملاتها باستعمال الخاصية

${\displaystyle .(x+1)P(x+1)=(x+n)P(x)}$

ثم أثبت إذن، أنه عندما يكون n أوليا، فإن جميع المعاملات - باستثناء الأول الذي يساوي 1 و الأخير الذي يساوي !(n-1) - مضاعفات ل n.

ثم، باستعمال نفس المتساوية دائما، لاحظ أن آخر معامل مضروبا فيn–1 يساوي مجموع كل المعاملات الأخرى واستنتج أن n – 1)! + 1) مضاعف ل n.

باستعمال مبرهنة ويلسون، لكل عدد أولي فردي p = 2m + 1، نستطيع ترتيب الطرف الأيسر ل

${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}}$

للحصول على المتساوية

${\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$

هذا يصبح

${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}$

أو

${\displaystyle (m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.}$

أثبت غاوس أن

${\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

حيث p عدد فردي و ${\displaystyle \alpha }$ عدد صحيح موجب.