مبرهنة متعدد الحدود

القوة الثالثة من ثلاثي الحدود ${\displaystyle a+b+c}$ معطاة من قبل ${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$

يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:

${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$ المعامل ${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}$

${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$ المعامل ${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.}$

يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$

أين

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$

و

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}}$

يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على ${\displaystyle m}$.

أولاً ، بالنسبة لـ ${\displaystyle m=1}$، كلا الطرفين يساوي ${\displaystyle x_{1}^{n}}$ نظرًا لوجود حد واحد فقط ${\displaystyle n=k_{1}}$ في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على ${\displaystyle m}$ . ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}$

من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}$

كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}$

التعويض عن ${\displaystyle x_{i}=1}$ لجميع ${\displaystyle i}$ في مبرهنة متعددة الحدود

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}$

يعطي ذلك على الفور

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}$

عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ، ${\displaystyle \#_{n,m}}$ يساوي عدد المونومرات من الدرجة ${\displaystyle n}$ على المتغيرات ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{m}}$:

${\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}$

يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .

أكبر قوة عدد أولي ${\displaystyle p}$ يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم مبرهنة كومر ^{[الإنجليزية]}.

المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع ${\displaystyle n}$ كائنات مميزة في ${\displaystyle m}$ صناديق مميزة ، مع ${\displaystyle k_{1}}$ كائنات في الحاوية الأولى، و ${\displaystyle k_{2}}$ كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا. [1]

في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام ${\displaystyle n_{i}}$ على مجموعة من العناصر الإجمالية ${\displaystyle N}$ ، يمثل ${\displaystyle n_{i}}$ عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف ${\displaystyle i}$ . (في الميكانيكا الإحصائية ، ${\displaystyle i}$ تسمية حالة الطاقة.)

• اختيار ${\displaystyle n_{1}}$ من إجمالي ${\displaystyle N}$ ليتم تسميتها ${\displaystyle 1}$. يمكن القيام بذلك ${\displaystyle N \choose n_{1}}$ طرق.
• من المتبقي ${\displaystyle N-n_{1}}$ عنصر اختر ${\displaystyle n_{2}}$ للتسمية ${\displaystyle 2}$. يمكن القيام بذلك ${\displaystyle N-n_{1} \choose n_{2}}$ طرق.
• من المتبقي ${\displaystyle N-n_{1}-n_{2}}$ عناصر اختر ${\displaystyle n_{3}}$ للتسمية ${\displaystyle 3}$. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك ${\displaystyle N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}$ طرق.

يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:

${\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}$

ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.

المعامل متعدد الحدود كمنتج للمعاملات ذات الحدين ، مع احتساب التباديل لأحرف ميسيسيبي.

المعامل متعدد الحدود ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$ هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر ${\displaystyle n}$ ، حيث ${\displaystyle k_{i}}$ هو تعدد كل عنصر من العناصر i. على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال . يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.